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Summary

####### PROPRIETA’ DELLE POTENZEXa X b= Xab; baxx = Xab; (Xa)b = Xab ; (XY)a= XaYa ; Xa =ax1; Xa= ax####### 1;ax1 = Xa; X 2/1 = x; X 2/3 = x 3 ; X 0 = 1 ; e = 0 ; e = 00n####### ; 0n ; 0n ; n; n 0  1####### INDETERMINATE ALGEBRA DEI SEGNI- , *0 ,00 , = ( , 0, c 0) + + = ...

Description

PROPRIETA’ DELLE POTENZE

X

a

*X

1 x

b

= X

= X

a b

a

xa xb

;

;

X

1/ 2

= X

n   0

;

;

(X

x;

=

a

0  0 n

ab

;

INDETERMINATE , *0 , 0 ,  0 

  

X

n  0 

a b )

3/ 2

;

= (  , 0, c

=X

ab

x

=

;

3

   n

(XY)

;

X

a

0

;

= X

a a Y

=1 ;

e

0

 1

n

;



X

a

=0 ;

=

1

;

X

a

=

xa e



=

1 x a



ALGEBRA DEI SEGNI +  +  = +  ; +  - = - 

 0)

PROPRIETA’ DEI LOGARITMI

1) ln (a b) = ln a + ln b 2) ln (a/ b) = ln a - ln b n

3) ln a 4) ln e 5) ln 1

1) log (a b) = log a + log b 2) lg (a/ b) = lg a - ln b n

= n ln a =1 =0

3) log a 4) log 10 5) log 1

= n log a =1 =0

6) ln e

x

=x

6) log 10

x

=x

7) ln e 8) ln 0

ln x

=x = -

7) log 10 8) lg 0

log x

=x = -

* “e” numero di Nepero 2,7182818284590

PROPRIETA’ DELLE EQUAZIONI LINEARI (ente di riferimento la retta) 1) è possibile addizionare o sottrarre ad ambo i membri una stessa espressione 2) è possibile trasportare una espressione da un membro all’altro cambiandone il segno 3) è possibile moltiplicare entrambi i membri per una stessa espressione che non si annulli e non perda di significato 4) è possibile cambiare il segno a tutti i termini dell’equazione

PROPRIETA’ DELLE EQUAZIONI LINEARI FRATTE In aggiunta alle altre proprietà, bisogna verificare che il denominatore della frazione sia diverso da zero 1/7

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;

PROPRIETA’ DELLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO (ente di riferimento la parabola) La forma canonica dell’equazione: ax

2

+ bx + c = 0

ammette le seguente formula risolutiva:

E nel caso in cui il coefficiente b sia un numero pari la seguente formula ridotta

2

La parabola ha la concavità verso l’alto se il coefficiente di X è positivo. L’espressione sotto radice si chiama discriminante perché indica la posizione della parabola rispetto all’asse x, è designato da

 che può essere :

 >0 con due soluzioni distinte quando la parabola taglia l’asse x  = con due soluzioni coincidenti quando la parabola è tangente all’asse x  < 0 nessuna soluzione reale quando la parabola è al di sopra o al di sotto dell’asse x PROPRIETA’ DELLE EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO Le equazioni di grado superiore al 2° non sempre ammettono soluzione e ove possibile vanno ricondotte a equazioni di 2° grado. PROPRIETA’ DELLE EQUAZIONI IRRAZIONALI Le equazioni irrazionali hanno l’incognita sotto il segno di radice. Si risolvono elevando entrambi i membri all’esponente della radice ma, nel caso di esponente pari, bisogna controllare la validità delle soluzioni ottenute. PROPRIETA’ DELLE EQUAZIONI ESPONENZIALI Le equazioni esponenziali hanno l’incognita nell’esponente. Si risolvono riportando i vari membri alla stessa base e poi uguagliando gli esponenti PROPRIETA’ DELLE EQUAZIONI LOGARITMICHE Le equazioni logaritmiche hanno l’incognita nell’argomento del logaritmo. E’ necessario riportare i logaritmi alla medesima base e poi si procede applicando le proprietà dei logaritmi. PROPRIETA’ DEL VALORE ASSOLUTO Il “modulo” è un meccanismo, un algoritmo che rende sempre positivo quello che sta racchiuso tra il simbolo | | Nel caso di una funzione f(x) che ha valori positivi in certi intervalli e negativi in altri, il modulo avrà l’effetto che f(x) resti positiva dove già lo è, e diventi positiva dove invece è negativa.

