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Formule utili: (sezione D) 

Calcolo di autovalori: o

Trovare polinomio caratteristico: 

Sarrus (matrice 3x3):



Triangolarizzazione (tutti i tipi di matrice): si prende la Matrice di cui bisogna trovare il polinomio caratteristico e vi si sottrae la matrice

identità “𝑡𝐼” a questo punto si procede alla Gauss-Jordan per ridurre a scala la nuova

matrice. Una volta ridotta a scala si moltiplicano tra loro gli elementi della diagonale, ottenendo così il polinomio caratteristico.

o

Calcolo di autovalori, molteplicità e autospazi: 

Si pone il polinomio caratteristico = 0, trovando così le radici



Ogni radice trovata è un autovalore e il numero di volte in cui questa si presenta come soluzione dell’equazione è la molteplicità





La dimensione dell’autospazio di un autovalore è uguale a: 𝑑𝑖𝑚(𝑘𝑒𝑟(𝑀 − 𝜆𝐼)) Dove 𝜆 è l’autovalore

Forma di Jordan: o

È una matrice composta da tutti “0”, tranne che sulla diagonale principale e quella immediatamente superiore: 

Sulla diagonale principale vengono scritti gli autovalori in base alla loro moteplicità



Sulla diagonale posta sopra quella principale si scrive un numero di “1” in base alla differenza tra la molteplicità e la dimensione dell’autospazio dell’autovalore

𝑎 0 considerato: 0 0 [0

  

0 𝑎 0 0 0

0 0 𝑏 0 0

0 0 0 1 𝑐 ]

𝜆 = 𝑎 m=2 𝜆 = 𝑏 m=1 𝜆 = 𝑐 m=2

dim(autospazio)=2 dim(autospazio)=1 dim(autospazio)=1

Una matrice è diagonalizzabile se e solo se la molteplicità di ogni autovalore è 1

Lo spazio vettoriale 𝑀 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖 𝑚 ∗ 𝑛 ha dimensione 𝑚 ∗ 𝑛

Nello spazio vettoriale 𝑀 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑒 𝑛 ∗ 𝑛, ogni matrice può essere scritta come somma di una matrice simmetrica S di dimensione



0 0 0 𝑐 0

𝑛(𝑛+1) 2

e di una matrice antisimmetrica A di dimensione

𝑛(𝑛−1) 2

Una matrice è nilpotente se ha tutti autovalori uguali a 0 e idempotente se ha tutti valori uguali a 0 𝑒\𝑜 1

Formule utili: (sezione C)   

dim(𝜑 −1(S))=null(𝜑) + dim(𝑆 ∩ 𝐼𝑚(𝜑)) dim(𝜑(ker(𝜑))) = 0

In caso di trasformazioni affini (traslazioni), 𝐼𝑚(𝜑) = 𝑃 + 𝐼𝑚(𝜑0 )



In caso di trasformazioni composte da una trasformazione lineare e una affine (𝜑 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑒 𝑒



dim(𝜑(𝐼𝑚(𝜑)) = dim(𝜑 ∗ 𝜑) cioè si fa il prodotto tra matrici



𝜔 𝑎𝑓𝑓𝑖𝑛𝑒) , 𝑑𝑖𝑚(𝐼𝑚(𝜑𝜔) = 𝑑𝑖𝑚(𝐼𝑚(𝜑)) − 𝑑𝑖𝑚(𝐼𝑚(𝜑) ∩ 𝑘𝑒𝑟(𝜔0 ))

Prodotto tra matrici (prodotto riga per colonna): Si considerino due matrici:

𝑏1,1 𝑏1,2 𝑏1,3 𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3 𝑎 𝑎 𝑎 2,3 ] ; 𝐵 = [ 𝑏2,1 𝑏2,2 𝑏2,3 ] 𝐴 = [ 2,1 2,2 𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3 𝑏3,1 𝑏3,2 𝑏3,3

