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LIBRO RECOPILACIÓN PSU EJERCICIOS DEMRE 2012 CONTENIDOS EJERCICIOS PSU RESPUESTAS RECOPILACIONES ENSAYOS www.fmat.cl 1 INDICE Contenido Página 1 Números Enteros, operatoria, propiedades 3 2 Números racionales, operatoria, propiedades 14 3 Potencias, propiedades, aplicaciones 30 4 Operatoria algebrai...

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LIBRO RECOPILACIÓN PSU EJERCICIOS DEMRE

2012 CONTENIDOS EJERCICIOS PSU RESPUESTAS RECOPILACIONES ENSAYOS

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1

INDICE

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

Contenido Números Enteros, operatoria, propiedades Números racionales, operatoria, propiedades Potencias, propiedades, aplicaciones Operatoria algebraica Simbología Razones y proporciones. propiedades Tanto por ciento, propiedad, aplicaciones Raíces, propiedades, aplicaciones Ecuaciones de primer grado, lineales, sistemas de ecuaciones Desigualdades, intervalos, inecuaciones Ecuación de segundo grado, propiedades, aplicaciones Logaritmos, propiedades, aplicaciones Funciones, operatoria, tipos de funciones, propiedades, aplicaciones Ángulos y Triángulos, propiedades, Teorema de Pitágoras, teorema de Euclides Congruencia de triángulos, criterios, aplicaciones Semejanza de triángulos, criterios, aplicaciones Cuadriláteros, propiedades, aplicaciones Polígonos, propiedades Ángulos en la circunferencia, propiedades, aplicaciones Relaciones métricas en la circunferencia, círculo, aplicaciones Poliedros, volumen, aplicaciones División interior y exterior Trigonometría, razones, aplicaciones Probabilidad, propiedades, aplicaciones Estadística, gráficos, aplicaciones Transformaciones isométricas, propiedades, aplicaciones Teorema de Tales, propiedad, aplicación Evaluación de suficiencia de datos Respuestas Recopilación 1 Recopilación 2 Recopilación 3 Recopilación 4 Recopilación 5 Recopilación 6 Recopilación 7 Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 3 Ensayo 4 Ensayo 5 Ensayo 6 Ensayo Admisión 2011 Ensayo 8 Ensayo 9 Ensayo 10

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Página 3 14 30 38 56 61 71 84 94 112 119 122 125 150 172 176 187 202 204 216 221 230 233 244 267 283 301 309 334 340 350 364 377 388 410 436 459 481 505 531 552 577 601 628 653 676

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RESUMEN PSU MATEMATICA

I. NÚMEROS NATURALES Y CARDINALES (IN, IN0) Los elementos del conjunto lN = {1, 2, 3,…} se denominan “números naturales”. Si a este conjunto le unimos el conjunto formado por el cero, obtenemos lN0 = {0, 1, 2,…} llamado “conjunto de los números cardinales”. NÚMEROS ENTEROS (Z) Los elementos del conjunto Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2,…} se denominan “números enteros” Algunos subconjuntos de Z son: Z+ = {1, 2, 3,…} enteros positivos Z 0 = {0, 1, 2,…} enteros no negativos Z- = {-1, -2, -3,…} enteros negativos

Z 0 = {0, -1, -2, -3,…} enteros no positivos

1. Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, … 2. Son cubos perfectos los enteros: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … y también: -1, -8, -27, -64, -125, -216, -343, … MÚLTIPLO Y DIVISOR En la expresión a = b ⋅ c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b y de c o bien b y c son divisores o factores de a. REGLAS DE DIVISIBILIDAD Un número entero es divisible: Por Cuando 2 Termina en cifra par. 3 La suma de sus cifras es múltiplo de tres. 4 Las dos últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro o bien son Ceros. 5 La última cifra es cero o cinco. 6 Es divisible por dos y por tres a la vez. 7 La diferencia entre el doble de la última cifra y el número que forman las Cifras restantes es múltiplo de siete. 8 Las tres últimas cifras forman un número múltiplo de ocho o bien son Ceros. 9 La suma de sus cifras es múltiplo de nueve. 10 Termina en cero. 11 La diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares pares y Las que ocupan los lugares impares es múltiplo de once.

