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CAPÍTULO

02 CAPACITORES Y DIELÉCTRICOS

Unidad 2

Capacitores y Dieléctricos

Esp. Ing. Francisco A. Gómez López Física II, Unidad 2 – Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán / Edición 2020

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2.1| Introducción Uno de los objetivos de la física es proporcionar la ciencia básica para que los ingenieros diseñen dispositivos prácticos. El enfoque de este capítulo es un ejemplo claro de esto. Cuando comprimimos un resorte o tensamos la cuerda de un arco, almacenamos energía mecánica en forma de energía potencial elástica. Un capacitor es un dispositivo que almacena energía potencial eléctrica a través de la acumulación de carga eléctrica. Por ejemplo, las baterías de una cámara fotográfica almacenan energía eléctrica cargando un condensador a un voltaje mucho mayor que la batería por medio un circuito electrónico (aproximadamente 300 V). Esta tensión es la necesaria para poder excitar el flash de xenón y emitir un destello de luz. Cuando el condensador está cargado, puede suministrar energía a una gran velocidad (descargarse) permitiendo que el flash emita una ráfaga de luz brillante. Para hacer un capacitor, basta aislar dos conductores uno del otro. Para almacenar energía en este dispositivo hay que transferir carga de un conductor al otro, de manera que uno tenga carga negativa y en el otro haya una cantidad igual de carga positiva. Debe realizarse trabajo para trasladar las cargas a través de la diferencia de potencial resultante entre los conductores, y el trabajo efectuado se almacena como energía potencial eléctrica. La física de los condensadores se puede generalizar a otros dispositivos y a cualquier situación involucrando campos eléctricos. Otro ejemplo es el campo eléctrico atmosférico de la Tierra que puede ser modelado por meteorólogos como si fuera producido por un gran condensador esférico que se descarga parcialmente a través de los rayos. La carga eléctrica que los esquís acumulan a medida que se deslizan en la nieve se puede modelar como almacenada en un condensador que se descarga frecuentemente con chispas (que pueden verse en esquiadores nocturnos en la nieve seca).

Figura 2.1 Capacitor de laboratorio de placas paralelas

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2.2| Capacitores y Capacitancia Estrictamente hablando, pueden formar un capacitor o condensador dos conductores cualesquiera separados por un aislante (figura 2.2). Un capacitor cargado, tendrá en los conductores cargas de igual magnitud y signo opuesto, de modo que la carga neta del capacitor es nula. El campo eléctrico en la región comprendida entre los conductores es proporcional a la magnitud de la carga almacenada en ellos, por lo que la diferencia de potencial Vab entre los conductores es también proporcional a la magnitud de la carga. Q.

Figura 2.2 Dos conductores cualesquiera aislados uno e otro forman un capacitor

Entonces, un capacitor o condensador es un dispositivo capaz de almacenar energía eléctrica entre sus placas cargadas. La cantidad de carga y energía que puede almacenar, depende de su geometría y de la diferencia de potencial eléctrico entre las placas. Si se conecta una batería a las placas de un capacitor, circulará una corriente que les transfiere una cantidad de carga Q que es directamente proporcional a la diferencia de potencial Vab suministrada por la batería: Q  Vab

Para convertirla en igualdad introducimos un constante C que denominaremos capacitancia: Q  CVab Se define la capacitancia C de un capacitor a la relación entre la magnitud de la carga Q de una de las placas y la diferencia de potencial Vab entre ellas: C

Q V ab

(2.1)

O sea, que si aumentamos la diferencia de potencial entre los bornes del capacitor, éste acumulará en forma proporcional más carga Q entre las placas. Si Esp. Ing. Francisco A. Gómez López Física II, Unidad 2 – Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán / Edición 2020

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disminuimos la diferencia de potencial entre las placas, la carga Q en las placas disminuirá en forma proporcional, o sea, la razón de entre Q y Vab siempre es constante. Esta constante “la capacitancia” caracteriza una propiedad que indica “cuanta” carga puede almacenar el capacitor para una característica física determinada. La capacitancia depende de las dimensiones y las formas de los conductores y del material aislante (si lo hay) entre ellos. En comparación con el caso en que sólo hay vacío entre los conductores, la capacitancia aumenta cuando está presente un material aislante (un dieléctrico). Esto sucede porque en el interior del material aislante ocurre una redistribución de la carga, llamada polarización. El estudio de la polarización ampliará nuestra perspectiva de las propiedades eléctricas de la materia. Según la expresión (2.1) la unidad de capacitancia será coulomb por volt o sea [C/V] que se denomina Faradio o Farad [F] en honor a Michael Faraday.

