Formelblad PDF

Preview

Summary

¨ ALGEBRA Formelblad LINJAR Formelblad Linj¨ ar Algebra Linjer och plan Alm¨ anna formler Konjugat- och kvadreringsreglerna: (a − b)(a + b) = a2 − b2 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 R¨otter till andragradspolynom: x2 + px + q = 0 r  p 2 p −q x1,2 = − ± 2 2 ax2 + bx + c = 0 √ −b ± b2 − 4ac x1,2 = − 2a Tri...

Description

¨ ALGEBRA Formelblad LINJAR

Formelblad Linj¨ar Algebra

Konjugat- och kvadreringsreglerna:

Trigonometriska funktioner av standardvinklar

(a − b)(a + b) = a2 − b2 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 R¨ otter till andragradspolynom: x2 + px + q = 0 r  p p 2 x1,2 = − ± −q 2 2

ax2 + bx + c = 0 √ −b ± b2 − 4ac x1,2 = − 2a

(Std. vinklar)◦

0◦

x (rad)

0

cos(x) sin(x) tan(x)

1 0 0

30◦

45◦

60◦

π/6 π/4 π/3 √ √ 3/2 1/ 2 1/2 √ √ 1/2 1/ 2 3/2 √ √ 1/ 3 1 3

R¨ at linje:

90◦ π/2 0 1 †

Planets ekvation:

Formlerna i detta avsnitt utg˚ ar fr˚ an 3-dimensionella vektorer. Men undantag or f¨ formlerna f¨ or vektorprodukt samt de formler som r¨ or planet, ar alvklara modifieringar giltigaaven ¨ de med sj¨ ¨ f¨or andra dimensionstal.     v1 u1 a ar: ¨ vinkeln mellan u och v och λ ∈ R. D˚ ¨ Vektorerna u = u2  och v = v2  ¨ar givna i en ON-bas, θ ar v3 u3     λu1 u1 + v1 Addition: u + v = u2 + v2  = v + u Mult. med tal: λu = λu2  = uλ; 0u = 0 λu3 u3 + v3 n X

Linj¨arkombination (LK):

k=1

p

R¨akneregler:

Projektionsformeln:

Kryssprodukt:

R¨akneregler:

Skal¨ar trippelprodukt:

17 februari 2019

n X

λk uk = λ1 u1 + · · · + λn un ; Trivial LK: λ1 = · · · = λn = 0

u12 + u22 + u32 =

Enhetsvektorn e utmed vektorn u: e = Skal¨arprodukt:

En r¨at L linje genom punkten P 0 = (x0 , y0 , z0 ) med riktningsvektorn         x vx vx x0 a parameterform ekvationen: L : y  = y0 + t vy , t ∈ R. v = vy har p˚ vz vz z z0 Ett plan genom punkten P = (x0 , y0 , z0 ) med normalrikning: n = (a, b, c)t : (r − rP ) ◦ n = 0

⇔

ax + by + cz = d

H¨ ar r ar ¨ ortsvektorn av P och d = rp ◦ n. ¨ ortsvektorn av godt. punkt i planet, rP ar

Vektorer

L¨angd/norm: |u| =

sid. 2 av 4

Linjer och plan

Alm¨ anna formler

0uk = 0

P˚ a parameterform:

Ett plan genom punkten P = (x0 , y0 , z0 ) parallellt med de linj¨ art oberoende vektorerna v och w har parametriska framst¨ allningen r = rP + sv + tw, s, t ∈ R

Linj¨ art oberoende. Linj¨ ara ekvationssystem Linj¨ art oberoende:

Vektorerna {u1 , . . . un } a¨r linj¨art oberonde om ekvationssysemet λ1 u1 + . . . λn un = 0 har endast den triviala osningen l¨ λ1 = λ2 = · · · λn = 0

Element¨ara radoperationer (ERO):

1) Byta plats p˚ a tv˚ a ekvationer; 2) Multiplikation av en ekvation med ett tal λ 6= 0; 3) Addera multipel av en ekvation till en annan

Gausseliminering:

Att med hj¨alp av ERO reducera ett linj¨ art ekvationsssyem till echelonform

k=0

√ u ◦ u ; |λu| = |λ||u|

Matriser

u |u|

u ◦ v = |u||v| cos θ = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 u ⊥ v ⇔ u◦v = 0 u ◦ v = v ◦ u, (λu) ◦ v = u ◦ (λv) = λ(u ◦ v ) u ◦ (v + w) = u ◦ v + u ◦ w u ◦ u = |u|2 p √ |u| = u ◦ u = u21 + u22 + u32 ≥ 0. Obs! |u| = 0 ⇔ u = 0

u◦v Den vinkelr¨ata projektionen av u l¨ angs v: projv u = u′ = v |v |2      u2 v2        u3 v3        u2 v3 − u3 v2 v1 u1  u1 v1        u × v = u2  × v2 =  − u3 v3  = u3 v1 − u1 v3   u1 v2 − u2 v1 v3 u3      u1 v1  u2 v2  u × v ar ade u och v ¨ ortogonal mot b˚ |u × v| = |u||v| sin θ = (arean av den parallellogram som sp¨ anns upp av u & v ) u × v = −v × u (λu) × v = u × (λv) = λ(u × v) u × (v + w) = u × v + u × w   u1 v1 w1    u ◦ (v × w) = w ◦ (u × v) = v ◦ (w × u) =u2 v2 w2  u3 v3 w3  = ±(volymen av den parallellepiped som sp¨ anns upp av u, v och w )

File: formelblad-la.pdf

Addition:

(A + B) + C = A + (B + C); A + B = B + A

Mult. med tal:

λ(A + B) = λA + λB

Multiplikation: Transponering:

(AB)C = A(BC); A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + B C   T  a11 a21 a11 a12 a13 Rader och kolonner byter plats, t ex, = a12 a22 a21 a22 a23 a13 a23 (A + B)T = AT + B T ; (AB)T = B T AT ; (A−1 )T = (AT )−1

Radekvivalens: Rang:

antal ERO:s A ∼ A′ om A kan omformas till A′ med andligt ¨ rank(A) = max antalet av linj¨ art oberoende kolonnvektorer av A

Kvadratiska matriser Identitetsmatrisen: An×n ∼ I

I = diag(1, 1, . . . , 1), AI = IA = A Visas ofta genom Gauss-Jordan elimination, ned- och upp˚ at, i kvadratiska matriser av full rang, n¨ ar man oser l¨ ett linj¨ar system,

rank(An×n ) = n

AX = B

Matrisinvers:

AA−1 = A−1 A = I ;

akneregler: R¨

(AB)−1 = B −1 A−1 ;

Ortogonala matriser:

A−1 = AT  −1  1 d a b = A−1 2×2 = c d det(A) −c

2 × 2–matrisinverser:

(A|B) ∼ · · · ∼ (I|X),

eller f¨ or att best¨amma inversen: (A|I) ∼ · · · ∼ (I|A−1 ) (AT )−1 = (A−1 )T ;

A−n = (A−1 )n = (An )−1

   1 −b d −b = a ad − bc −c a

Formelblad Linj¨ ar Algebra

sid. 3 av 4

Determinanter 2 × 2–determinanter:



a b c d



  a b   = ad − bc. =  c d

det(An×n ) = ai1 (−1)i+1 Mi1 + · · · + aij (−1)i+j Mij + · · · + ain(−1)i+n Min , Mij ¨ar determinanten som f˚ as genom att stryka rad i och kolonn j i det(A). det(AT ) = det(A) (dvs, allt somar ¨ till˚ atet att g¨ora radvis fungerar aven kolonnvis); ¨ det(AB) = det(A) det(B), det(A−1 ) = 1/ det(A)         a b c   a a b c  a λb c  b c        Multipel av en rad eller  e f  = λ d e f  . d λe f  = λ d e f ,  d kolonn kan brytas ut:  g h i  λg λh λi g h i  g λh i  Om tv˚ a rader eller tv˚ a kolonner byter plats skiftar determinanten tecken. En multipel av en rad kan l¨ aggas till en annan rad utan att determinantenandras ¨ En multipel av en kolonn kan l¨ aggas till en annan utan att determinantenandras ¨

Baser och basbyten Baser: Basbyten:

En upps¨attning av n linj¨ art oberoende vektorer e = {e 1 , . . . , e n } bildar en bas or f¨ Rn . Varje vektor b ∈ Rn kan skrivas entydigt som LK i denna bas: b = eX = x1 e 1 . . . xn e n .

