Formelblad-la (24) PDF

Preview

Summary

Formelblad LINJAR ALGEBRA ̈Alm ̈anna formlerKonjugat- och kvadreringsreglerna:(a−b)(a+b) =a2 −b2 (a±b)2 =a2 ± 2 ab+b2R ̈otter till andragradspolynom:x2 +px+q= 0 ax2 +bx+c= 0x 1 , 2 =−p2±√(p2) 2−q x 1 , 2 =−−b±√b 2 − 4 ac2 aTrigonometriska funktioner av standardvinklar(Std. vinklar)◦ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 9...

Description

¨ ALGEBRA Formelblad LINJAR Alm¨ anna formler Konjugat- och kvadreringsreglerna: 2

2

2

Trigonometriska funktioner av standardvinklar 2

2

(a − b)(a + b) = a − b (a ± b) = a ± 2ab + b R¨otter till andragradspolynom: x2 + px + q = 0 r  p p 2 x1,2 = − ± −q 2 2

ax2 + bx + c = 0 √ −b ± b2 − 4ac x1,2 = − 2a

◦

(Std. vinklar) x (rad)

0◦ 0

cos(x)

1

sin(x)

0

tan(x)

0

30◦ π/6 √ 3/2

45◦ 60◦ π/4 π/3 √ 1/ 2 1/2 √ √ 1/2 1/ 2 3/2 √ √ 1/ 3 1 3

90◦ π/2 0 1 †

Vektorer Formlerna i detta avsnitt utg˚ ar fr˚ an 3-dimensionella vektorer. Men undantag f¨or formlerna f¨or vektorprodukt samt de formler som r¨or planet, a¨r de med sj¨ alvklara modifieringar giltiga a¨ven f¨ or andra dimensionstal.     u1 v1 a a¨r: Vektorerna u = u2  och v = v2  a¨r givna i en ON-bas, θ ¨ar vinkeln mellan u och v och λ ∈ R. D˚ u3 v3  u1 + v1 Addition: u + v = u2 + v2  = v + u u3 + v3 

n X

Linj¨arkombination (LK):

k=1

L¨angd/norm: |u| =

p

λk uk = λ1 u1 + · · · + λn un ; Trivial LK: λ1 = · · · = λn = 0

u21 + u22 + u23 =

Enhetsvektorn e utmed vektorn u: e = Skal¨arprodukt: R¨akneregler:

Projektionsformeln:

Kryssprodukt:

R¨akneregler:

Skal¨ar trippelprodukt:

6 oktober 2020

  λu1 Mult. med tal: λu = λu2  = uλ; 0u = 0 λu3

n X

0 uk = 0

k=0

√ u ◦ u ; |λu| = |λ||u| u |u|

u ◦ v = |u||v| cos θ = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 u⊥ v ⇔ u◦v = 0 u ◦ v = v ◦ u, (λu) ◦ v = u ◦ (λv) = λ(u ◦ v) u ◦ (v + w) = u ◦ v + u ◦ w u ◦ u = |u|2 p √ |u| = u ◦ u = u21 + u22 + u32 ≥ 0. Obs! |u| = 0 ⇔ u = 0

Den vinkelr¨ata projektionen av u l¨ angs v: projv u = u′ =

u◦v v |v|2

     u2 v2         u3 v3       u1 v1 u2 v3 − u3 v2   u1 v1       u × v = u2  × v2 =  −  u3 v3   = u3 v1 − u1 v3    u3 v3 u v − u v  1 2 2 1  u v   1  1  u2 v2  ade u och v u × v ¨ar ortogonal mot b˚ |u × v| = |u||v| sin θ = (arean av den parallellogram som sp¨anns upp av u & v) u × v = −v × u (λu) × v = u × (λv) = λ(u × v) u × (v + w) = u × v + u × w   u1 v1 w1    u ◦ (v × w) = w ◦ (u × v) = v ◦ (w × u) = u2 v2 w2  u3 v3 w3  = ±(volymen av den parallellepiped som sp¨anns upp av u, v och w)

File: formelblad-la.pdf

Formelblad Linj¨ar Algebra

sid. 2 av 4

Linjer och plan R¨at linje:

Planets ekvation:

En r¨at L linje genom punkten P0 = (x0 , y0 , z0 ) med riktningsvektorn         vx x x0 vx a parameterform ekvationen: L : y  = y0  + t vy  , t ∈ R. v = vy  har p˚ vz z z0 vz Ett plan genom punkten P = (x0 , y0 , z0 ) med normalrikning: n = (a, b, c)t : (r − rP ) ◦ n = 0

⇔

ax + by + cz = d

H¨ ar r ¨ar ortsvektorn av godt. punkt i planet, rP ¨ar ortsvektorn av P och d = rp ◦ n. P˚ a parameterform:

Ett plan genom punkten P = (x0 , y0 , z0 ) parallellt med de linj¨art oberoende vektorerna v och w har parametriska framst¨allningen r = rP + sv + tw, s, t ∈ R

Linj¨ art oberoende. Linj¨ ara ekvationssystem Linj¨art oberoende:

Vektorerna {u1 , . . . un } a¨r linj¨art oberonde om ekvationssysemet λ1 u1 + . . . λn un = 0 har endast den triviala l¨ osningen λ1 = λ2 = · · · λn = 0

Element¨ara radoperationer (ERO):

1) Byta plats p˚ a tv˚ a ekvationer; 2) Multiplikation av en ekvation med ett tal λ 6= 0; 3) Addera multipel av en ekvation till en annan

Gausseliminering:

Att med hj¨alp av ERO reducera ett linj¨art ekvationsssyem till echelonform

Matriser Addition:

(A + B) + C = A + (B + C); A + B = B + A

Mult. med tal:

λ(A + B) = λA + λB

Multiplikation: Transponering:

(AB)C = A(BC ); A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC   T  a11 a21 a11 a12 a13 = a12 a22  Rader och kolonner byter plats, t ex, a21 a22 a23 a13 a23 (A + B)T = AT + B T ; (AB)T = B T AT ; (A−1 )T = (AT )−1

Radekvivalens: Rang:

A ∼ A′ om A kan omformas till A′ med ¨andligt antal ERO:s rank(A) = max antalet av linj¨art oberoende kolonnvektorer av A

Kvadratiska matriser Identitetsmatrisen: An×n ∼ I

I = diag(1, 1, . . . , 1), AI = IA = A Visas ofta genom Gauss-Jordan elimination, ned- och upp˚ at, i kvadratiska matriser av full rang, n¨ar man l¨ oser ett linj¨ar system,

rank(An×n ) = n

AX = B

eller f¨or att best¨amma inversen: (A|I) ∼ · · · ∼ (I|A−1 )

Matrisinvers:

AA−1 = A−1 A = I ;

R¨akneregler:

(AB)−1 = B −1 A−1 ;

Ortogonala matriser:

A−1 = AT  a A−1 = 2×2 c

2 × 2–matrisinverser:

(A|B) ∼ · · · ∼ (I|X),

b d

−1

=

(AT )−1 = (A−1 )T ;

 1 d det(A) −c

A−n = (A−1 )n = (An )−1

  1 −b d = a ad − bc −c

 −b a

Formelblad Linj¨ar Algebra

sid. 3 av 4

Determinanter 2 × 2–determinanter: Utveckla efter rad i

    a b  a b  = ad − bc.  det = c d c d

det(An×n ) = ai1 (−1)i+1 Mi1 + · · · + aij (−1)i+j Mij + · · · + ain (−1)i+n Min ,

as genom att stryka rad i och kolonn j i det(A). Mij ¨ar determinanten som f˚ R¨akneregler:

det(AT ) = det(A) (dvs, allt som ¨ar till˚ atet att g¨ora radvis fungerar a¨ven kolonnvis); det(AB) = det(A) det(B), det(A−1 ) = 1/ det(A)          a λb c a b c  a a b c  b c         Multipel av en rad eller  d λe f = λ d e f  ,  d e f  = λ d e f  .  kolonn kan brytas ut:  g h i   λg λh λi g h i  g λh i  Om tv˚ a rader eller tv˚ a kolonner byter plats skiftar determinanten tecken. En multipel av en rad kan l¨aggas till en annan rad utan att determinanten andras ¨ En multipel av en kolonn kan l¨aggas till en annan utan att determinanten andras ¨

Baser och basbyten Baser:

En upps¨attning av n linj¨ art oberoende vektorer e = {e1 , . . . , en } bildar en bas f¨or Rn . n Varje vektor b ∈ R kan skrivas entydigt som LK i denna bas: b = eX = x1 e1 . . . xn en .