F    C  V 

El capacitor como elemento pasivo se representa circuitalmente de la siguiente manera:

+ a)

b)

c)

Figura 2.3 Representación circuital de un capacitor: a) Capacitor sin polarización; b) Capacitor variable y; c) Capacitor con polarización

Cuando un capacitor tiene una carga Q, significa que la carga de la placa de mayor potencial es +Q y la de menor potencial es –Q. Cuanto mayor es la capacitancia C de un capacitor, mayor será la magnitud de la carga Q en el conductor para una cierta tensión dada Vab, y, por lo tanto, mayor será la cantidad de energía almacenada. (Hay que recordar que el potencial es energía potencial por unidad de carga.) Así, la capacitancia es una medida de la aptitud (capacidad) de un capacitor para almacenar energía. Se verá que el valor de la capacitancia sólo depende de las formas y los tamaños de los conductores, así como de la naturaleza del material aislante que hay entre ellos. Los capacitores ofrecen una forma nueva de pensar acerca de la energía potencial eléctrica. La energía almacenada en un capacitor con carga, guarda relación con el campo eléctrico en el espacio entre los conductores. Veremos que la energía potencial eléctrica puede considerarse almacenada en el mismo campo. La idea de que el campo eléctrico es en sí un almacén de energía está en el corazón de la teoría de las ondas electromagnéticas y de nuestra concepción moderna de la naturaleza de la luz, que estudiaremos más adelante. Resulta imposible pensar un circuito eléctrico o electrónico sin la utilización de los capacitores ya que tienen muchas y diversas aplicaciones. Se utilizan para sintonizar los circuitos de radio, para suavizar (disminuir el rizado o ripple) la corriente rectificada Esp. Ing. Francisco A. Gómez López Física II, Unidad 2 – Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán / Edición 2020

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suministrada por una fuente de voltaje, para eliminar la chispa que se produce cuando se abre repentinamente un circuito con inductancia. En los motores a explosión con platino, se utiliza para eliminar el chispazo producido al abrirse y cerrarse el mismo. En los compresores, ventiladores, etc. que trabajan con motores monofásicos se utilizan los condensadores para mejorar su arranque y eficiencia. En los motores eléctricos trifásicos mejora su eficiencia y factor de potencia. De acuerdo a la definición, el tendido de una línea eléctrica de dos conductores paralelos se comporta como un capacitor; este efecto capacitivo, debe tenerse muy en cuenta a la hora de diseñar un sistema de transmisión de energía eléctrica de alta tensión.

2.3| Capacitor de placas paralelas con vacío Dos placas conductoras paralelas y separadas por una distancia pequeña comparada con las dimensiones lineales de la placa forman un capacitor (figura 2.4). Prácticamente todo el campo eléctrico se encuentra confinado entre las dos placas. Existe una pequeña dispersión del campo en los extremos del capacitor (curvatura hacia fuera cerca de los bordes), sin embargo si la placas se encuentran suficientemente próximas, éste puede despreciarse. El campo entre las placas es uniforme, o sea, en cada punto del espacio entre las mismas, el campo tiene la misma magnitud, dirección y sentido. Las cargas sobre ellas se encuentran uniformemente distribuidas sobre sus superficies opuestas.

Figura 2.4 Campo eléctrico de un capacitor de placas paralelas

Supongamos que las placas del capacitor están en el vacío, como el campo eléctrico es uniforme, la diferencia de potencial entre las placas es: Vab  Ed

Como:

Vab 

E

 Q  o o A

Qd  oA

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Donde d es la separación entre las placas; A, el área de cada una de las placas y Q la magnitud de la carga total de cada placa. Por lo que la capacitancia de un capacitor de placas paralelas con vacío es: C

Q Q o A A   o V ab Qd d

C  o

A d

(2.2)

Como εo es una constante universal, A y d son parámetros constantes para un capacitor dado, la capacitancia es una constante independiente de la carga del capacitor, por lo que resulta directamente proporcional al área de las placas e inversamente proporcional a su separación. Si A se expresa en metros cuadrados [m2], d en metros [m] y εo en Farad por metro [F/m], C se expresa en Farads [F]. Como:

Nm  J 

y

J   C  V   

y

C    V  F   

Entonces:  C 2   C2   C   F         2  Nm   Jm   Vm   m 

o  

 o  8,85 x10 12

F F  8,85 p m m

Esta relación es útil en los cálculos de capacitancia y también ayuda a comprobar que la ecuación (2.2) es consistente en términos de dimensiones. Un farad es una capacitancia muy grande, por lo que las unidades prácticas más convenientes son el microfarad (1 µF = 10-6 F) y el picofarad (1 pF = 10-12 F). Para cualquier capacitor con vacío, la capacitancia C sólo depende de las formas, las dimensiones y la separación de los conductores que constituyen el capacitor. Si las formas del conductor son más complejas que las del capacitor de placas paralelas, la expresión de la capacitancia es más complicada que la ecuación (2.2). En los siguientes ejemplos mostraremos cómo calcular C para otras dos geometrías distintas de conductores.

2.4| Capacitor Esférico Un arreglo de dos esferas conductoras concéntricas huecas separadas por vacío recibe el nombre de capacitor esférico. Para determinar la capacidad de esta configuración utilizaremos la definición de capacitancia, ecuación (2.1), y supondremos que la esfera interior tiene una carga total +Q y radio exterior ra, y la esfera exterior tiene carga -Q y radio interior rb (figura 2.5).

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Coraza interior con carga +Q Superficie gaussiana Coraza exterior con carga -Q

Figura 2.5 Capacitor esférico

Como primer paso averiguaremos la diferencia de potencial Vab , y para ello, recurriremos a la Ley de Gauss para calcular el campo eléctrico entre las esferas conductoras. Para esto, tomamos como superficie gaussiana una esfera con radio r entre las dos esferas y que sea concéntrica con respecto a éstas. La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico a través de esta superficie es igual a la carga total encerrada dentro de la superficie, dividida entre  o:  

 E dA 

Qenc

o

Por simetría, E es constante y paralela a dA en cada punto de esta superficie, por lo que la integral en la ley de Gauss es igual a: ( E )(4 r 2 ) 

E

Qenc

o

Q 4 o r 2

El campo eléctrico entre las esferas es sólo originado por la carga de la esfera interior. Por otro lado, las cargas de la esfera exterior no contribuyen con el campo entre las esferas debido a que el campo eléctrico es nulo dentro de una esfera conductora. La expresión anterior para E es la misma que la correspondiente a una carga puntual Q, por lo que la expresión para el potencial también puede tomarse como la correspondiente a una carga puntual: V 

Q 4 o r

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Y la diferencia de potencial Vab será entonces: V ab  V a  V b 

Q 4 o ra



Q 4o rb

  

Vab 

Q 1 1   4o  ra rb

Vab 

Q  rb  ra    4 o  ra rb 

Por último, la capacitancia es: C

Q Q  Q rb  ra ) ( Vab 4 o ra rb

C  4 o

ra rb ( rb  ra )

(2.3)

Podemos relacionar este resultado con la capacitancia de un capacitor de placas paralelas. La cantidad 4 rarb es una superficie intermedia entre las superficies de las esferas interior y exterior, o sea, la media geométrica de las dos superficies, que se denota como Amg. La distancia entre las esferas es d = rb - ra, por lo que el resultado anterior podemos escribirlo como: C  o

Amg d

(2.4)

Ésta expresión tiene la misma forma que para placas paralelas. Entonces podemos concluir que si la distancia entre las esferas es muy pequeña en comparación con sus radios, las esferas se comportan como placas paralelas con la misma área y separación.

2.5| Capacitancia de una Esfera conductora aislada Supongamos nuevamente un arreglo de dos esferas conductoras concéntricas huecas separadas por vacío, y además, supongamos que la esfera externa tiene un radio infinito (rb = ∞). De esta forma podemos asignar una capacitancia a un único conductor esférico aislado de radio r asumiendo que la "placa faltante" es una esfera conductora de radio infinito. Después de todo, las líneas de campo que salen de una superficie conductora con una carga positiva aislada deben terminar en algún lado; las paredes de la habitación en la que está el conductor alojado o simplemente el suelo pueden servir efectivamente como nuestra esfera de radio infinito.