𝑐1,1 𝑐1,2 𝑐1,3 𝐶 = 𝐴 ∗ 𝐵 = [ 𝑐2,1 𝑐2,2 𝑐2,3] 𝑐3,1 𝑐3,2 𝑐3,3

𝑐1,1 = 𝑎1,1 ∗ 𝑏1,1 + 𝑎1,2 ∗ 𝑏2,1 + 𝑎1,3 ∗ 𝑏3,1

(prima riga A* prima colonna B)

𝑐1,3

(prima riga A * terza colonna B)

𝑐1,2

𝑐2,1

(prima riga A * seconda colonna B)

(seconda riga A * prima colonna B)

…

𝑐𝑛,𝑚

(ultima riga A * ultima colonna B)

È possibile effettuare il prodotto tra matrici solo se il numero delle righe della prima matrice è uguale al numero di colonne della seconda



Cambio di base: 𝑀′ = 𝐶 −1 ∗ 𝑀 ∗ 𝐶 o

o o o



𝑀′ : la nuova matrice ottenuta col cambio di base

𝐶 −1:l’inversa della matrice di cambio di base 𝑀: la matrice che subisce il cambio di base

𝐶: la matrice di cambio di base che va dalla base vecchia a quella nuova

𝑛 in uno spazio di dimensione n Matrice associata alla funzione a partire da una base 𝐸 = (𝐸𝑖 )𝑖=1

(e.g 𝑉3 𝑅)

𝐴 = 𝜑(𝐸1 ) = 𝐸1 + 2𝐸2

𝐵 = 𝜑(𝐸2 ) = 𝐸1 + 𝐸3  

  

𝐶 = 𝜑(𝐸3 ) = 𝐸2 + 3𝐸3

𝐸1

𝐸2

𝐸3

𝐴 1 1 0 𝑀(𝜑) = 𝐵 [ 2 0 1] 𝐶 0 1 3

Per trovare 𝐼𝑚(𝜑) si prende 𝑀(𝜑)𝑇 e si eliminano le righe dipendenti

Per trovare 𝐾𝑒𝑟(𝜑) si prende 𝑀(𝜑), si eliminano le righe dipendenti, le righe rimaste indicano il

complemento ortogonale di 𝐾𝑒𝑟(𝜑): 𝑒. 𝑔. (2, −2,4,1) ⇒ 𝑟. 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎 (𝐾𝑒𝑟(𝜑)) = 2𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 + 𝑥4 𝝋 è iniettiva se e solo se 𝑀 ha rango n (in questo caso si dice che 𝑀 ha rango per colonne massimo).

𝝋 è suriettiva se e solo se 𝑀 ha rango m (in questo caso si dice che 𝑀 ha rango per righe massimo).

𝝋 è invertibile se e solo se 𝑀 è quadrata e ha rango n=m (in questo caso si dice che 𝑀 ha rango massimo).

Formule utili: (sezione B)

 

𝑑𝑖𝑚(𝐴𝑓(𝑋)) ≤ dim(𝐿(𝑋))

Dato un sottospazio affine 𝐿(𝑋) = (𝐴, 𝐵) + 𝑃 : o

Base geometrica: si somma il vettore 𝑃 ai vettori del sottospazio lineare, ottenendo così: 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 = {𝐴 + 𝑃, 𝐵 + 𝑃, 𝑃}

quanto vettore dipendente per eccellenza

o



perché 𝐿(𝑋) = (𝑂, 𝐴, 𝐵) ma l’origine si omette in

Base (lineare): {𝐴, 𝐵}

Dato un sottospazio affine 𝐴𝑓(𝑋) = (𝐴, 𝐵, 𝐶) : o

o

Base geometrica: {𝐴, 𝐵, 𝐶}

Base (lineare): si sottrae a tutti i vettori del sottospazio uno dei vettori che compongono il sottospazio stesso: (e.g. B), in questo caso si avrà che la base è data da

{𝐴 − 𝐵, 𝐵 − 𝐵, 𝐶 − 𝐵} , a questo punto 𝐵 − 𝐵 non verrà considerato perché è l’origine e in quanto tale non può essere inclusa in una base

  

