Fórmulas PSU Matemáticas asdasdanfkckfkfnckckdnfkcfkdndncn nckfnckfk kfkfnfnckdk kfkekdkkb jdndsdxnfkffk PDF

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Summary

Fjdkskdjfk jfjejfkdkndbxj kfkekkxfbdjxkdjej nfkfkgkdkkxkfjf kfkfkek nfkfndndn nfnfkfkfk kkkdkdkd. Kfnfnxnfndnd kxnfneb nnfnf nckfjdbdjxjdn kfjfkdjdvdve jfkendldksldlfl ndlxkxbfkdkdk...

Description

PREPARACIÓN PSU MATEMÁTICA

Resumen completo Fórmulas, teoremas y conceptos

Ignacio F. Garcés Agradecimientos: profesores Osvaldo Doña y Jacqueline Velásquez 2016

Índice de contenido Introducción

pág. 3

Números

pág. 4

Funciones

pág. 5

Potenciación (logaritmos y raíces)

pág. 7

Plano cartesiano

pág. 8

Figuras geométricas ↳ Circunferencia: proporcionalidad y ángulos ↳ Triángulos: proporcionalidad

pág. 9 pág. 10 pág. 11

Sistema o espacio tridimensional

pág. 12

Cuerpos geométricos

pág. 13

Datos y azar ↳ Datos: Estadística ↳ Azar: Probabilidades

pág. 14 pág. 14 pág. 15

Ecuaciones de segundo grado y productos notables

pág. 19

Inecuaciones o desigualdades

pág. 20

Cuadrados, cubos y tríos pitagóricos a memorizar

pág. 21

Bibliografía

pág. 22

Página | 2

Introducción La Prueba de Selección Universitaria (PSU) es la prueba que te posiciona respecto de todos los demás que desean entrar a la educación superior (en Chile tiene ese nombre, aunque en general, en el resto de Latinoamérica al menos, el equivalente de esta prueba se llama algo así como Examen Nacional), y sacar un alto puntaje es fundamental, y para eso necesitas recor recordar dar un una a ccant ant antida ida idad d insan insana a de fórm fórmul ul ulas as as, teoremas, etc. Esta gran e importante prueba no es una pesadilla si te preparas bien, en serio. Si te esfuerzas, te irá bien. A continuación, se presentan muchas fórmulas, teoremas, conceptos clave, etc. que son complejos, específicos, y que en general son difíciles de aprender o memorizar. Con este documento hallarás dichos temas fácilmente, ya que están comprimidos en un solo lugar y podrás repasarlos o quizás aprenderlos en caso de que no los hayas visto antes. Aprenderse todas y cada una de, en su mayoría, fórmulas de este documento te asegurará un buen puntaje, y claro, tienes que saber cómo utilizarlas. En la mayoría de los casos no se explicarán o definirán dichas fórmulas y términos, ya que esto es solo una compilación o resumen breve, por lo que se considerarán algunos conocimientos básicos como triviales. Nota: si descargas este PDF, puedes hacer clic en cualquier elemento del índice temático y se te llevará a la página correspondiente de forma automática.

Página | 3

Números Generalidades de los enteros Números par pares es consecutivos:

2x, (2x + 2), (2x + 4), …

Números imp impare are aress consecutivos: (2x + 1), (2x + 3), (2x + 5), … Múl Múltip tip tipos os d de e 5 consecutivos:

5x, (5x + 5), (5x + 10), …

Números complejos e imaginarios i = √−1 i2 = ―1

i3 = ―i = −√−1 i4

↓ Si z = a + bi ↓ Conjugado de z: Recíproco de z:

=1 Módulo de z:

z = a − bi

z −1 =

1

z

z

= |z|2

|z| = √a2 + b 2

Página | 4

Funciones Función de una función:

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))

Tipos de funciones según dominio y recorrido Fun Funció ció ción n in inyec yec yectiv tiv tiva a: (“u uno a u uno no no”) una imagen con máximo una preimagen. Fun Funció ció ción n ssobre obre obreye ye yecti cti ctiva va o e epiy piy piyecti ecti ectiva va va: ning ningún ún té térm rm rmino ino sob sobra ra ra, cada imagen tiene preimagen. Fun Funció ció ción n bi biyec yec yectiv tiv tiva a: epiyectiva e inyectiva a la vez.

