Formulario ESIQIE - Academia de Matemáticas 2019 PDF

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Formulario de la Academia de Matemáticas para ESIQIE del año 2019, principalmente para cálculo integral, diferencial y ecuaciones diferenciales....

Description

Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas

FORMULARIO DE MATEMÁTICAS

i

e 1  0 Departamento de formación básica

Lemolle

Instituto Nacional del Derecho de Autor SEP: 03-2016-082611271100-01

©. Todos los derechos reservados. Bajo las sanciones establecidas en las leyes, queda estrictamente prohibida, sin autorización escrita del titular del copyright, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos en la reprografía y el tratamiento informático, así como la distribución de ejemplares mediante alquiler o préstamos públicos.

Formulario de Matemáticas

PRECALCULO ...........................................................................................................................................................................2 ARITMETICA .................................................................................................................................................................................. 2 ÁREAS Y VOLÚMENES.................................................................................................................................................................... 3 ALGEBRA ....................................................................................................................................................................................... 4 TRIGONOMETRÍA .......................................................................................................................................................................... 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA ................................................................................................................................................................ 6 CALCULO DIEFERENCIAL E INTEGRAL........................................................................................................................................8 LÍMITES ......................................................................................................................................................................................... 8 INTEGRALES ................................................................................................................................................................................11 ALGEBRA LINEAL .................................................................................................................................................................... 15 MATRICES ................................................................................................................................................................................... 15 DETERMINANTES ........................................................................................................................................................................16 ECUACIONES DIFERENCIALES ................................................................................................................................................. 16 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN .................................................................................................. 16 APLICACIONES ............................................................................................................................................................................. 18 TRANSFORMADAS DE LAPLACE................................................................................................................................................... 19 CALCULO SUPERIOR ............................................................................................................................................................... 22 PRODUCTO PUNTO Y PRODUCTO CRUZ ...................................................................................................................................... 22 ALGEBRA TENSORES.................................................................................................................................................................... 28 VARIABLE COMPLEJA .............................................................................................................................................................29 FÍSICA .................................................................................................................................................................................... 30 FACTORES DE CONVERSIÓN. ....................................................................................................................................................... 30 TERMODINAMICA ....................................................................................................................................................................... 32 ESTADÍSTICA .......................................................................................................................................................................... 35

Profesor: Moisés Salas de los Santos

1"

Formulario de Matemáticas

PRECALCULO) !

Propiedades)de)los)números)reales) ℝ) Para)todo)', ), *))que)pertenezcan)a)los)números)reales)ℝ ! Suma) Axiomas" Cerradura) + + - ∈ ℝ" Conmutativa) + + - = - + +" Asociativa) + + (- + 2 ) = + + (- + 2) " Elemento)neutro) + + 0 = +"

ARITMETICA)

Elemento)inverso) Distributiva)

Orden))

) )

"

−', ' -" Si"+ < -"""y"""- < 2"""entonces""+ < 2" Si"+ < -"""entonces""+ + 2 < - + 2" Si"+ < -"""y"""2 > 0"""entonces""+2 < -2 " Si"+ < -"""y"""2 < 0"""entonces""+2 > -2 ) + Si!!! > 0 ⇒ !+ > 0!!!y!!!- > 0!!!o!!!+ < 0!!!y!!!- < 0!" -

+- = 0!! ⟺ !!+ = 0!!!o!!- = 0"

−' ' ' =− ) = ) −) ) ' * 'K ± )* 'K )* ± ) = ± = )K )K )K ) K '⋅* ' * ⋅ = ) ) K )⋅K ' * '⋅K ÷ = ) ) K )⋅*

)))))))Fracciones)

)

Multiplicación) + ⋅ - ∈ ℝ" + ⋅ - = - ⋅ +" + ⋅ ( - ⋅ 2)= (+ ⋅ -)⋅ 2" + ⋅ 1 = +" 1 + ⋅ 7 8 = 1, + ≠ 0" +

|' ⋅ )| ≤ |' | ⋅ |)|)

|+ + -| = |+| + |-|" Si"- > 0,"|F| < -"""equivale"a""""−- < F < - " Si"- > 0,"|F | > - """equivale"a""""F < −-"""ó"""F > -"