L˚ at b = eX = fY har koordinaterna x1 , . . . , xn i basen e = {e 1 , . . . , e n } och koordinaterna y1 , . . . , yn i basen f = {f1 , . . . , fn }, d¨ ar f = eP . D˚ a a¨r       x1 y1 n | | X  ..    yk fk = P  ...  ⇔ X = P Y, P =  f1 . . . fn , .  = k=1 | | xn yn d¨ ar kolonnerna i P best˚ ar av komponenterna till f1 , . . . , fn i bas e.

Linj¨ ara avbildningar Definition: Sammans¨attning: Isometriska: avbildningar Basbyte:

sid. 4 av 4

Huvudsatsen f¨ or kvadratiska matriser: det

Utveckla efter rad i

R¨akneregler:

Formelblad Linj¨ar Algebra

F : Rn → Rn –linj¨ar

⇔ F (u + v) = F (u) + F (v)s och F (λu) = λF (u). ⇔ F (u) = Au, An×n = (F (e 1 ), . . . , F (e n ))     Om F (u) = Au och G(u) = Bu (F ◦ G)(u) = F G(u) = F Bu = ABu.

F : Rn → Rn , F (u) = Au ¨ar isometrisk ⇔ |F (u)| = |u| f¨ or alla u ∈ Rn ⇔ u ◦ v = F (u) ◦ F (v) f¨ or alla u och v ∈ Rn ⇔ A ar ¨ en ON-matris ⇔ A−1 = AT

F (x) = eAX = f(P AP −1 )Y , med e = {e 1 , . . . , e n }, f = {f1 , . . . , fn }, P = (f1 , . . . , fn )

Egenv¨ arden och egenvektorer Definition:

Matrisen A har egenvektorn u 6= 0 med egenv¨ ardet λ om Au = λu

Egenv¨ardena λk Egenvektorerna uk

best¨ ams som l¨osningarna till den karakteristiska ekvationen det(A − λI ) = 0 best¨ams ur det homogena systemet (A − λI )u = 0

Diagonalisering

Om n × n-matrisen A har n st linj¨ art oberoende egenvektorer u1 , . . . , un med motsvarande egenv¨ arden λ1 , . . . , λn , d˚ a ar: ¨     λ1 . . . 0 | |  . .. ...  A = P DP −1 d¨ ar P = u1 . . . un  och D = ..  . | | 0 . . . λn

L˚ at A vara en n × n matris. Huvudsatsens ekvivalenta p˚ ast˚ aenden: • A ∼ I (A a¨r radekvivalent med I ) • rank(A) = n • det(A) 6= 0

Dess motsats:

• A har entydig invers A−1 • Det homogena systemet Ax = 0 har endast den triviala l¨ osningen x = 0 • Det inhomogena systemet Ax = b har en entydig l¨ osning f¨ or varje val av h¨ ogerledet b • A:s rader a¨r linj¨ art oberoende • A:s rader utg¨or en bas or f¨ Rn

• • • •

A:s kolonner a¨r linj¨ art oberoende or Rn A:s kolonner utg¨ or en bas f¨ A:s egenv¨ arden ¨ar alla skilda fr˚ an 0 Avbildningen F (x) = Ax ar andbar ¨ omv¨

• • • • •

A 6∼ I (A ¨ar ej radekvivalent med I ) rank(A) < n det(A) = 0 A ¨ar singul¨ ar (ej inverterbar) Det homogena systemet Ax = 0 har o¨andligt m˚ anga l¨ osningar • Det inhomogena systemet Ax = b ¨ar antingen olosbart eller har o¨ ¨ andligt m˚ anga l¨ osningar • A:s rader a¨r linj¨art beroende n • A:s rader sp¨anner inte upp R • A:s kolonner a¨r linj¨ art beroende • A:s kolonner sp¨anner inte upp Rn • λ = 0 ¨ar ett egenv¨ arde till A • Avbildningen F (x) = Ax ¨ar inte omv¨ andbar

Minsta kvadratl¨ osning till ett o ¨verdeterminerat system Am×nXn = Bm , m > n Om kolonnvektorerna av matrisen A ar art oberoende, den entydiga l¨ osningen till det kvadratiska systemet ¨ linj¨ AT AX = AT B minimerar felet |AX − B|2 ....