Formularium - \"Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit, sed do eiusmod tempor PDF

Preview

Summary

"Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat. Duis aute irure dolor in reprehenderit in voluptate velit esse cill...

Description

Formularium Statistiek I

Steekproefvariantie

2 = snX

n 1X (xi − x ¯)2 . n

2 = sX

i=1

n 1 X (xi − x ¯)2 . n − 1 i=1

Gemiddelde en variantie via frequentieverdeling x ¯=

p 1X fi xiu . n

2 snX =

i=1

i=1

Spreidingsmaat d

d=

Steekproefcovariantie

Kendall’s τ

covX Y =

τ=

p 1X ¯)2 . fi (xui − x n

1 − fnmo . 1 − p1

n 1 X (xi − x ¯)(yi − y¯). n − 1 i=1

2(aantal concordante paren − aantal discordante paren) . n(n − 1)

Regressielijn van Y op X

Y = b0 + b1 X.

b1 = rX Y

sY en b0 = y − b1 x. sX

Populatiegemiddelde, -variantie en -covariantie voor discrete variabelen E(X) =

p X

P (X = xi )xi ,

V (X) =

i=1

i=1

COV (X, Y ) =

p X

q p X X i=1 j=1

2  P (X = xi ) xi − E(X) ,

   P (X = xi en Y = yj ) xi − E(X) yj − E(Y ) .

Stelling. Als X en Y onafhankelijke variabelen zijn, dan geldt dat: COV (X, Y ) = 0. Stelling. Voor een variabele Y = X + a geldt dat: E(Y ) = E(X) + a, waarbij a een constante is. Stelling. Voor een variabele Y = aX geldt dat: E(Y ) = aE(X), waarbij a een constante is. Stelling. Voor twee variabelen X en Y (die onafhankelijk of afhankelijk kunnen zijn) geldt dat: E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) en E(X − Y ) = E(X) − E(Y ). Stelling. Voor twee onafhankelijke variabelen X en Y geldt dat: E (XY ) = E (X)E (Y ). Stelling. Voor een variabele Y = X + a geldt dat: V (Y ) = V (X ), waarbij a een constante is. Stelling. Voor een variabele Y = aX geldt dat: V (Y ) = a2 V (X ), waarbij a een constante is. Stelling. Voor twee variabelen X en Y geldt dat V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2COV (X, Y ). Stelling. Voor twee variabelen X en Y geldt dat: V (X − Y ) = V (X) + V (Y ) − 2COV (X, Y ). Binomiale verdeling N! P (X = k) = pk (1 − p)N−k , E(X) = Np, V (X) = N p(1 − p) k !(N − k )!

1

Normale verdeling 2

−(x−µ) 1 2 fX (x) = √ e 2σ , σ 2π

E(X) = µ,

V (X) = σ 2

Stelling. Als X een normale verdeling heeft met gemiddelde µ en variantie σ 2 , dus X ∼ N (µ, σ 2 ), dan heeft de variabele Z=

X −µ , σ

een standaardnormale verdeling, dus Z ∼ N (0, 1). Als X ∼ N (µ, σ 2 ) dan geldt dat: P (X ≤ x) = P



x−µ X −µ ≤ σ σ



=P

  x−µ , Z≤ σ

waarbij Z ∼ N (0, 1) χ2 -verdeling X1 ∼ N (0, 1), . . . , Xk ∼ N (0, 1) onafhankelijk, t-verdeling X ∼ N (0, 1), Y ∼ χk2

onafhankelijk,

Y = X 12 + X22 + . . . + Xk2 ∼ χ2k ,

X ∼ tk , T =q 1 Y k

E(T ) = 0,

E(Y ) = k,

V (T ) =

k k−2

V (Y ) = 2k.

k > 2.

¯ = µX . Stelling. De verwachtingswaarde van het steekproefgemiddelde X¯ is gelijk aan het populatiegemiddelde van de variabele X: E(X) Stelling. De variantie van het steekproefgemiddelde is gelijk aan de populatievariantie van de variabele gedeeld door de steekproefgrootte: 2 ¯ = σX . V (X) n Stelling. Stel dat X1 , . . . , Xn n onafhankelijke lukrake trekkingen zijn uit een populatie met een normale verdeling N (µX , σX2), dan zal X¯ ook 2 /n). normaal verdeeld zijn: X¯ ∼ N (µX , σX Stelling. Stel dat X1 , . . . , Xn n onafhankelijke lukrake trekkingen zijn uit een populatie met gemiddelde µX en variantie σX2, dan wordt de ¯ naarmate n groter wordt, steeds beter benaderd door de normale verdeling met gemiddelde µX en verdeling van het steekproefgemiddelde X 2 variantie σX /n. Stelling. Stel dat X1 , . . . , Xn n onafhankelijke lukrake trekkingen zijn uit een populatie met gemiddelde µX en variantie σX2, dan wordt de ¯ naarmate n groter wordt, steeds beter benaderd door de normale verdeling met gemiddelde µX en verdeling van het steekproefgemiddelde X 2 /n. variantie σX Verwachtingswaarde steekproefvariantie 2 E(SNX )=

n−1 2 σX , n

2 2 E(SX ) = σX .

Stelling. Stel dat X1 , . . . , Xn n onafhankelijke lukrake trekkingen zijn uit een populatie met normale verdeling N (µX , σX2), dan geldt: 2 χn−1 .

Tweezijdig betrouwbaarheidsinterval

T-toets G =

√ √ [X¯ − tn−1;α/2 SX / n, X¯ + tn−1;α/2 SX / n].

¯ −µ0 X √ SX / n

H0 : µ = µ0 Kies de alternatieve hypothese Ha Bepaal het significantieniveau α Bereken de toetsingsgrootheid g Besluit op basis van de gekozen Ha : Indien linkszijdig Indien rechtszijdig Indien tweezijdig Ha : µ < µ0 Ha : µ > µ0 Ha : µ 6= µ0 Verwerp H0 als Verwerp H0 als Verwerp H0 als g < −t n−1;α g > t n−1;α |g| > t n−1;α/2 p-waarde: P (G < g | µ = µ0 ) P (G > g | µ = µ0 ), 2 × P (G > g | µ = µ0 ) als g > 0 2 × P (G < g | µ = µ0 ) als g ≤ 0

2

2 (n−1)SX σ 2X

∼...