fisika kuantum - agus purwanto pdf PDF

Preview

Summary

UANTUM Agus Purwanto PENERBIT GAVAMEDIA kndasan 1 I~~II\;Iyang berkembang sampai akhir abad sembilan belas I III~I~II:IIsebagai fisika klasik dan mempunyai dua cabang utama ; 1111I niekanikaklasik Newtoniandan teori medan elektromagnetik Fl~~rwr?llian. Mekanika klasik dicirikan oleh kehadiran parti...

Description

UANTUM

Agus Purwanto

PENERBIT GAVAMEDIA

kndasan

I~~II\;I yang berkembang sampai akhir abad sembilan belas III~I~II:IIsebagai fisika klasik dan mempunyai dua cabang utama ; 1111I niekanikaklasik Newtoniandan teori medan elektromagnetik Mekanika klasik dicirikan oleh kehadiran partikel Fl~~rwr?llian. I $11:lrjni sesuatu yang terkumngdi dalam ruang. lstilah terkurung 'I :~ r sederhana n dapat dikatakan sebagai adanya batas yang 11 $1I,,; nntara materi dan sesuatu di luar dirinya atau lingkungannya. ' .I 11 lrrngkan medan elektromagnetikdicirikanoleh kuantitas medan I 11IIl clelombang yang menyebar di dalam ruang. Medan tersebar I 11 IIr~lam ruang bagai kabut dengan ketebalan yang berbeda dan II 11 br~ipis sampai akhirnya benar-benarlenyap. Batas antara ruang I11 )Irnedan dan ruang tanpa medan tidak jelas atau kabur. Ciri utama fisika klasik adalah sifatnya yang common sense I 11 III deterministik. 1

I

I

I.1.l.Mekanika Sistem Partikel Perhatikan partikel berrnassa m yang pada saat 4 berada pnda posisi F = r ' ( t ) , memptmyai kecepatan 9 = $(t) dan

Landasan Fisika Kuanturn

Fisika Kuantum I

mengalamigaya F . Secara klasik partikel ini terikat oleh hukum Newton :

F = mF(t)

(1.1)

IIIII~~ teori I ~ medan I~ elektromagnetik. Dengan demikian, cahaya lit*ll!~gai gelombang elektromagnetik merupakan salah satu II11 ~l~ilastasi dari fenornena elektromagnetisme yang terumuskan I 111l:lm persamaan Maxwell :,

dan akan bergerakdengan lintasantertentu (definitepath).Karena itu, jika posisi, kecepatan, dan gaya saat ini diketahui maka keadaan masa lalu partikel dapat diketahui secara pasti, demikian pula keadaan masa depannya. lnilah yang dimaksud dengan sifat deterministik fisika klasik. Sifat ini secara grafik dapat dilukiskan sebagai berikut :

,

F(t'> t )

Gambar. 1.1 Lintasan Klasik suatu Partikel Dapat dikatakan, keadaan sistem partikel pada suatu saat t direpresentasikan oleh nilai sesaat dari posisi F ( t ) dan kecepatan

? ( t ). Fenomena yang ada di dalam sistem partikel (mekanika klasik) adalah fenomena tumbukan antara beberapapartikel yang memungkinkanterjadinya transfer momentumdan energi.

1.1.2 Medan Elektromagnetik Penemuan fenomena interferensi dan polarisasi cahaya di awal abad kesembilan belas meyakintan bahwa cahaya merupakangelombang. Siiat gelombangdari cahaya diidentifikasi beberapa dasawarsa kemudian sesuai perumusan Maxwell

~lrbnganfi = E?, dan H = 4 yang mana dan B adalah 111cvIanlistrik dan medan induksi magnetik, E dan ,u adalah ~~rrrmitivitas dan permeabilitas bahan, sedangkan p dan J IIlrvupakan distribusi (sumber) muatan listrik dan distribusi arus Il0:lrik di dalam bahan. Sampai menjelang abad kedua puluh, kedua teori tersebut I lilnmbah termodinamika dipandang sebagai teori puncak (ulti111ntetheory)yang mampu menjelaskan semua fenomena fisika. ! ivdangkan secara praktis, teori-teori tersebut telah memicu llrnbulnya revolusi industri.