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VALORE ASSOLUTO NELLE EQUAZIONI E NELLE DISEQUAZIONI Per risolvere un’equazione che contenga un solo modulo è necessario studiare il segno dell’argomento del modulo e definire, in relazione ai due intervalli individuati, due sistemi. La soluzione finale sarà data dall’unione delle soluzioni dei due sistemi. Se vi sono più moduli nell’equazione i sistemi aumentano in relazione agli intervalli individuati. PROPRIETA’ DELLE DISEQUAZIONI 5) è possibile addizionare o sottrarre ad ambo i membri una stessa espressione 6) è possibile trasportare una espressione da un membro all’altro cambiandone il segno 7) è possibile moltiplicare entrambi i membri per una stessa espressione che non si annulli e non perda di significato 8) è possibile cambiare il segno a tutti i termini dell’equazione ma in tal caso si inverte il senso della disequazione PROPRIETA’ DELLE DISEQUAZIONI FRATTE In aggiunta alle altre proprietà, bisogna verificare che il denominatore della frazione sia diverso da zero. Sarà necessario un opportuno studio dei segni. PROPRIETA’ DELLE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Con l’applicazione dei principi di equivalenza è sempre possibile avere il coefficiente di x





2

positivo,

. Se risulta >0 si hanno due soluzioni pertanto, bisognerà considerare il valore del discriminante distinte e quindi la parabola taglia l’asse x. La funzione sarà positiva al di sopra dell’asse x. PROPRIETA’ DELLE DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO Le disequazioni di grado superiore al 2° si risolvono se è possibile scomporre il polinomio al primo membro in fattori di primo o secondo grado. PROPRIETA’ DELLE DISEQUAZIONI IRRAZIONALI Le disequazioni irrazionali hanno l’incognita sotto il segno di radice. Si risolvono elevando entrambi i membri all’esponente della radice se è dispari. Nel caso di esponente pari, bisogna distinguere due casi: se n A( x) < B(x) allora si considera il sistema: A(x)  0 B(x) > 0 n

se

n

A( x)  B ( x ) 

n

A( x) > B(x) allora si devono considerare due sistemi: | B(x)  0 | A(x) > B ( x ) n

e

| A(x)  0 | B(x) < 0

PROPRIETA’ DELLE DISEQUAZIONI ESPONENZIALI Le disequazioni esponenziali hanno l’incognita nell’esponente. Si risolvono riportando i vari membri alla stessa base e poi uguagliando gli esponenti PROPRIETA’ DELLE DISEQUAZIONI LOGARITMICHE Le disequazioni logaritmiche hanno l’incognita nell’argomento del logaritmo. E’ necessario riportare i logaritmi alla medesima base e poi si procede applicando le proprietà dei logaritmi.

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DERIVATE FONDAMENTALI Dx

n

= nx

x

n 1

De =e

x

D ln x = 1

x D sen x = cos x D tg x =

D cos x = -sen x

1 cos 2 x

D cotg x = -

1 sen2 x

FUNZIONI COMPOSTE y = f(x)

y’ = f’(x)

y = f  g x 

y’ = f’  g  x  * g’(x)

es. y = sen (3x+4) es. y = (4x+3)

y’ = cos (3x+4) *3

2

y’ = 2(4x+3)

2

es. y = cos (x+1) es. f(x) = ln (e

2x

1

*4

y = 2cos (x+1) * - (sen (x+1)) *1

+1)

f’(x) =

1 (e 2 x ) * 2 e2x 1

TEOREMI DI DERIVAZIONE D (f(x)

 g(x))

