Formulario de Fundamentos Matemáticos 09 Funciones Trigonométricas PDF

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E SCUELA P OLITÉCNICA N ACIONAL F UNDAMENTOS DE MATEMÁTICA • R ESUMEN NO . 09 F UN CIONES Semestre 2019-B

Departamento de Formación Básica

1. F UNCIONES T RIGONOMÉTRICAS Se estudiará a las funciones trigonométricas desde dos puntos de vista, en cada uno se hace una extensión del concepto inicial. Para lo cual, analizamos dos estadios: Escenario 1: En el cual se trabaja las relaciones trigonométricas de un ángulo en un triángulo rectángulo: A

c

b

θ B

C

a

se define las siguientes relaciones: sen(θ ) = cot(θ ) =

b AC = , c AB

a BC = , b AC

cos(θ ) =

sec(θ ) =

a BC = , c AB

c AB = , a BC

tan(θ ) = y

b AC = BC a

csc(θ ) =

c AB = . b AC

En este estadio, se tiene las relaciones para ángulos agudos (θ ∈ ]0, 90 [ grados), y surgen preguntas con respecto a las relaciones del ángulo recto o del ángulo nulo. De estas relaciones se deducen de manera sencilla las identidades trigonométricas conocidas como identidades pitagóricas. Además, se pueden calcular las relaciones trigonométricas de ciertos ángulos especiales, denominados ángulos notables: 30◦ , 45◦ , 60◦ . • Los ángulos de 30◦ y 60◦ se los puede estudiar en un triángulo equilátero de lado 2.

1

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Resumen no. 09

• El ángulo de 45◦ se lo puede estudiar en un triángulo rectángulo isósceles de cateto 1.

Con esto se tiene que

seno coseno tangente

30◦

45◦

1 2 √ 3 2 1 √ 3

1 √ 2 1 √ 2 1

60 ◦ √ 3 2 1 2 √ 3

Ahora definamos el concepto de ángulo dinámico en un sistema de coordenadas. En el siguiente gráfico se presentan sus elementos:

2

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La do

fin

al

Resumen no. 09

B C

O

A Lado inicial

Vértice

Se debe notar que cuando se mide el ángulo en el sentido contrario a las manecillas del reloj, se tiene un ángulo positivo. En cambio si se mide el ángulo en el sentido de las manecillas del reloj se tiene un ángulo negativo. Se define entonces el concepto de ángulo en un sistema de coordenadas el cual es la unión de dos rayos, donde el primer rayo esta alineado al eje coordenado x, y sobre este concepto vamos a analizar el segundo estadio. A partir de un ángulo en un sistema de coordenadas, tomamos un punto P ∈ −→ OB, tal que OP = 1. y tomando las coordenadas de este punto como ( x, y ), definimos las relaciones trigonométricas del ángulo ∡ AOB como: sen(∡ AOB) = y

y

cos (∡ AOB) = x.

B P = (x, y)

O

A

O

A

( x, y) = P

B

Desde esta perspectiva se tiene la respuesta para la pregunta ¿qué es sen(0◦ )? o las relaciones trigonométricas de ángulos mayores a 90◦ . Además, se tiene que este modelo es totalmente compatible con el estadio anterior. De esta manera:

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Resumen no. 09

B P = (x, y) Q O

Q

O

A

A

( x, y) = P

B

Se observa que bajando una perpendicular desde el punto P al eje x se obtiene el punto Q y con este se forma el triángulo POQ, donde se puede ver claramente que en el ángulo que está ubicado en el primer cuadrante se observa las siguientes relaciones: cos(∡ POQ) =

OQ | x| = =x OP 1

y

sen(∡ POQ) =

|y | PQ = =y OP 1

También se observa que para el triángulo en el tercer cuadrante se tiene que se cumplen las siguientes relaciones: b ) = OQ = | x | = − x cos(O OP 1

y

Se debe diferenciar entre

OP

y

b) = PQ = | y | = −y sen(O OP 1 OP,

donde el primero hace referencia al objeto geométrico, segmento de extremos O y P respectivamente; y el segundo hace referencia a la distancia entre los puntos O y P. Escenario 2: Hasta este punto se ha considerado este concepto, aún como relaciones trigonométricas, para éste escenario se elimina la palabra ángulo; y se trata ya como funciones a estas relaciones, bajo las siguientes consideraciones:

x P = (u, v )