+ = 0!! ⟺ !!+ = 0!!!y!!!- = 0" ))))))))))))))))))))))))Ejemplos)numéricos)

−H H H =− ) = I −I I 2 5 2⋅7±3⋅5 2⋅7 3⋅5 ± = ± = " 7⋅3 7⋅3 7⋅3 3 7 2 5 2⋅5 " ⋅ = 3 7 3⋅7 3 2 3⋅9 " ÷ = 5 9 5⋅2

Conjuntos)numéricos) Naturales" ℕ = {1,2,3,4, … }""" " " ℝ Enteros" ℤ = {… , −3, −2, −1,0,1,2,3, … }""" " " Z Racionales" ℚ = BFYF = , Z, [ ∈ ℤ!!\!![ ≠ 0]" [ ℕ! " " " ^ = {F|F ∉ ℚ}"" Irracionales" " " ℝ = ℚ ∪ ^" Reales" " )))Números)complejos)denotado)por)la)letra)) ℂ,) z Î ! )tal)que) z = a + ib ))

2"

ℤ!!

ℚ!

^! "

Profesor: Moisés Salas de los Santos

Formulario de Matemáticas

ÁREAS)Y)VOLÚMENES) !

Perímetros,)áreas)y)volúmenes""""""") " Rectángulo" " b = +ℎ" d = 2+ + 2ℎ " " Paralelogramo" " b = +ℎ" d = 2+ + 2ℎ"

"

Polígono"regular"de"n"lados" " 180 e+f b = 2 = e ⋅ + ⋅ tan 7 e 8" d = e ⋅ -" "

" "

" Circulo" " b = klf " d = 2kl"

"

Trapecio" " 1 b = ℎ(m + -)" 2 d = + + - + m + 2"

"

Sector"circular" " 1 b = l f n" 2 o = ln"

"

Triangulo" 1 b = -ℎ" 2

"

b = pq(q − +)(q − -)(q − 2)"

++-+2 " 2 d = ++-+2 " ℎ = 2 ⋅ sen(b)= + ⋅ sen(t) " q=

) CUERPOS) " Paralelepípedo" " b = 2(+- + +2 + -2)" x = +-2"

" Prisma" " b.lateral = dbase ⋅ ℎ" x = bbase ⋅ ℎ"

"

)

""""""""""""""""""""A" "

" Esfera" b = 4klf " 4 x = kl Ç " 3 " Cilindro"circular" " x = kl f ℎ" b.lateral = 2klℎ"

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"

" "

"

" "

"

)

"

" "

" "

"

"

" Segmento"circular" " 1 b = l f (n − sen(n))" 2 n ℎ = l u1 − cos u ww" 2 ℎ 2f " d = o + 2, l= + 2 8ℎ

"

" Cono" " b. z+{|l+z = kl}" 1 x = kl f ℎ" 3 " Cono"trunco" " b. z+{|l+z = k(l + Å)}" 1 x = kl f ℎ" 3

)

" Casquete"esférico" b = 2kÅℎ" 1 x = kℎ(3Å − ℎ)" 3

"

" Zona"esférica" " b = 2klℎ" 1 x = kℎ(ℎf + 3l f + 3l′f )" 6

" "

"

" "

"

"

3"

Formulario de Matemáticas

! )

ALGEBRA) Ö

TEOREMA)DE)BINOMIO)

e 0

e e

e e e e e e (F + \ )Ö = Ü u w \à F Öâà = u w F Ö + u w F Öâå \ + u w F Öâf \f + u w F ÖâÇ \Ç + ⋯ + u w \Ö " á 0 1 2 3 e àäã

e á

e ⋅ (e − 1) ⋅ (e − á + 1) e! e = =u w) á! á! (e − á)! e−á

Propiedades)de)los)coeficientes)binominales) u w=

u w = u w = 1)

donde"è eáê!"se"lee"e"en"á,"es"decir"á"objetos"tomados"de"e,"donde"1 ≤ á < e." Triangulo"de"Pascal" " ( a + b) 0 = 1 " ( a + b) 1 = a + b "

e e e+1 u w+u w" á á + 1w = u á + 1

Triangulo"de"Pascal"