1.2 KRlSlS FlSlKA KLASIK DAN SOLUSINYA I isika terus berkembang dan temuan baru terus didapatkan.

Ihtapi sayang, beberapafenomena fisis yang ditemukan di akhir r~badsembilan belas berikut ini tidak dapat dijelaskan oleh teori lisika klasik. Karenanya, orang mengatakan bahwa fisika klasik mengalami krisis !

1.2.1 Radiasi Benda Hitam Jika suatu benda dipanaskan ia akan meradiasi. Hasil

Landasan Fisika Kuantum

Fisika Kuantum

eksperimen yang menarik adalah sifat distribusi energi atau spektrum energi dari radiasi benda hitam yang bergantung pada frekuensi cahaya dan temperatur. Benda hitam didefinisikan sebagai benda atau sesuatu yang menyerap semua radiasi yang diterimanya. Hasil eksperimen tersebut untuk temperatur berbeda diungkapkan oleh Gambar 1.2.

I 11 II 11111 ndalah prediksi Rayleigh-Jeans, sedangkan garis putus 11 li 11:

111hasil eksperimen.

Gambar. 1.3 Distribusi energi radiasi klasik

Gambar. 1.2 Distribusi energi benda hitam Teori klasik yang dirumuskan oleh Rayleigh dan Jeans sampai pada bentuk fungsi distribusi energi :

dengan k= 1,38x10-l6 ergPK adalah konstanta Boltzman dan c adalah kecepatan cahaya. Jelas, hasil perumusan Rayleighdan Jeans (1.3) ini hanya sesuai untuk frekwensi kecil tetapi gagal pada frekwensi tinggi. Kegagalan atau penyimpangan teori Rayleigh-Jeanspada frekwensibesar ini dikenal sebagai bencana ultraungu (ultraviolet catastrophe).Grafik distribusi energi dari rumus Rayleigh-Jeans (1.3) diberikan oleh Gambar 1.3. Garis

Untuk mengatasi kesulitan analisa klasik, digunakan fakta I I;~hwa gelombang elektromagnetik yang merupakan radiasi di I lr darn rongga (cavity with a small aperture - sebagai realisasi I)r'nktiskonsep benda hitam) dapat dianalisa sebagai superposisi I I:~ri karakteristik moda normal rongga. Dalam setiap moda norIIlnl, medan bervariasi secara harrnonik. Dengan demikian, setiap t~lodanormal ekivalen dengan osilator harmonik dan radiasi lrlctmbentuk ensembel osilator harmonik. Bedasarkan pemahaman tersebut, Max Planck mengajukan I~ipotesisradikal sebagai berikut : 1 . Osilator di dalam benda hitam tidak memancarkan cahaya secara kontinu melainkan hanya berubah amplitudonya transisi amplitudo besar ke kecil menghasilkanemisi cahaya sedangkan transisi dari amplitudo kecil ke besar dihasilkan dari absorbsi cahaya. 2. Osilator hanya bisa memancarkan atau menyerap energi dalam satuan energi yang disebut kuanta sebesar hv ,

Landasan Fisika Kuantum

Fisika Kuantum bersifat bagai gelombang tetapi tidak menyebar melainkall terkurung di dalam ruang. Hal ini dipenuhi oleh paket gelombari!l yang merupakan kumpulan gelombang dan terkurung di dala111 ruang tertentu. Sebagai pendekatan terhadap konsep paket gelombang, perhatikan kombinasi dari dua gelombang bida,ig berikut