𝐝𝐢𝐦(𝑳(𝑨) ∩ 𝑳(𝑩)) = 𝐝𝐢𝐦(𝑳(𝑨)) + 𝐝𝐢𝐦(𝑳(𝑩)) − 𝐝𝐢𝐦(𝑳(𝑨) + 𝑳(𝑩)) (Grassmann) 𝐿(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐿(𝐴) + 𝐿(𝐵) ≠ 𝐿(𝐴) ∪ 𝐿(𝐵)

Per trovare l’intersezione di sottospazi, di cui almeno uno affine, la formula di Grassmann non è valida, quindi, per trovarla, bisogna mettere a sistema le rappresentazioni cartesiane dei sottospazi interessati

       

𝐴 + 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑒 𝑂 ∈ 𝐴 ⊆ 𝐵, 𝑖𝑛 𝑡𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 𝑑𝑖𝑚(𝐴𝑓(𝑋)) = dimensione della direzione (cioè 𝐴𝑓(𝑋0 )

𝑑𝑖𝑚(𝐴𝑓(𝐴 ∪ 𝐵)) = 𝑑𝑖𝑚({𝑄 − 𝑃} ∪ 𝐴𝑓 (𝐴0 ) ∪ 𝐴𝑓(𝐵0 )}

dim(𝐿(𝐴)⊥ + 𝐿(𝐵)⊥ ) = 𝑑𝑖𝑚(𝑉𝑛 𝐾) − dim(𝐿(𝐴) ∩ 𝐿(𝐵))

𝐿(𝐴 ∪ 𝐵)⊥ = 𝐿(𝐴)⊥ + 𝐿(𝐵)⊥

𝐿(𝐴 + 𝐵)⊥ = 𝐿(𝐴)⊥ ∩ 𝐿(𝐵)⊥

𝐿(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐿(𝐴) ∩ 𝐿(𝐵)

Rappresentazione cartesiana a partire da quella parametrica: prendiamo, ad esempio, S = (A, B) in V3 𝑅 𝐴 = (𝑎, 𝑐, 𝑒) 𝐵 = (𝑏, 𝑑, 𝑓)



𝑥1 𝑡 1 𝑎 ⇒[ 𝑡2 𝑏

𝑥2 𝑥3 𝑥1 = 𝑎𝑡1 + 𝑏𝑡2 𝑐 𝑒 ] ⇒ {𝑥2 = 𝑐𝑡1 + 𝑑𝑡2 𝑑 𝑓 𝑥3 = 𝑒𝑡1 + 𝑓𝑡2

Non è sempre possibile risalire alla rappresentazione parametrica da quella cartesiana col metodo sotto descritto, in questi casi si considerano uno o più vettori che hanno come elementi i coefficienti delle incognite delle equazioni (e.g 𝑉3 𝑅)

{𝑥1 +𝑥2 = 0 ⇒ (1,1,0) a questo punto si

cercano altri vettori ortogonali a (1,1,0). Se due vettori sono ortogonali il prodotto scalare tra i due è uguale a 0

si risolve cercando di ottenere n − dim(S) equazioni in cui non compaiano i parametri t

Rappresentazione parametrica a partire da quella cartesiana: o

Si prende il numero di equazioni della rappresentazione cartesiana e lo si sottrae a n: il numero ottenuto è quello dei vettori da trovare: (e.g. 𝑉3 𝑅)

{𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 0 l’equazione è una quindi si avranno 2 vettori, per trovarli basta porre come 𝑥1 = −𝑡1 − 𝑡2 𝐴 = (−1,1,0) parametri due incognite { 𝑥2 = 𝑡1 così facendo si ottengono: 𝐵 = (−1,0,1) 𝑥3 = 𝑡2

Formule varie:

 

𝑨 ∪ 𝑩 ⊆ 𝑨 + 𝑩, se 𝑨 ⊆ 𝑩 o 𝑩 ⊆ 𝑨 ⇒ 𝑨 + 𝑩 = 𝑨 ∪ 𝑩

(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑨 ∪ 𝑩 𝒔𝒆 𝒆 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒆 𝑨 ⊆ 𝑩 𝒐 𝑩 ⊆ 𝑨 perché l’intersezione è sempre lineare, mentre l’unione lo è solo quando uno dei due insiemi che la compongono è contenuto o uguale all’altro