1" 1""1" ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 " 1"""2"""1" ( a + b) 3 = a3 + 3 a 2 b +3ab 2 +b 3 " "1""""3""""3""""1" ( a + b)4 = a4 + 4 a3 b +6 a2 b2 +4 ab3 +b4 " """""""""""""1"""""4""""""6""""4""""""1" ( a + b)5 = a5 +5 a4 b +10 a3 b2 +10 a2 b3 +5 ab4 +b5 " """""""""""""""""""""""1""""""5"""""10"""10"""5""""""1" ( a + b) 6 = a6 +6 a5 b +15 a4 b2 +20 a3 b3 +15 a2 b4 +6 ab5 +b6 " """"1""""""6"""""15""""20""""15"""6""""""1 ) MULTINOMIOS) De)manera)general) ) Coeficientes)multinomiales) )

(+ + - + 2)f = +f + - f + 2f + 2+- + 2+2 + 2-2) (+ + +f + ⋯ + +à )Ö =

Ü

íì îíï î⋯íñäÖ

e e! 7 8= ) ëå , ëf … , ëà ëå ! ëf ! ⋯ ëà

e! í í í + ì + ï ⋯ +à ñ ) ëå ! ëf ! ⋯ ëà å f

Donde""ë1 + ë2 + ⋯ + ëà ≤ e."Esta"última"propiedad"se"puede"ver"como"el"número"de"permutaciones"de"e"elementos" de"los"cuales"ë1 "son"iguales,"ë2 "son"iguales,"…","ëà "son"iguales""

) ECUACION)DE)SEGUNDO)GRADO"

Ecuación)cuadrática:)))))))"+Ff + -F + 2 = 0" Soluciones:""" −- ± √- f − 4+2 " F= 2+

" Productos)notables)y)factorizaciones) ) Producto!notable! ) """"""(+ ± - )f = + f ± 2+- + - f " " !!!Factorización! ) ) ) ) ) )

4"

Donde"+, -, 2 ∈ ℝ!"y"ò = - f − 4+2"es"el"discriminante,"entonces:" (i)"""si"ò > 0,"las"Raíces"son"reales"y"diferentes." (ii)""si"ò = 0,"las"Raíces"son"reales"e"iguales." (iii)"si"ò < 0,"las"Raíces"son"números"complejos."

(F + + )(F + -) ! = F f + (+ + - )F + +-" (F + \)(F − \) = F f − \ f "" (F + \)(F f − F\ + \ f ) = F Ç + \ Ç """"" (F − \)(F f + F\ + \ f ) = F Ç − \ Ç !!!!""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" (+F + -)(2F + ô) = +2F f + F(+ô + -2) + -ô" !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!= +2F f + +ôF + -2F + -ô""""""""" (F + \)Ç = F Ç + 3F f \ + 3F\ f + \ Ç " (F − \)Ç = F Ç − 3F f \ + 3F\ f − \ Ç "

Profesor: Moisés Salas de los Santos

Formulario de Matemáticas

!

Leyes)de)los)exponentes)

)

)

)

)

)

)

))))))

Sean"Z, [ ∈ ℝ"y"e, ë ∈ ℤ ,"en"todos"los"casos"queda"descartada"la"división" por"cero." (+-)ü = +ü - ü " +ü ⋅ +¢ = +üî¢ " +ü § å/Ö √+ = + " = +ü⢠" +¢ å ü ¢ ü¢" § (+ ) = + √+í = +í/Ö! = (+í )Ö " ã + = 1,!!!+ ≠ 0" § § + √+ 1 ¶ = § " +⣠= £ " √+ + £ +£ ß § u w = £" ¶ §√+ = ¶ ß√+ = ߧ√+ " î

Leyes)de)los)logaritmos)

) )

)

ln(+ ⋅ -) = ln(+) + ln(- ))

+ ln u w = ln(+) − ln(-)" " ln(+ü ) = Z ⋅ ln(+)) F log(| ° ) = " ln(10)