(

I

hmbar. 1.11 Superposisi dua gelombang tunggal

,111 Iqelombang tunggalnya diperbanyak,

yl (x,t) = Acos(o,t - klx) W, (x, t) = A cos(o,t - k,x) Prinsip superposisi memberikan

dengan amplitudo A,

Grafiknya,

Gambar. 1.12 Superposisi dari n gelombang

V)

.- .E

f a ,

5

Q

' l a,

L

e

a 25

$

cde

Y .-

F s-

*-

8 %

m m

.a

a a

C

f,

a

m

1-isikaKuantum

Landasan Fisika Kuantum

Gaussian yang bertransformasi Fourier juga dalam fungsi Gaussian. Untuk paket Gaussian,jika Ax dan Ak diambil deviasi standar dari (x) dan g(k),maka

h A k = 12

(1-43)

Karena pada umumnya paket gelombang tidak berbentuk Gaussian, maka

AxAk24

(1-44)

Kalikan pertidaksamaan (1-44) dengan ji dan mengingat Gambar. 1.15 Transform Fourier dari g ( k )

p = hk , maka didapatkan

Dari uraian contoh dan gambar transformasi Fourier di atas diperoleh hubungan antara Ax dan Ak (atau Ap). Hubungan ini secara grafik adalah sebagai berikut Pers(1.45) ini merupakanprinsip ketidakpastian Heisenberg (Heisenberg's uncertainty principle). Dalam kalimat, prinsip ini mengatakan :

"Tidak mungkin mengetahui atau mendapatkan posisi dan momentum suatu partikel dengan tepaf secara serempak atau bersamaanJJ

Gambar. 1.16 Kaitan antara & dan Hubungan antara Ax dan Ak bergantungdari bentuk paket gelombangdan bergantung pada Ak, Ax didefinisikan. Perkalian (Ax)(Ak) akan minimumjika paket gelombang berbentukfungsi

Prinsip ini merupakan fakta mendasar dari alam dan bukan sekedar disebabkanoleh keterbatasandan ketelitian pengukuran. Untuk mengatakanbahwa suatu partikel berada pada titik xdan bermomentum p berarti kita harus mengukur secara serempak koordinat x dan momentum p, karena tanpa pengukuran kita tidak mempunyai informasi apa-apa. Sebagai ilustrasi, perhatikangedanken eksperimen berikut ini. - Untuk mengamati elektron, kita harus menyinarinyadengan cahaya - Cahaya yang sampai di mikroskop adalahcahaya terhambur oleh elektron.

a

Fisika Kuantum

Landasan Fisika Kuantum

sehingga dari dua hubungan Ap dm Ax di atas didapatkan (1 4 3 )

AxAp = h (1Al2) sesuai dengan prinsip (1.45).

Contoh 1.8 a. Bila paket gelombang dalam komponen ruangnyasaja f ( x ) berbentuk Gaussian perlihatkan bahwa transformasi Fouriemya g(k) ,juga berbentuk Gaussian b. Bila & dm ~k diambil deviasi standar dari f(x) dan g(k) perlihatkan bahwa perkalian AxAk = $ . Gambar. 1.I7 Gedanken eksperiment penentuan posisi elektron - Momentumfoton terhambur p, = h l A, dan untuk menembus obyektif, foton hams bergerak dalam sudut a , sehingga komponen-x dari momentum mempunyai ketaktentuan

-

Ketaktentuan inijuga merupakan ketaktentuan dalam arah-x dari momentum elektron setelah hamburan, karena selama proses hamburan, momentum antara elektron dan foton dipertukarkan. Di sisi lain, posisi elektron juga tidak tentu disebabkan difraksi cahaya ketika menembus obyektif. Ketaktentuan posisi elektron sama dengan diameter pola difraksi yaitu 2ysin 8 dengan sin 0 h l d. Karena itu

-

Penyelesaian: a. Misalkan, paket gelombang Gaussian ternormalisasi berbentuk

ca

ilf(x)l

2

dengan

-0

Fouriemya

Maka pasangan transformasi

Landasan Fisika Kuantum

Fisika Kuantum

Selanjutnya

dan

Sehingga yang tidak lain adalah fungsi Gaussian, dengan

Dengan demikian b. Deviasi standar

didefinisikan

Evaluasi lengkapnya memberikan

Bentuk lain dari prinsip ketidakpastian Heisenberg dinyatakan dalam ketidaktentuan energi AE dan waktu A t ,

A AEAt 2Karena x fungsi ganjil sedangkan e-a2x2 fungsi genap.