Tipos de funciones según simetría Fun Funció ció ción np par ar ar: cuando x y –x tienen igual imagen (y). Ejemplo: simetría de la función cuadrática (y = x2). Fun Funció ció ción n iimpa mpa mparr: si x → y, -x → -y -y. Ejemplo: función f(x)= x3

Página | 5

Función cuadrática

f(x) = ax2 + bx + c Vértice de función cuadrática: V(h V(h,, k k))

𝐡=

x1 + x2 2

=

Eje de simetría en f. cuadrática: (h, ∞)

−b 2a

𝐤 = f(h) =

(4ac − b2) 4a

=

−∆

4a

Interés compuesto (ejemplo común: cantidad de din diner er ero o obtenido en cierto tiempo) Interés compuesto (es una func función ión ex expon pon pone enci ncial al al):

C = i • (1 + x)t

C: capital acumulado. i: capital inicial. x: tasa de interés compuesto (en decimal). Es cuánto aumenta o disminuye. t: número de períodos de tiempo que han transcurrido en el que crece el capital.

bacte cte cteria ria riass que se duplican) Cantidad de algo según el tiempo (ejemplo común: cantidad de ba Se representa como una func función ión exp expo onen nencia cia ciall: f(x): cantidad final. i: cantidad inicial. x: variación (cuánto aumenta o disminuye). t: períodos de tiempo transcurridos.

f(x) = i • xt

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Potenciación (logaritmos y raíces) Raíces Orden entre raíces Si el índice y la cantidad subradical de las raíces que se desea comparar son diferentes, se puede elev elevar ar amb ambas as rraíc aíc aíces es al M.C M.C.M. .M. d de e su suss ín índic dic dices es es. Esto se puede apreciar mejor al ver una raíz como potencia. 3 Así, √5 y √12 se pueden elevar a 6 y da como resultado que (√5)6 = 53 = 𝟏𝟐𝟓 , y

(√12)6 = 122 = 𝟏𝟒𝟒 , por lo que √𝟏𝟐 > √𝟓 3

𝟑

Logaritmos Cambio de base:

log a b =

logk b

logk a

Orden en los logaritmos

Si a < c, entonces log k a < log k c, siempre que 𝒌 > 𝟏..

Si n < m, entonces log n k > log m k, siempre que 𝒌 > 𝟏.

Para ambas afirmaciones, si 𝒌 < 𝟏, se invierte el sentido de la desigualdad.

Para loga logarit rit ritmos mos de d distin istin istinta ta base y arg argum um umen en ento to to, se deben transformar o expresar a una base co común mún mún. Una vez hecho esto, se debe aplicar propiedades, y como paso último, com compar par parar ar llos os argu argum ment entos os os. Así, log 4 3 y log 8 6 se cambiarán a logaritmos de base 2, aplicando el cambio de base:

log4 3 =

log 2 3

log2 4

=

log2 3

log 2 6 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 √𝟔 𝟑

2

1

= • log 2 3 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 √𝟑 , y log 8 6 = 2

log2 6

log2 8

=

log2 6 3

1

= • 3

Finalmente se comparan los argumentos, elevándolos al M.C.M. de los índices de las raíces:

(√3)6 = 𝟐𝟕 , y (√6)6 = 𝟑𝟔 3

Como 27 < 36 , resulta que 𝐥𝐨𝐠 𝟒 𝟑 < 𝐥𝐨𝐠 𝟖 𝟔 Página | 7

Plano cartesiano Pendiente a partir de dos puntos:

m=

y1 − y2 x1 − x2

Ecuación de la recta a partir de un punto y la pendiente:

Y − Y1 = m(x − x1 )

󰇍 = Pfinal − Pinicial Vector de traslación de un punto a otro: T

 = √(xA − xB )2 + (yA − yB )2 Distancia entre dos puntos: d(A, B) = AB

Rectas perpendiculares: L1 ⊥ L2 si y sólo si: m1 • m2 = −1 Razón de homotecia:

OA′ r = OA

Ecuación vectorial de la recta Forma de la ecuación vectorial de la recta: k󰇍 (t) = w 󰇍󰇍 + t • 󰇍v = (w 󰇍󰇍 x , w 󰇍󰇍 y ) + t(v󰇍 x , v󰇍 y ) 󰇍w 󰇍󰇍 : vector de posición. 󰇍v: vector de dirección. t: es un escalar, al cual le ponemos valores reales cualesquiera para calcular puntos de la recta.