TRIGONOMETRÍA) FUNCIONES)BÁSICAS) El"triángulo"®©™"tiene"un"ángulo"recto"(90°)"en" ™" y" lados" de" longitud" ', ), *." Las" funciones" trigonométricas" del" ángulo" b" se" definen" de" la" siguiente"manera:" *:""Hipotenusa" ':"Cateto"opuesto" ):"Cateto"adyacente"

) " " " "

sen!b! = ! "

a ! c b cos b ! = ! ! c a tan b ! = ! ! b

2 csc b = " + c sec b = " b b cot b = !! a

" FUNCIONES)TRIGONOMÉTRICAS)DE)ÁNGULOS)NOTABLES.)() ¨ = ≠ÆCØ))! ∞"" 0° " 30° " 45° " 60° " 90° " 120° " 135° " 150°" 180° " 210° " 225° ! 240° " 270° " 300° " 315° " 330° " 360° " grados" ∞" k k k p 2k 3k 5k 7k 5k 4k 3k 5k 7k 11k " " radiane 0" k" " " ! ! 2k" ! " " " " " " " 4 3 2 3 4 6 6 4 3 2 3 6 6 6 s" 1 √3 1 1 1 1 1 1 1 √3 √3 √3 0" 0" 0" q|e∞ " " " " − " − " − " -1" − " − " − " " " 1" " 2 2 2 2 2 √2 √2 √2 √ 2 2 2 2 √3 √3 1 1 1 1 1 1 1 1 √3 1" √3" 0" 0" 1" 2≤q∞" " " − " − " − 2 " -1" − 2 " − " − " " " " 2 2 2 2 2 √2 √2 √2 2 2 √ " " 1 1 1 1 − " {+e∞ " 1" ∞" " 1" √3" ∞" −√3" −1" " 0" −√3" −1" − " 0" √3" √3 0" √3 √3 √3 " " TRIÁNGULOS)OBLICUÁNGULOS) " Ley)de)senos:) Ley)de)cósenos:))) ) ) 2 + +f = - f + 2f − 2-2 ⋅ cos b" = = " sen b sen m sen t! - f = +f + 2f − 2+2 ⋅ cos m ! " 2 f = +f + -f − 2+- ⋅ cos t ! " ))" " ) IDENTIDADES)TRIGONOMÉTRICAS) 1 1 sen ∞ ) " " " sen ∞ = csc ∞ = tan ∞ = sec 2 !∞ − tan2 !∞ = 1" csc ∞ sen ∞ cos ∞ 1 1 " cos ∞ " " cos ∞ = sec ∞ = " cot ∞ = csc 2 !∞ − cot 2 ∞ = 1) sec ∞ cos ∞ sen ∞ 1 1 tan ∞ = cot ∞ = " " senf ∞ + cosf ∞ = 1" cot ∞ tan ∞ Profesor: Moisés Salas de los Santos

5"

Formulario de Matemáticas ) ! Simetría)

)

sen(−∞) = − sen ∞" cos(−∞) = cos ∞"

)

)

tan(−∞) = − tan ∞" sec(−∞) = sec ∞"

sen 2n = 2 sen !n ⋅ cos !n"

cos 2n = cosf n − senf !n" 2 tan n !" 1 − tanf n

) Productos)

tan(∞ + 2k) = tan ∞"

1 senf n = (1 − cos 2n)" 2 1 f cos n = (1 + cos 2n)" 2 1 − cos 2n f tan n = ) 1 + cos 2n

n 1 senf ! = (1 − cos n)" 2 2 n 1 f cos = (1 + cos n)" 2 2 n 1 − cos n f tan = ) 2 sen n

1 1 sen n ± sen ¥ = 2 sen (n ± ¥) cos (n ∓ ¥)! 2 2 1 1 cos n + cos ¥ = 2 cos (n + ¥) cos (n − ¥)" 2 2 1 1 cos n − cos ¥ = −2 sen (n + ¥) sen (n − ¥)" 2 2 sen !n ±! ¥ tan n ± tan ¥ = ! sen n ⋅ cos! ¥

1 [cos(n − ¥) + cos(n + ¥)]" 2 tan n + tan ¥ " tan n ⋅ tan ¥ = cot n + cot ¥

1 sen n ⋅ sen ¥ = [cos(n − ¥) − cos(n + ¥)]" 2 1 sen n ⋅ cos ¥ = [sen(n − ¥) + sen(n + ¥)]" 2

!