Sehingga

2

(1.49)

Mengigat sedemikian kecilnya nilai h, prinsip ketaktentuan ini tidak relevan atau tidak tampak di dalam dunia makroskopik. Di dalam konteks ini, mekanika klasik untuk dunia makroskopik bersifat deterministik sedangkan dunia mikroskopik secara esensial non-deterministik.Karena itu, di dalam dunia mikroskopik tidak dikenal lintasan eksak.

Fisika Kuantum

Landasan Fisika Kuantum

Jika posisi paket gelombang berubah, laju gerak titik maksimumadalah kecepatan grup

Gambar. 1.18 Lintasan klasik dan kuantum Sekarang kembalipada persoalan paket gelombang, dan k i i selidiki kebergantungannya terhadap waktu. Misalkan, paket gelombang direpresentasikan oleh f(x,t).

1 (k)ei(h-m'dk

$0

f (x, t ) =

do



sebagai perluasan dari ungkapan (1.42). Pada saat t, paket gelombang f(x,t) mempunyai maksimum di titik X(t).

Seperti diperiihatkan padaGambar 1.16 di depan, amplitude g(k) bemilai maksimum, misalkan pada kodan tak no1hanya di sekitar harga kotersebut.Hal ini diambil atau diasumsikan agar momentum terdefinisi dengan baik. Dengan alasan serupa, frekuensi juga seperti itu, yaitu berharga di sekitar oo= o ( k o ). Karena itu, o dapat diekspansi Taylor di sekitar k,

dengan mengabaikansuku ekspansi orde dua dan seterusnya. Kembali pada persoalan kecepatan grup v,. Karena f(x,f) maksimum di X(t), maka

Diferensiasi sekali lagi pers. (1-53) terhadap waktu t, didapatkan

Substitusi uraian (1.52) ke dalam pers. (1.54),

Gambar. 1.19 Paket gelombang pada saat f

Persamaan

Postulat Max Planck dan konsep spekulatif de Broglie mengisyaratkanperlunya konsep barn tentang dunia mikroskopik. Di dalam bab ini diuraikan langkah-langkah penting dalam membangun mekanika baru yaitu mekanika gelombang atau mekanika kuantum dan beberapacontoh sistem sederhana serta konsep pokok terkait.

2.1 PARTIKEL BEBAS Kita berangkat dari konsep klasik yang telah kita kenal dengan baik. Secara klasik, energi partikelatau benda bebas bermassa m, diberikan oleh energi kinetik

dengar, ;3 adalah momentum partikel. Berikut ini diperlihatkan transisinya ke dalam persamaan kuantum. Ungkapanenergi Planck (1.4) dan momentumCompton (1.21) dapat ditulis sebagai

Fisika Kuantum

sehingga ungkapan paket gelombang (1-50)dapat ditulis ulang dalam bentuk

dan pem(2.5) dapat diperluas menjadi

dengan Nadalah konstanta normalisasi.