D (f(x) * g(x))

D f(x)

 Dg(x)

f’ (x) * g(x) + f (x) * g’(x)

es. y = f (x) = x 2 (x 3 + 2)

D

f (x ) g ( x) es. y’ = f (x) ’ =

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f’ (x) = 2x (x 3 + 2) + x 2 ( 3x 2 )

f ' ( x) * g ( x)  f (x ) * g ' (x )

g( x) 2 2 x.( x2 4) ( x2 1).2 x 2

(x  4)

2

=

2x3  8x  2 x3  2 x 2

2

(x  4)

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=

-

10x 2

(x  4)2

Teoremi Limiti: Teorema de L’Hospital Il teorema si può applicare nella ricerca dei limiti di funzioni che convergono a forme indeterminate del tipo 0/0 oppure ∞ /∞ ipotesi: siano f(x) e g(x) due funzioni continue in un intervallo [a,b] chiuso e limitato, derivabili nei punti interni dell’intervallo, si supponga che esiste un punto x in cui f(x ) = g(x ) = 0 ……………………………………………..…..…. 0

0

0

tesi: se esiste il limite di f’(x)/ g’(x) esiste anche il limite di f(x)/ g(x) ed è uguale.

Funzioni: Teorema di Bolzano detto anche teorema degli zeri …………………………………………………..………………………………….... ipotesi: si considera una funzione f(x) continua in un intervallo [a,b] chiuso e limitato, che assume segni opposti ai due estremi dell’intervallo …….........…………………………………………………………………………………..…………………………........ tesi: esiste almeno un punto x 0 appartenente all’intervallo in cui la funzione sia uguale a zero. Teorema di connessione è una conseguenza del teorema degli zeri …………………………………..……………….………… ipotesi: si considera una funzione f(x) continua, definita in un intervallo qualunque, anche illimitato …………..………. tesi: la funzione assume tutti i valori dell’intervallo. L’insieme immagine dell’intervallo è un intervallo. Teorema di compattezza ………………………………………………………….………………………………………………………………… ipotesi: si considera una funzione f(x) continua, definita in un insieme chiuso e limitato. Però non è detto che sia un intervallo: potrebbe essere costituito da un intervallo, poi un punto, poi un altro intervallo, ecc,..………………………… tesi: l’insieme immagine sarà sempre un insieme chiuso e limitato. Teorema Weierstrass è una conseguenza del teorema di compattezza. ……………………………..…………….……………….. ipotesi: si considera una funzione f(x) continua, definita in un intervallo [a,b] chiuso e limitato.,..… ……………………… tesi: tale funzione ammette sempre un massimo e un minimo. Questo teorema è di grande importanza ed è alla base del teorema di Rolle.

Derivate Teorema di Rolle: ………..…………………………………………………………………………………………..………………………………………….. ipotesi: si considera una funzione f(x) continua in un intervallo [a,b] chiuso e limitato, derivabile nei punti interni dell’intervallo, in ]a,b[ con f(a)=f(b) ……...……………………………………………………………………………………..………..…........ tesi: esiste almeno un punto x 0 appartenente all’intervallo aperto ]a,b[ in cui la derivata prima sia uguale a zero, cioè rappresenta la tangente alla funzione parallela all’asse delle x. Teorema di Cauchy: ipotesi: siano f(x) e g(x) due funzioni continue in un intervallo [a,b] chiuso e limitato, derivabili nei punti interni dell’intervallo, in ]a,b[ e g’(x)  0 per ogni x  ]a,b[ ……………………………………………………………………………..…........ tesi: esiste almeno un punto x appartenente all’intervallo tale che f’(x ) = [g(b) – g(a)] = g’(x ) = [f(b) – f(a)] è 0

0

0

possibile scrivere questa formula come una frazione ma in tal caso non è sempre applicabile perché è necessario che il denominatore sia diverso da zero.