∏π∫ª(º) =

Ωº − Ω−º H

)Periodicidad)

sen(∞ + ek) = (−1)Ö sen ∞" cos(∞ + ek) = (−1)Ö cos ∞"

tan(∞ + ek) = tan ∞" k sen(∞) = cos u∞ − w" 2 k cos(∞) = sen u∞ + w" 2

tan n ± tan! ¥ ! 1 ∓ tan n tan! ¥

) ) Ángulos)dobles)y)semiángulos)

) Hiperbólicos)

)

cos(∞ + 2k) = cos ∞"

) Sumas)y)diferencias) " sen(n ± ¥) = q|e!n cos !¥ ± cos !n q|e!¥" " cos(n ± ¥) = cos n cos ¥ ∓ sen !n q|e¥"

tan 2n =

)

sen(∞ + 2k) = sen ∞"

csc(−∞) = − csc ∞"

tan(n ± ¥) =

sen(∞ + k) = − sen ∞" cos(∞ + k ) = − cos ∞" tan(∞ + k) = tan ∞"

cot(−∞) = − cot ∞"

"

Desplazamiento)))

)

! ! ! GEOMETRÍA)ANALÍTICA)

cosª(º )=

Ωº + Ω−º H

cos n ⋅ cos ¥ =

)

æø∫

Ωº − Ω−º Ωº + Ω−º

)

¿¡∏ª º − ∏π∫ª º = ≠)

Distancia"del"Punto"(Få , Ff )"a"la"recta"""bF + m\ + t = 0 " " bF + m\ + t " ô= " ±√bf + mf ! Distancia"ô"entre"dos"puntos"då (Få , \f )! Donde"el"signo"se"elige"de"tal"manera"que"la"distancia"no"resulta"negativa." y!df (Ff , \f )! Ángulo"≈"entre"dos"rectas"cuyas"pendientes"son"""""ëå "y"ëf " " " f f ë − ëå √√å√√d√√ Ä ô = ¬d f¬ = p(Ff − Få ) + (\f − \å ) " tan(≈) = f " 1 + ëf ëå Las"rectas"coinciden"o"son"paralelas"sí"y"solo"sí"ëå ! = ! ëf ." Las"rectas"son"perpendiculares"sí"y"solo"sí"ëå ! = ! −1/ëf "

6"

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! Área"del"triángulo"con"vértices"(F , \ ), (F , \ )""y""(F , \ )." Ç Ç x1 å yå1 1f f 1 Area = ± x 2 2 x3

=±

y2 1 y3 1

1 (x y + y 1x 3 + y 3x 2 - y 2x 3 - y 1x 2 - x 1 y 3 ) 2 1 2 "

El"signo"se"elige"de"tal"manera"que"el"área"no"resulta" negativa." Si"el"área"es"cero"todo"los"punto"están"sobre"una"recta"

Coordenadas"polares"(l, ∞!)." " Un"punto"d"se"puede"localizar"por"medio"de"coordenadas"" rectangulares"(F, \)"o"por"coordenadas"polares"(l, ∞).! "

!

y - y1 y 2 - y1 = m ,"""""""" y - y1 = m( x2 - x1 ) """""""" = x - x1 x2 - x1

Ó""""""""" y = mx + b " Dónde:"""" b

= y1 - mx1 =

con"el"eje"Y."

x 2 y1 - x1 y 2 es"la"intersección" x 2 - x1 """

" " Las"ecuaciones"de"transformación"son:"

∆

F = l cos(∞)

\ = l sen(∞)

l = pF f + \ f

" """"""donde:""""«

∞ = +l2 tan u° w »

"