Diferensiasifungsi (2.3) terhadap waktu memberikan

Jika energi Ediasosiasikansebagai energi partikel bebas (2.1), maka

--

i(p.r-Et)lhd3jj

IY = w ( ~ , t ) =N J p m e

dan tetapan norrnalisasibaru N = Tetapi ruas kanan pers. (2.4a) dapat ditulis sebagai

2.2 PERSAMAAN SCHRODINGER 2.2.1 Partikel di dalam Potensial Dengan membandingkan pers.(2.1) dan pers(2.7) tampak adanya korespondensi antara energi E, momentum jj dan operator diferensial

Daridua persamaan di atas diperoleh persamaan diferensialpaket gelombang W bagi partikel bebas

Perluasan bentuk energi partikel bebas ke dalam ruang tiga dimensi diberikan oleh

Operator-operator ini bekerja padafungsigelombang w (J, t ) . Bentuk korespondensi ini nantinya yang digunakan untuk membangun persamaan gerak kuantum berangkat dari bentuk energi klasik. Selanjutnya, tinjau partikel yang mengalami gaya yang

Fisika Kuanturn

i

dapat dituliskan sebagai gradient dari energi potensial V(T,t )

Karena itu, energi total partikel Edapatdiungkapkansebagai

Berdasarkan korespondensi(2.9) persamaangerak kuanturn partikel di dalam potensial V ( 3 , t ) diberikan oleh

1

Persarnaan Schrodin,ger

2.2.2 Arti Fisis dari Fungsi Gelombang Di dalam persoalansesungguhnya Hamiltoniansuatu sistem diketahui atau diberikan. Mengacu pada persamaan Schrodinger yang merupakan persamaan diferensial (parsial) (2.14), jelas persoalannyasekarang adalah mencari solusi W dari persamaan tersebut. Jadi, fungsi gelombang W merupakan kuantitasteoritis fundamental di dalam mekanika kuantum. Meskipun demikian, seandainyafungsigelombang W sudah diperoleh, masih tersisa satu pertanyaan mendasar:

Fungsi gelombang merupakan suatu deskripsi dari kejadian yang mungkin, tetapi- kejadian apa? Atau, apa yang didiskripsikan oleh fungsi gelombang? Pers(2.12) ini dikenal sebagai persamaan gelombang Schrodinger untuk partikel di dalam potensial V ( 3 , t ) . Dalam banyak hal, sistem fisis dapat didekati dengan model satu dimensi. Persamaan Schrodinger satu dimensi behentuk

Secara umum, karena energi E dapat dinyatakan dalam Hamiltonian

E =~ ( r ' , ~ , t )

Singkatnya, apa arti fisis dari nilai y(T,t) di setiap posisi 7 pada saat t? Jawaban dari pertanyaan di atas diberikan oleh Max Born padatahun 1926yang menyatakan bahwa y(r', t ) itu sendiri tidak mempunyai arti fisis apa-apa, tetapi

diintepretasikan sebagai kerapatan probabilitas. Secara lebih spesifik

(2.14)

maka pers. (2.12) dapat dituliskan sebagai menyatakan kemungkinan untuk mendapatkan partikel yang dideskripsikan oleh y ( 7 , t ) berada dalam elemen volume dv di sekitar posisi T pada saat t. Di dalam kasus satu dimensi Hamiltonian H sekarang berperansebagai operator

yang bekej a padafungsi gelombang ~ ( 7t ) ,.

menyatakanbesar kemungkinanpartikel yang dideskripsikan oleh y/(x,t) berada di antara x dan x+dx pada saat t.

Fisika Kuantum

PersamaanSchrodinger

Jika partikel (memang) ada di dalam ruang, interpretasi di atas mensyaratkan

dengan integrasidilakukan ke seluruh ruang V. Fungsi gelombang yang memenuhi syarat (2.20) dikatakansebagai fungsi gelombang temorrnalisasi.