Dos rectas son paralelas cuando tienen igual 󰇍v y un 󰇍w 󰇍 semejante, multiplicado por algún número. [1] Para expresar una ecuación vectorial de la recta en la forma cartesiana:

(x, y) = (x0 , y0 ) + t(a, b) = (x0 + t ∙ a, _y0 + t ∙ b)

Rotación de un punto en el plano cartesiano Pi (x, y)

+90° (‒y, xx))

+180° (‒x, ‒y)

+270° (y, ‒x)

[1]: Por ejemplo, si w 󰇍󰇍󰇍 1 es igual a 3 ∙ 󰇍w 󰇍󰇍 2, y tienen igual 󰇍v, entonces son paralelas.

+360° = 0° (x (x,, y)

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Figuras geométricas h=

Altura de un triángulo equilátero: Área de un triángulo equilátero:

Á=

a√3 2

a•h 2

=

a2 √3 4

En un rectángulo rectángulo obtenido de la mitad de un triángulo equilátero se cumplen siempre las relaciones de longitud y ángulos de la imagen.

Diagonal de un cuadrado: d = a√2 Área de un cuadrado:

Á=a =

Área de un sector circular:

2

Á=

d2 2

πr2 •θ 360

Longitud del arco del sector circular:

L=

2πr•θ 360

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Circunferencia: proporcionalidad y ángulos  • EC  =   • ED  Teorema de cuerdas: AE BE Ángulo interior:

α = ∡AEB =

 BA + DC 2

 • AB  =   Teorema de las secantes: AC AD • AE Ángulo exterior:

β = ∡CAD =

 DC −BE 2

 2 = PB  •   PA Proporcionalidad recta secante - tangente: PC Ángulo semi-inscrito:

λ = ∡BPC =

CB 2

 = PB  Teorema de las tangentes: PA

Los arco arcoss se miden/escriben en sentido an antiho tiho tihora ra rario rio ↺ siempre. Ángulos compl compleme eme ementa nta ntario rio rioss: suman 90° 90°. Ángulos sup suplem lement entar arios ios: suman 180°. lem ent ar ios En todo polígono regular, la suma total de los ángu ángulos los int interi eri eriore ore oress es 180° ∙ (n° de lados − 2) Página | 10

Triángulos: teoremas de proporcionalidad Teorema de Euclides Las siguientes ecuaciones sólo sirven en un trián triángul gul gulo o rrect ect ectáng áng ángulo ulo ulo.

Altura:

h2 = m • n

Catetos:

 • m b2 = AC

h = √m • n =  • n a2 = AC

a•b AC 

Teorema de la bisecrtiz  bisectriz del triángulo ABC Sea AM Proporcionalidad de lados:

 AB  BM

 AC

= CM 

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Sistema o espacio tridimensional Ecuación vectorial de la recta en el espacio (x, y, z) = P1 + β • 󰇍d = (x1 , y1 , z1 ) + β • (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )

󰇍2=0 Determinar cuándo dos rectas son perpendiculares: L1 ⊥ L2 si d󰇍 1 • d

 = √(xA − xB )2 + (yA − yB )2 + (𝑧𝐴 − 𝑧𝐵 )2 Distancia entre dos puntos: d(A, B) = AB

Ecuación vectorial de un plano en el espacio Esta ecuación se obtiene a partir de tres puntos no colineales conocidos de un plano (P 1, P2 y P3)

(x, y, z) = P1 + λ • (P2 − P1 ) + μ • (P3 − P1 )

A λ y μ se les dan valores variados en los reales para calcular puntos de un plano teniendo su ecuación. De esta ecuación se obtienen:

x = x1 + λ • (x2 − x1 ) + μ • (x3 − x1 )

y = y1 + λ • (y2 − y1 ) + μ • (y3 − y1 ) z = z1 + λ • (z2 − z1 ) + μ • (z3 − z1 )

Ecuación cartesiana del plano Ax + By + Cz + D = 0 Como la otra, esta ecuación se obtiene a partir de tres puntos no colineales conocidos, los cuales se reemplazan, considerando D = 1 y se forma un sistema de ecuaciones en donde es posible determinar los valores de A, B y C. Para la ecuación cartesiana del plano existen ciertas propiedades: o Dos planos son par paralel alel alelos os no coincidentes si:

A1

A2

=

B1

B2

=

C1

C2

≠

D1 D2

o Dos planos son per perpen pen pendicula dicula diculares res si: A1 • A2 + B1 • B2 + C1 • C2 = 0 Página | 12

Cuerpos geométricos 4

Área (esfera) = 4πr2

Volumen (esfera) =

Área (cubo) = 6a2

Volumen (cubo) = a3

Área (prisma) = (2 • Ábasal) + Álateral

Volumen (prisma) = Ábasal • h

Área (pirámide) = Ábase + Álat.