Relación)entre)formas)de)una)función)cuadratica)y)sus)vertices)y)puntos)de)cruce)con)el)eje)“x”) Forma" Vértice"(ℎ, á)" Puntos"de"intersección"con"el"eje"…!(si"los"hay) \ = Ê(F) = +(F − ℎ)f + á"

ℎ"""y"""á""de"la"forma:"

\ = Ê(F) = +Ff + -F + 2 Circunferencia) Centro"en"el"origen" F f + \f = l f "

Parámetros

Ec. Ord. con centro en el origen Ec. Ord. con centro en el origen Ec. Ord. con centro fuera del origen Ec. Ord. con centro fuera del origen

F = Få , Ff

ℎ=

Eje Focal Es el eje F

Eje Focal Es el eje \ Eje focal paralelo al eje F Eje focal paralelo al eje \

Longitud del lado recto Excentricidad Profesor: Moisés Salas de los Santos

\2 = 4ZF Directriz F + Z=0 Foco Õ(Z, 0)

F2 = 4Z\ Directriz \ + Z=0 Foco Õ(0, Z)

(\ − á)2 = 4Z(F − ℎ) (F − ℎ) = 4Z(\ − á) 2

4Z |=1

á +

F = Få , Ff

Área:""b = klf " Perímetro""d = 2kl"

" Centro"(ℎ, á)" ( F − ℎ)f + ( \ − á )f = lf " Parábola Z →Dist. Vértice al foco !!!!→Dist. Vértice a directriz

Curva

F = ℎ ± À−

Få + Ff ,!!!á = Ê(ℎ) 2 ℎ = − ,!!!!!!!á = Ê(ℎ) 2+

\ = Ê(F) = +(F − Få )(F − Ff )

!

Ecuación"de"la"recta"que"une"los"puntos"då (Få , \å)"""y""" df (Ff , \f )."

Elipse 2+ → Long. Eje mayor 2- → Long. Eje menor 22 → Dist. Entre focos 22 = +2 − -2 F2 \2 + 2 =1 +2 Focos: Õ(2, 0), ÕŒ (−2, 0) 2 F2 \ + =1 -2 +2 Focos: Õ(0, 2), ÕŒ (0, −2) (F − ℎ)2 (\ − á)2 =1 + -2 +2

(F − ℎ)2 (\ − á)2 -2

+

+2

2-f /+ 2 |= 1 +

7"

Formulario de Matemáticas

!

FUNCIONES)

(Ê ± })(F) = Ê(F) ± }(F)" (Ê})(F) = Ê(F)}(F)"

"""""""Simetría"de"las"funciones" " Si""""Ê(−F) ! = !Ê(F)!!!es))PAR!!(simetría"con"respecto"al"eje"“y”)" Si""""Ê(−F) ! = ! −Ê(F)!!!es))IMPAR!!(simetría"con"respecto"al"origen)" " Ê(−F) ≠ !Ê(F) œ"""Función"asimétrica" Si"""∆ Ê(−F) ≠ ! −Ê(F)!!!

Ê Ê(F), }(F) ≠ 0" 7 8 (F) = }(F) } (Ê≤})(F) = Êè}(F)ê"

(}≤Ê)(F) = }èÊ(F)ê!

CALCULO)DIEFERENCIAL)E)INTEGRAL) LÍMITES)

) Definición)de)límite) Sea")–!!una"función"definida"en"un"intervalo"abierto" —" que"contenga"a"'" (salvo"posiblemente"en"+),"y"“" un"número"real.""" La"afirmación" lim Ê(F) = o" °→‘

Significa"que"para"todo"’ > 0""existe"un"÷ > 0""tal"que"si""

0 < |F − +| < ÷""""entonces""""|Ê(F) − o| < ’"

) Limites)básicos) Si"-"y"2 "son"números"reales"y"e"un"entero"positivo:" 1.)Si" limb = b """"""

"

""

x®c

"2." lim x = c """ """

"

"3.""" lim xn = cn "

""

x®c

x ®c

Propiedades)de)los)límites"

"Si"-"y"2"son"números"reales"y"e"un"entero"positivo," Ê""y""} ""son"funciones"con"los"límites"siguientes:"

lim Ê(...