Contoh2.1 Fungsi gelombang sutu partikel yang bergerak sepanjang sumbu xdiberikan oleh: ~ ( x =) ~ e - "sin a x a. Tentukan konstanta C jika fungsi gelombang temormalisasi b. Jika a = 7~ , hitung kemungkinan untuk mendapatknan partikel berada di sebelah kanan titik x=l Penyelesaian : a. Secara eksplisit ~ ( xdiberikan ) oleh

Cex sina x, untuk x < 0 Ce-" sin a x, untuk x > 0

Gambar 2.1 Solusi Karena itu

r

-- \y(2& =1=

c~[~ sin2-m~ d x~ + C 2-~ e 2sin2 x mdx

= 2 c 2 ro e - " s i n 2 a h r

Untuk menghitung integral terakhir ini, tuliskan fungsi sinus dalam bentuk eksponensial dan akan didapatkan

sehingga

,&I2

=

(

~ ~ e ~ " s i n ~untuk a r , x V, PersamaanSchrodinger kasus ini sama dengan persamaan Schmdinger untuk Ec V, Solusi untuk daerah x < 0, sama dengan 9- kasus terdahulu. Tetapi solusi untuk daerah x 5 0 berbeda dari bentuk terdahulu, yaitu bentuk sinusosidal

Gambar 2.7 Fungsi Gelombang untuk tangga potensial,jika E V,. lnilah yang rnernbedakan dari hasil fisika klasik yang rnenyatakan bahwa semua partikel akan diteruskan jika E > V, Mengingat kenyataan di atas, berikut ini kita hitung koefisien refleksi dan koefisien transrnisi dari keadaaan sistern tersebut. lntensitasdari berkas partikeldidefinisikan sebagai lntensitas Jumlah partikelpersatuan volume (diberikan oleh kuadrat modulo amplitude)

kc ~rrfisien tmnsmisi =

-

-

fluks berkas diteruskan fluks berkas datang

Dari dolinisi di atas, untuk kasus tangga potensial didapatkan -+. koefisien rc!llcksi R,

,

Sedangkan koefisien transmisi T Fluks dari berkas partikel atau kerapatan arus partikel di definisikansebagai Fluks jumlah partikelyang melewafidaerah satu satuan luas per satuan wakfu = kecepatan dikalikan intensitas.

Denganv adalah laju partikel-partikeldi daerah kiri ( x < O),

llustrasinya danv' laju partikel-partikeldi sebelah kanan ( x > 0)

Garnbar 2.9 llustrasi fluks sistern banyak partikel Koefisien refleksididefinisikan sebagai

Darihasildi atasjuga tampak bahwa kekekalanjurnlah partikel dip en^, .I, yaitu R+T=1 Gambar fungsi gelornbangnya,arnplitudo maupunperiodisitas untuk x < 0 dan x > 0 berbeda, mengapa? Pert,atikanpendekatanenergiberikut.

Fisika Kuantum

Persarnaan Schrodinger

I

1) Jika E >> Vo Dan ungkapan (2.51 b) dan (2.45b) diperoleh

Dengan demikian, dari pers. (2.52a) dan pers.(2.52b), didapatkan

p- ( x ) = Y),( x ) = ~e~~= p ( x ) Sketnya

Contoh 2.4 : Misalkan,ada seribu elektron yang masing-masingberenergi 27 eV ditembakkan ke arah daerah bertangga potensial dengan ketinggian 24 eV. Hitung jumlah elektron yang berbalik ketika elektron-elektron tersebut sampai pada tangga potensial.

Penyelesaian :

Energi elektron, E = 27 eV

Tangga potensial V,, = 27 eV

Koefisien refleksi untuk E > V, diberikan oleh pers. (2.54)

dengan k dan k'seperti ungkapan (2.45b) dan (2.51b). Dalam

ungkapan E dan Vo,

Gambar 2.10. Fungsi gelombang jika E >> Vo 2) Secara umum

Substitusi harga-harga Edan V,, didapatkan

R = 0,25 Karen? itu, ada sejumlah N N = l000xR

= 250 elektron

Gambar 2.11 Fungsi Gelombang untuk sembarang E > Vo yang dipantulkan.

Fisika Kuantum

Persamaan Schrodinger

Sekali lagi, inilah yang rnembedakan dad perurnusan klasik. Menuruk rnekanika klasik sernua elektron (1000 elektron) tersebut akan lolos rnelewati tangga potensial karena D V 0 , tanpa ada satupun elektron yang dip...