(1, 0) (1, 0) P = (u, v ) x

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Resumen no. 09

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En el sentido de las contrario a las manecillas del reloj se recorre una distancia x y en este sentido se toma el caso x ≥ 0, de la misma forma cuando se recorre una distancia x en el sentido de las manecillas del reloj se tiene x < 0. De esta forma se define las funciones seno y coseno. sen : R −→ R x 7 −→ v

cos : R −→ R x 7 −→ u

y

Para verificar que en este escenario es compatible con los anteriores se tiene que sen(0) = 0

cos(0) = 1

y

lo cual, es acorde con los resultados anteriores. Con la ayuda del círculo trigonométrico se tiene las siguientes propiedades: 1.1

Periodicidad: Seno y Coseno tienen periodo 2π .

1.2

1.3

Signo: Cuadrante

I

II

III

IV

seno

+

+

−

−

coseno

+

−

−

+

tangente

+

−

+

−

Cambios de Cuadrante Cuadrante

I

II

III

IV

Grados

α

180◦ − α

180◦ + α

360◦ − α

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1.4

1.5

Resumen no. 09

Monotonía Cuadrante

I

II

III

IV

seno

ր

ց

ց

ր

coseno

ց

ց

ր

ր

Paridad • Seno es impar y • Coseno es par.

1.6

Gráficas Con todo esto se puede dar la gráfica “aproximada” de seno y coseno.

D EFINICIÓN 1: Ángulos Notables En este curso, se entenderá por ángulo notable uno de los ángulos siguientes:

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Resumen no. 09

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Cuadrante

I

II

III

IV

I

0◦

30◦

45◦

60 ◦

II

90◦

120◦

135◦

150 ◦

III

180◦

210◦

225 ◦

240◦

IV

270 ◦

300◦

315◦

330◦

D EFINICIÓN 2: Radianes La forma natural de medir ángulos es en radianes. Se tiene la identidad π rad = 180◦ . O BSERVACIÓN. Al utilizar radianes, se puede omitir “rad”.

2. I DENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Del círculo trigonométrico se deduce inmediatamente que sen2 ( x ) + cos2 ( x ) = 1 para todo x ∈ R.

De la anterior identidad, multiplicando por

que

1 a ambos lados, se sigue cos2 ( x )

tan2 ( x ) + 1 = sec2 ( x ) para todo x ∈ R tal que cos( x ) 6= 0. De forma geométrica, se puede demostrar que para todo α, β ∈ I , 1. sen(α + β ) = sen (α) cos( β ) + cos(α) sen( β ). 2. cos(α + β ) = cos (α) cos( β ) − sen (α) sen( β ).

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Resumen no. 09

O BSERVACIÓN. Para extender esta identidad a todos los reales, se necesita de las herramientas de Cálculo en una variable. Con esta identidad, se puede demostrar otras identidades importantes: 1. sen(2x ) = 2 sen ( x ) cos( x ). 2. cos(2x ) = cos2 ( x ) − sen2 ( x ). 2 tan( x ) . 1 − tan2 ( x )   x  r 1 − cos( x )   4. sen . = 2 2   x r 1 + cos( x )   5. cos . = 2 2 s   x 1 − cos( x )   6. tan . = 2 1 + cos( x ) 3. tan(2x ) =

3. F UNCIONES I NVERSAS Por las gráficas, se tienen que las funciones h π πi f: − , −→ [−1, 1] g : [0, π ] −→ [−1, 1] 2 2 x 7 −→ cos( x ) x 7 −→ sen( x ),

y

i π πh h: − , −→ R 2 2 x 7 −→ tan( x ),

son funciones biyectivas. Por definición, sean arc sen = f −1 ,

arc cos = g −1

8

y

arc tan = h−1 ....