Volumen (pirámide) =

Área (cilindro) = 2πr2 + 2πrh

Volumen (cilindro) = πr2h

Área (cono) = πr2 + πrg

Volumen (cono) =

3

πr3

1

3

• Ábase • h

1 • πr2h 3

Área (tronco de pirámide) = Ábase1 + Ábase2 + Álat. Volumen (tr. de pirám.) =

𝐡 𝟑

• (Ábase1 + Ábase2 + √Ábase1 • Ábase2 )

Área (tronco de cono) = Ábase1 + Ábase2 + Álateral = πr2 + πR2 + π(r + R)g

donde: r = radio pequeño, R = radio grande, g = generatriz

Volumen (tronco de cono) =

𝐡 𝟑

• (Ábase1 + Ábase2 + √Ábase1 • Ábase2)

*En general, h es la altura, Á es área, r es radio.

Diagonal de un cubo (distancia entre vértices opuestos) = 𝐚𝐫𝐢𝐬𝐭𝐚 • √𝟑

La diagonal de un paralelepípedo se calcula como: √a2 + b 2 + c 2, donde a, b y c son aristas. La altura de la cara lateral de una pirámide se denomina ap apote ote otema ma lat latera era erall. El ángulo que se forma entre dos planos (o caras) se llama áng ángulo ulo die diedr dr dro o.

Fórmula de Euler[2]: aristas + 2 = caras + vértices

[2]: Es la relación entre número de aristas, caras y vértices en todo poliedro. Sirve para determinar, por ejemplo, el número de vértices de un cuerpo, sabiendo de antemano cuántas aristas y caras posee.

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Datos y azar

Datos: Estadística Medidas de dispersión Des Desviac viac viación ión m media edia edia::

D. M. =

Des Desviac viac viación ión ttípic ípic ípica a o está estándar: ndar:

∑(|xi − x|•fi) N

σ= √

Rango: xmayor − xmenor impar ar ar) = Posición de la mediana (con N imp Media aritmética o promedio:

x =

∑[(xi − x)2 •fi] N

N+1 2

∑(Xi • fi ) N

Vari anza: Varianza:

σ2 =

∑[(xi − x)2 •fi] N

N parr) = 2 Posición de la mediana (con N pa

y

N 2

+1

En datos agrupados en intervalos, xi es la marca de clase [3].

Diagrama de caja

Xmín.: dato mínimo o menor. Xmáx.: dato máximo o mayor. Q1, Q2, Q3: cuartiles 1, 2 y 3, respectivamente. Q2 es igual a la mediana.

Rango intercuartil o intercuartílico[4]: Cuartil 3 – Cuartil 1

[3]: La marca de clase es promedio entre el dato mayor y el dato menor del intervalo. [4]: Es representado en el diagrama de caja como el ancho del rectángulo. (si es que está vertical, como en la figura)

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Azar: Probabilidades Combinatoria Variación o arreglo sin repetición (importa el orden): Variación o arreglo con repetición (importa el orden):

Vmr =

r!

(m − r)!

r VR m = rm

Combinación sin repetición (orden no interesa):

r )= Cr,m = Cmr = ( m

Combinación con repetición (orden no interesa):

r = (r+m−1 CR m m )=

Permutación sin repetición:

Pr = r!

Permutación con repetición[5]: Permutación circular[6]:

r = PR a,b,c…

r! m! • (r − m)!

(r + m − 1)! m! • (r − 1)!

r!

a! • b! • c!!

Pr (circular) = (r − 1)!