𝑽 = 𝑨⨁𝑩: vuol dire che 𝐴 + 𝐵 = 𝑉 e quindi che 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑂}, e quindi, in questo caso, si dice che 𝐵 è



Proiezioni ortogonali:

complemento lineare di 𝐴 o

Proiezione su di una retta: 𝜋𝑁⊥ (𝑋) =

o

〈𝑋, 𝑁〉 𝑁 , 𝑋 = 𝑣𝑒𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑖𝑒𝑡𝑡𝑎𝑟𝑒, 𝑁 = 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎 𝑠𝑢 𝑐𝑢𝑖 𝑎𝑣𝑣𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑖𝑒𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 〈𝑁, 𝑁〉

Proiezione su di un piano: 𝜋𝑁⊥ (𝑋) = 𝑋 −

〈𝑋, 𝑁 ⊥ 〉 ⊥ 𝑁 , 𝑋 = 𝑣𝑒𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑖𝑒𝑡𝑡𝑎𝑟𝑒, 𝑁 = 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎 𝑠𝑢 𝑐𝑢𝑖 𝑎𝑣𝑣𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑖𝑒𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 〈𝑁 ⊥ , 𝑁 ⊥ 〉

Sia nel caso della retta che nel caso del piano, in genere è necessario proiettare più di un vettore su

   

quella stessa retta o su quello stesso piano, quindi a volte è più comodo risolvere le formule con 𝑥1 𝑋 = [ 𝑥…2 ] 𝑥𝑛

𝛼 −1(𝐾𝑒𝑟(𝛽)) = 𝐾𝑒𝑟(𝛽𝛼)

dim(𝐾𝑒𝑟(𝛽𝛼)) = 𝑛𝑢𝑙𝑙(𝛼) + dim(𝐾𝑒𝑟(𝛽) ∩ 𝐼𝑚(𝛼)) 𝛽(𝐼𝑚(𝛼)) = 𝐼𝑚(𝛽𝛼)

dim(𝐼𝑚(𝛽𝛼)) = dim(𝐼𝑚(𝛽)) − dim(𝐼𝑚(𝛽) ∩ 𝐾𝑒𝑟(𝛼))



𝛼 −1(𝐾𝑒𝑟(𝛼)) = 𝑛𝑢𝑙𝑙(𝛼) + dim(𝐼𝑚(𝛼) ∩ 𝐾𝑒𝑟(𝛼))



dim (𝛼 −1(𝛽 −1(𝑃)))



𝜑 −1 (𝐼𝑚(𝜑)) = dominio di 𝜑

   



=

−1, 𝑠𝑒 𝑃 ∉ 𝐼𝑚(𝛽𝛼)

𝑛𝑢𝑙𝑙(𝛽𝛼) + dim(𝑃 ∩ 𝐼𝑚(𝛽𝛼)) , 𝑠𝑒 𝑃 ∈ 𝐼𝑚(𝛽𝛼)

𝐾𝑒𝑟(𝜑 2 ) ⊆ 𝐾𝑒𝑟(𝜑) 𝐼𝑚(𝜑 2 ) ⊆ 𝐼𝑚(𝜑)

𝐾𝑒𝑟(𝜑) ∩ 𝐼𝑚(𝜑) = 𝐾𝑒𝑟(𝜑) + 𝐼𝑚(𝜑) − (𝐾𝑒𝑟(𝜑) ∪ 𝐼𝑚(𝜑)) dim(𝜑(𝐴𝑓(𝑋)) = dim (𝐴𝑓(𝑋) + dim(𝐾𝑒𝑟(𝜑 ∩ 𝐴𝑓(𝑋)0 ))

dim(𝜑

−1 (𝛽))

=

−1, 𝑠𝑒 𝛽 ∉ 𝐼𝑚(𝜑)

𝑛𝑢𝑙𝑙(𝜑) + dim(𝛽 ∩ 𝐼𝑚(𝜑)) , 𝑠𝑒 𝛽 ∈ 𝐼𝑚(𝜑)...