Basbyten:

L˚ at b = eX = f Y har koordinaterna x1 , . . . , xn i basen e = {e1 , . . . , en } och koordiar f = eP . D˚ a a¨r naterna y1 , . . . , yn i basen f = {f1 , . . . , fn }, d¨       y1 x1 n | | X .  ..  yk fk = P  ..  ⇔ X = P Y, P = f1 . . . fn , . = k=1 | | yn xn d¨ar kolonnerna i P best˚ ar av komponenterna till f1 , . . . , fn i bas e.

Linj¨ ara avbildningar Definition: Sammans¨attning: Isometriska: avbildningar Basbyte:

F : Rn → Rn –linj¨ar

⇔ F (u + v) = F (u) + F (v)s och F (λu) = λF (u). ⇔ F (u) = Au, An×n = (F (e1 ), . . . , F (en ))     Om F (u) = Au och G(u) = Bu (F ◦ G)(u) = F G(u) = F Bu = ABu.

F : Rn → Rn , F (u) = Au ¨ar isometrisk ⇔ |F (u)| = |u| f¨or alla u ∈ Rn ⇔ u ◦ v = F (u) ◦ F (v) f¨or alla u och v ∈ Rn ⇔ A a¨r en ON-matris ⇔ A−1 = AT F (x) = eAX = f (P AP −1 )Y , med e = {e1 , . . . , en }, f = {f1 , . . . , fn }, P = (f1 , . . . , fn )

Egenv¨ arden och egenvektorer Definition:

Matrisen A har egenvektorn u 6= 0 med egenv¨ardet λ om Au = λu

Egenv¨ardena λk Egenvektorerna uk

best¨ ams som l¨osningarna till den karakteristiska ekvationen det(A − λI) = 0 best¨ams ur det homogena systemet (A − λI)u = 0

Diagonalisering

Om n × n-matrisen A har n st linj¨art oberoende egenvektorer u1 , . . . , un rande egenv¨ arden λ1 , . . . , λn , d˚ a ¨ar:    λ1 . . . | |  −1   och D =  ... . . . A = P DP d¨ar P = u1 . . . un | | 0 ...

med motsva 0 ..  .  λn

Formelblad Linj¨ar Algebra

sid. 4 av 4

Huvudsatsen f¨ or kvadratiska matriser: L˚ at A vara en n × n matris. Huvudsatsens ekvivalenta p˚ ast˚ aenden:

Dess motsats:

• A ∼ I (A a¨r radekvivalent med I ) • rank(A) = n

• A 6∼ I (A ¨ar ej radekvivalent med I ) • rank(A) < n

• det(A) 6= 0 • A har entydig invers A−1 • Det homogena systemet Ax = 0 har endast den triviala l¨ osningen x = 0

• det(A) = 0

• Det inhomogena systemet Ax = b har en entydig l¨ osning f¨or varje val av h¨ogerledet b

• Det inhomogena systemet Ax = b ¨ar antingen ¨olosbart eller har o¨andligt m˚ anga l¨ osningar

• A:s rader ¨ar linj¨ art oberoende or R n • A:s rader utg¨or en bas f¨ • A:s kolonner ¨ar linj¨ art oberoende

• A:s rader ¨ar linj¨ art beroende • A:s rader sp¨anner inte upp Rn • A:s kolonner ¨ar linj¨art beroende

• A:s kolonner utg¨ or en bas f¨or Rn • A:s egenv¨ arden ¨ar alla skilda fr˚ an 0

• A:s kolonner sp¨anner inte upp Rn • λ = 0 ¨ar ett egenv¨ arde till A

• Avbildningen F (x) = Ax a¨r omv¨andbar

• Avbildningen F (x) = Ax ¨ar inte omv¨ andbar

• A ¨ar singul¨ ar (ej inverterbar) • Det homogena systemet Ax = 0 har o¨andligt m˚ anga l¨ osningar

Minsta kvadratl¨ osning till ett o ¨verdeterminerat system Am×n Xn = Bm , m > n Om kolonnvektorerna av matrisen A ¨ar linj¨ art oberoende, den entydiga l¨osningen till det kvadratiska systemet AT AX = AT B minimerar felet |AX − B|2 ....