El factorial de cero es uno: O! = 1

Producto de probabilidades (Probabilidad de que dos sucesos ocurran simu simultáne ltáne ltáneamen amen amente te te) Si son inde independ pend pendientes ientes ientes: P(A ∩ B) = P(A) • P(B) dependie endie endient nt ntes es (probabilidad condicionada): P(A ∩ B) = P(A) • P(B⁄A ) Si A y B son dep

[5]: Ejemplo típico: ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar las letras de cierta palabra que tiene letras repetidas? , con a, b y c de la ecuación siendo las veces que se repite cada elemento/letra. (Si hay 3 letras s, hay que poner 3!) [6]: Ejemplo típico: Calcular todas las maneras en que pueden sentarse un cierto número de personas en una mesa redonda.

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Suma de probabilidades (Probabilidad de que ocurra un suceso o el otro) Probabilidad total: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Si no hay un conjunto coincidente entre A y B, es decir, si son eventos mutuamente excluyentes y no pueden ocurrir simultáneamente, P(A ∩ B) desaparece de la ecuación porque valdrá cero.

Probabilidad condicionada o condicional Probabilidad de que ocurra el suceso A dado que ocurrió B:

PA ⁄ = B

P(A ∩ B) P(B)

=

P(A) • P(B A ⁄ ) P(B)

Función de probabilidad La suma de las probabilidades (recorrido de la función) da 1: Valor esperado o esperanza en función de probabilidad:

∑ f(x) = 1

E(x) = ∑(P(X = xi ) • xi )

La función de distr distribuci ibuci ibución ón corresponde a la función de probabilidad ac acumula umula umulada da da.

Desviación estándar o típica:

Varianza:

σ2 =

σ= √

∑[(xi − E(xi ))2 • P(xi )] N

∑[(xi − E(xi ))2 • P(xi )] N

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Variable aleatoria discreta (distribución binomial) Se representa de la forma: X ~ B(n,p) Esperanza o valor esperado en v. a. discreta: Desviación típica o estándar: Varianza:

σ2 = npq

σ = √npq

Distribución binomial de Bernoulli: Donde:

E(x) = np

P(X = x) = 𝐂xn • 𝐩x • 𝐪n−x

Cxn : combinación de las veces que se repite el experimento sobre la cantidad de éxitos.

n: veces que se repite el experimento q = (1 – p) = probabilidad de fracaso p: probabilidad de éxito k: cantidad de éxitos (n ‒ k): cantidad de fracasos

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Uso del Triángulo de Pascal en la variable aleatoria discreta Para experimentos con dos rresulta esulta esultados dos p posible osible osibless (como lanzar una moneda), se usa elige el nive nivell del triángulo de Pascal correspondiente según el núm número ero d de e vece vecess que sse e haga el exp experime erime erimento nto nto. Ejemplo: al lanzar una moneda 5 veces se puede hacer un cuadro con las probabilidades de cada resultado, con el nivel 5 del triángulo de Pascal:

C S

1 0 5

5 1 4

10 2 3

10 3 2

5 4 1

1 5 0

← ∆ Pascal nv. 5

En los resultados posibles se rellena con una suce sión d en úmer os en tero e0 sucesión de númer úmeros entero teross desd desde 0, y luego en sentido contrario. Así, por ejemplo, podemos saber fácilmente la probabilidad de que salgan 4 caras y 1 sello, sería el número del triángulo de Pascal que le corresponde, es decir:

C S

1

5

10

10

0 5

1 4

2 3

3 2

5 4 1

1 5 0

P(4 caras y 1 sello) = 5⁄N = 5⁄ 5 = 5 ⁄∑ ∆ = 𝟓⁄𝟑𝟐 2 nv.5

Variable aleatoria continua (distribución normal) Representación de una variable aleatoria continua: Z ~ N(μ, σ)

Para estar tipificada, μ debe ser 0 y σ debe valer 1. Tip Tipificac ificac ificación ión de x en una distribución normal: Inte rva los de co nfian za = Interva rvalos confian nfianza

[x − E, x + E]

Z=

x−μ σ Err Error: or:

E = Zα ⁄2 •

σ

√N

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Ecuaciones de segundo grado y productos notables

Soluciones en una ecuación de segundo grado: Discriminante:

∆ = b2 − 4ac

x=

−b±√b2 −4ac 2a

Si ∆ > 0 0, hay dos soluciones reales distintas. Si ∆ = 0 0, hay una única solución real. Si ∆ < 0 0, hay dos ...