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Para encontrar la capacitancia del conductor esférico hacemos: C  4 o

ra rb ra  4o  ( rb  ra ) r 1  a  rb 

   

Como rb = ∞ C  4o ra

Si ra = R C  4o R

(2.5)

2.6| Capacitor Cilíndrico Un conductor cilíndrico largo de radio ra y densidad lineal de carga +, está ubicado en forma coaxial dentro de un conductor cilíndrico hueco con radio interior rb y densidad lineal de carga - (figura 2.6). Para esta configuración resulta útil calcular la capacitancia por unidad de longitud, para esto, supondremos que hay vacío en el espacio entre los cilindros.

r

Superficie Gaussiana Figura 2.6 Capacitor cilíndrico

Primero encontremos la expresión para la diferencia de potencial Vab entre los cilindros, suponiendo que el cilindro interno se encuentra a un potencial Va y el externo a un potencial Vb. De acuerdo con la ley de Gauss, la carga en el cilindro exterior no contribuye al campo entre los cilindros. Entonces, si la carga total Q en una longitud L es Q = L y encerramos al cilindro interior con una superficie gaussiana cilíndrica, el campo eléctrico en un punto sobre la superficie gaussiana, fuera de un cilindro con carga Q a una distancia r de su eje será: E

 2or E



Q 2o rL

Q 2 o rL

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La diferencia de potencial entre ra y rb es: b

b

Vab   Edl   a

a

V ab 

Q 2 orL Q 2 o L

dr

b

Q

o

ln

dr a r

2 L  rb ra

V ab r 1 ln b  Q 2 o L ra

Por lo que la capacitancia del capacitor cilíndrico es: C

Q 2 o L  Vab ln(rb / ra )

(2.6)

Y la capacidad por unidad de longitud resulta: C 2o  L ln( rb / ra )

(2.7)

Esta ecuación expresa que la capacitancia de los cilindros coaxiales está determinada en su totalidad por las dimensiones, tal como ocurre en el caso de las placas paralelas. Los cables coaxiales comunes están fabricados de este modo, pero entre los conductores, interior y exterior, tienen un material aislante en vez de vacío. El conductor externo, además de conductor de retorno, cumple la función de blindaje, con la consiguiente estabilización de los parámetros eléctricos. El cable típico para las antenas de televisión tiene una capacitancia por unidad de longitud de 55 pF/ m. Los cables coaxiales se pueden emplear en todas aquellas aplicaciones en las que deben transmitirse señales eléctricas de alta velocidad y sin la interferencia de otras señales espurias. Existen innumerables casos de este tipo, como ser las bajadas de antenas satelitales o de radiofrecuencia, las conexiones entre computadoras, las redes de televisión por cable, etcétera. El empleo de cables coaxiales permite confinar la señal y limitar las pérdidas que se verifican por radiación cuando las frecuencias de las señales transmitidas sobrepasan los cientos de kHz.

Figura 2.7 Cable coaxial

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2.7| Asociación de capacitores en serie y en paralelo Los capacitores se fabrican con ciertas capacitancias y voltajes de trabajo estándares. Sin embargo, estos valores estándar podrían no ser los que se necesiten en una aplicación específica. Se pueden obtener los valores requeridos combinando capacitores; son posibles muchas combinaciones, pero las más sencillas son la conexión en serie y la conexión en paralelo.

2.7.1| Conexión de capacitores en serie La figura 2.8 es una conexión en serie. Se conectan en serie dos capacitores mediante alambres conductores entre los puntos a y b. Al principio ambos capacitores están inicialmente sin carga. Cuando se aplica una diferencia de potencial Vab positiva y constante entre los puntos a y b, los capacitores se cargan; la figura muestra que la carga en todas las placas conductoras tiene la misma magnitud. Para saber por qué, primero observe que la placa superior de C1 adquiere una carga positiva Q. El campo eléctrico de esta carga positiva atrae carga negativa hacia la placa inferior de C1 hasta que todas las líneas de campo que comienzan en la placa superior terminan en la placa inferior. Para ello se requiere que la placa inferior tenga carga -Q. Estas cargas negativas tuvieron que venir de la placa superior de C2, la cual se carga positivamente con carga +Q. Luego, esta carga positiva atrae la carga negativa -Q desde la conexión en el punto b a la placa inferior de C2. La carga total en la placa inferior de C1 y la placa superior de C2, en conjunto, debe ser siempre igual a cero porque tales placas sólo están conectadas una con otra y con nada más. Así, en una conexión en serie, la magnitud de la carga en todas las placas es la misma.

Figura 2.8 Capacitores conectados en serie

Al igual que las...