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Universidad de la Frontera Facultad de Ingenier´ıa y Ciencias

Primer Semestre 2018

Departamento de Matem´atica y Estad´ıstica

Formulario de Transformadas de Laplace y Fourier Matem´ atica Aplicada (IME278) Profesor: Dr. Alex R. Sep´ ulveda C. Email: [email protected]

1.

Transformada de Laplace

1.1.

Definiciones

Definici´ on 1 (Transformada de Laplace) Teorema 3 Sea f : [0, ∞) → R una funci´on real continua por tra- Sea f : [0, ∞) → R una funci´on continua por tramos y de mos. La Transformada de Laplace de f est´a dada por orden exponencial al infinito. Entonces su transformada de Z ∞ Laplace existe. L [f (t)] (s) := f (t) e−st dt. 0

Definici´ on 2 (Funci´ on de orden exponencial al infinito) Una funci´on real f (t) de una variable es de orden exponencial al infinito cuando t → ∞ si existen constantes M, α, t0 ∈ R, M > 0 tales que para todo t ≥ t0 se tiene que |f (t)| < M eαt .

1.2.

t

f (t − η ) g (η ) dη.

0

Transformadas b´ asicas L [1] (s) =

1 , s

L [tn ] (s) =

1.3.

Definici´ on 4 (Convoluci´ on) Sean f, g : [0, ∞) → R funciones continuas por tramos. La convoluci´ on de f y g est´a dada por (f ∗ g) (t) := Z

s>0 n!

s

s > 0, n ∈ N

, n+1

L [eαt ] (s) =

1 , s−α

L [sen (αt)] (s) =

s2

L [cos (αt)] (s) =

s>α α , + α2

s>0

s , s2 + α 2

L [µ (t − α)] (s) =

e−αs , s

s>0 s>0

Propiedades

En cada una de las siguientes propiedades suponga que L [f (t)] (s) = F (s) y L [g (t)] (s) = G (s) existen. 1. Linealidad. ∀α, β ∈ R se tiene que L [αf (t) + βg (t)] (s) = αL [f (t)] (s) + βL [g (t)] (s) = αF (s) + βG (s) 2. Desplazamiento en s. L [eαt f (t)] (s) = F (s − α). 3. Desplazamiento en t. L [µ (t − t0 ) f (t − t0 )] (s) = e−t0 s L [f (t)] (s) = e−t0 s F (s) L−1 [e−t0 s F (s)] (t) = µ (t − t0 ) f (t − t0 ) n n n d (L [f (t)] (s)) = (−1) F (n) (s) 4. Multiplicaci´ on por tn , n ∈ N. L [tn f (t)] (s) = (−1) dsn  Z ∞  f (t) f (t) F (u) du, siempre que l´ım exista. (s) = 5. Divisi´ on por t. L t t t→0+ s n h i X   6. Transformada de la derivada n−´esima. L f (n) (t) (s) = sn L [f (t)] (s) − sn−k f (k−1) 0+ k=1

7. Integraci´ on. L

Z

t a

 Z F (s) 1 a f (u) du (s) = f (u) du. − s s 0

8. Transformada de una funci´ on T −peri´ odica. Si f es T −peri´odica y continua por tramos en [0, T ], entonces Z T 1 e−st f (t) dt L [f (t)] (s) = 1 − e−sT 0 9. Convoluci´ on. L [(f ∗ g) (t)] (s) = L [f (t)] (s) · L [g (t)] (s) = F (s) G (s) L−1 [F (s) · G (s)] (t) = (f ∗ g) (t)

2.

Transformada de Fourier

2.1.

Definiciones

Definici´ on 5 (Transformada de Fourier) Sea f : R → R una funci´on real. Se define: (a) La Transformada Z ∞de Fourier de f como F (ω) := F [f (t)] (ω) = f (t) e−ωti dt.

(b) Z absolutamente integrable ∞ |f (t)| dt < ∞.

en

R,

es

decir,

−∞

Teorema 7 Sea f : R → R una funci´on que satisface las condiciones (b) La funci´on f (t) tal que F [f (t)] (ω) = F (ω) es la de Dirichlet. Entonces su transformada de Fourier existe. Transformada Inversa deZ Fourier de F . Esto es ∞ 1 F (ω) eωti dω. f (t) = F −1 [F (ω)] = 2π −∞ Definici´ on 8 (Convoluci´ on) Sean f, g : R → R funciones continuas por tramos, donDefinici´ on 6 (Condiciones de Dirichlet) Una funci´on real f : R → R satisface las Condiciones de de una de las funciones es absolutamente integrales y la otra es acotada. on de f y g est´a dada por Z La convoluci´ Dirichlet si ella es: −∞

∞

(f ∗ g) (t) :=

(a) continua por tramos en R,

2.2.

Transformadas B´ asicas F [e−αt µ (t)] (ω) =

1 . α + ωi

F [cos (ω0 t)] (ω) = πδ (ω − ω0 ) + πδ (ω + ω0 ). F [sen (ω0 t)] (ω) = −iπδ (ω − ω0 ) + iπδ (ω + ω0 ).

F [δ (t)] (ω) = 1.

F [µ (t)] (ω) = πδ (ω) +

F [A] (ω) = 2πAδ (−ω ) = 2Aπδ (ω ).

2.3.

f (t − η ) g (η ) dη.

−∞

1 . iω

Propiedades

En cada una de las siguientes propiedades suponga que F [f (t)] (ω) = F (ω) y F [g (t)] (ω) = G (ω) existen. 1. Linealidad. ∀α, β ∈ R se tiene que F [αf (t) + βg (t)] (ω) = αF [f (t)] (ω) + βF [g (t)] (ω). 1 ω  . 2. Dilataci´ on. F [f (at)] (ω) = F a |a| 3. Desplazamiento en el tiempo. Si t0 ∈ R, entonces F [f (t − t0 )] (ω) = F (ω) e−ωt0 i .   4. Desplazamiento en la frecuencia. Si α ∈ R, entonces F f (t) eαti (ω) = F (ω − α).

5. Simetr´ıa. F [F (t)] = 2πf (−ω).

  n 6. Transformada de la derivada n−´esima F f (n) (t) (ω) = (iω) F (ω). Z t  1 F (ω) + πF (0) δ (ω). 7. Integraci´ on. F f (x) dx (ω) = iω −∞ 8. Multiplicaci´ on por tn , n ∈ N. F [tn f (t)] (ω) = in F (n) (ω ). 9. Convoluci´ on. En el tiempo. F [f (t) ∗ g (t)] (ω) = F (ω) · G (ω) ⇒ f (t) ∗ g (t) = F −1 [F (ω) · G (ω)] (t). En la frecuencia. F −1 [F (ω) ∗ G (ω)] (t) = 2πf (t) · g (t) ⇒ F (ω) ∗ G (ω) = 2πF [f (t) · g (t)] (ω). 10. Transformada de una funci´ on T −peri´ odica. Si f es T −peri´odica, entonces F [f (t)] = 2π

∞ X

n=−∞

1 donde cn = T

Z

T 2

− T2

f (t) e−nω0 ti dt. ∞

1 11. Identidad de Parseval. |f (t)| dt = 2π −∞ Z

2

Z

∞ 2

|F (ω)| dω. −∞

cn δ (ω − nω0 ),...