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f ' (x 0 ) g ' (x 0 )



f (b )  f (a ) g (b ) g (a )

Teorema di Lagrange: è un caso particolare del teorema di Cauchy ipotesi: consideriamo una funzione f(x) continua in un intervallo [a,b] chiuso e limitato, derivabile nei punti interni dell’intervallo, in ]a,b[ qualunque sia il grafico di questa funzione..….................................................... tesi: esiste almeno un punto x interno all’intervallo tale che la tangente alla curva in x è parallela alla 0

0

congiungente i punti Pa e Pb. Quindi

f ( b)  f ( a) f ' (x 0 )  ba

Algebra lineare: regola di Cramer, si può applicare solo ai sistemi che hanno il numero di equazioni uguale al numero delle incognite e quindi la matrice dei coefficienti è quadrata. ipotesi: il determinante della matrice dei coefficienti sia diverso da zero ..…..……………………………....... tesi: esiste una unica soluzione e in questo caso, la regola di Cramer fornisce anche un algoritmo per calcolarne la soluzione. Il Teorema di Laplace o sviluppo di Laplace è una formula che permette di calcolare il determinante di una matrice (quadrata) con un procedimento ricorsivo. Può essere applicato "per righe" o "per colonne". Teorema di Rouché-Capelli si può applicare ad ogni sistema lineare di m equazioni in n incognite. Ci permette di riconoscere se il sistema è compatibile oppure no. A tale scopo è necessario verificare che il rango (ordine massimo dei minori non nulli) della matrice dei coefficienti delle incognite (detta matrice incompleta) e il rango della matrice completa (la matrice formata dagli stessi coefficienti più i termini noti) siano uguali. In questo caso il sistema ammette soluzione. Rag. A = rag. Ab In particolare se il numero del rango delle due matrici coincide anche con il numero delle equazioni (m) e con il numero delle incognite (n) il sistema è determinato ed ammette una unica soluzione. Rag. A = rag.Ab = m = n Il teorema però non ci fornisce indicazioni circa la risoluzione che si ottiene applicando altri metodi. Se i ranghi sono diversi il sistema non ammette soluzioni Se i ranghi delle due matrici sono uguali ma il numero delle equazioni è minore del numero delle incognite Rag. A = rag.Ab m < n il sistema è indeterminato e ammette ∞ n r soluzioni. Allora si considerano le equazioni corrispondenti al determinante il cui valore sia diverso da zero con un numero di incognite uguale al numero di equazioni. Le altre incognite si considerano parametri in base ai quali calcolare le soluzioni. Più sinteticamente: si può applicare ad ogni sistema ipotesi: sia dato un sistema con qualunque numero di equazioni e di incognite ………………………………………… tesi: le soluzioni esistono solo se il rango (ordine massimo dei minori non nulli) della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice completa (che contiene anche i termini noti), altrimenti il sistema è incompatibile. Se è compatibile ma il numero delle incognite supera il numero delle equazioni, le soluzioni sono infinite e dipendono da tanti parametri quante sono le incognite meno il numero del rango. 6/7

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Integrali Teorema della media ipotesi: sia data una funzione continua f(x) su un intervallo [a,b] chiuso e limitato …………………..….…….. tesi: esiste l’integrale della funzione ed esiste certamente un punto  appartenente all’intervallo, tale che: b a f ( x) dx  f ( )(b  a)

Il valore della funzione in un certo opportuno punto  medio ci permette di considerarla costante su tutto il tratto Teorema di Torricelli Barrow ipotesi: sia data una funzione continua f(x)

in un intervallo [a,b] …………………………………………………….. tesi: l’integrale calcolato tra a e b di f(x) è proprio: abf(x) dx = F(b) - F(a) = G(b) - G(a) possiamo scegliere qualunque primitiva della funzione perché l’unica differenza fra le primitive è una costante che nel caso specifico compare una volta positiva e una altra volta negativa e perciò viene eliminata.

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