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NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES Números primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, … Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son primos. Los primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, … TEOREMA FUNDAMENTAL Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de aquellos números que cumplen con la propiedad de ser factores de números primos MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.) Es el menor múltiplo común positivo de dos o más enteros. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) Es el mayor divisor común entre dos o más enteros. CÁLCULO DEL m.c.m. y M.C.D MEDIANTE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS Se descomponen los números en factores primos: 1. El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de existir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor. 2. El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando aquel que posea el exponente menor. OPERATORIA EN Z ADICIÓN i. Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando el signo común. ii. Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valor absoluto. MULTIPLICACIÓN i. Si se multiplican dos números de igual signo al resultado es siempre positivo. ii. Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado es siempre negativo. OBSERVACIÓN: La división cumple con las reglas de signos de la multiplicación. VALOR ABSOLUTO Es la distancia que existe entre un número y el 0

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n, si n  0 DEFINICIÓN: n    n si n  0

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN Si D: d = c, entonces D = d • c + r r // D = dividendo d = divisor c = cuociente o cociente r = resto OBSERVACIONES: 1. 0 ≤ r < d 2. La división por cero no está definida. PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden: 1. Resolver los paréntesis. 2. Realizar las potencias. 3. Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha. 4. Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha. RELACIÓN DE ORDEN EN Z Si a y b son números enteros, entonces diremos que: i. a > b si y sólo si (a - b) es un entero positivo. ii. a < b si y sólo si (a - b) es un entero negativo. iii. a ≥ b si y sólo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez). iv. a ≤ b si y sólo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez).

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EJEMPLO PSU-1: Si al entero (– 1) le restamos el entero (– 3), resulta A) – 2 B) 2 C) 4 D) – 4 E) ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-2: Si a es un número de dos dígitos, en que el dígito de las decenas es m y el de las unidades es n, entonces a + 1 = A) m + n + 1 B) 10m + n + 1 C) 100m + n + 1 D) 100m + 10n + 1 E) 10(m + 1) + n EJEMPLO PSU-3: Si n = 2 y m = -3, ¿cuál es el valor de –nm –(n + m)? A) -11 B) -5 C) 5 D) 7 E) -7 EJEMPLO PSU-4: En una fiesta de cumpleaños hay 237 golosinas para repartir entre 31 niños invitados. ¿Cuál es el número mínimo de golosinas que se necesita agregar para que cada niño invitado reciba la misma cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna? A) 11 B) 20 C) 21 D) 0 E) 7

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EJEMPLO PSU-5: Claudia tenía en el banco $ 4p. Retiró la mitad y horas más tarde depositó el triple de lo que tenía al comienzo. ¿Cuánto dinero tiene ahora Claudia en el banco? A) $ 8p B) $ 10p C) $ 12p D) $ 16p E) $ 14p EJEMPLO PSU-6: Para completar la tabla adjunta se debe seguir la siguiente regla: el último número de cada fila es la suma de los tres números anteriores y el último número de cada columna es la suma de los tres números anteriores. ¿Cuál es el valor de x? A) 5 B) 7 C) 8 D) 9 E) 16

x 4 8 24

4 9 16

20 13 55

EJEMPLO PSU-7: Con los círculos se ha armado la siguiente secuencia de figuras: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La décima figura de la secuencia está formada por 21 círculos II) De acuerdo a la formación de la secuencia cualquier figura tendrá un número impar de círculos III) La diferencia positiva en cuanto a la cantidad de círculos entre dos figuras consecutivas es 2 A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

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EJEMPLO PSU-8: En un monedero hay doce monedas de $5 y nueve de $10. Estas 21 monedas representan un cuarto del total de dinero que hay en su interior. Si en el resto de dinero se tiene igual cantidad de monedas de $50 y de $100, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) En total hay 27 monedas II) Hay 4 monedas de $50 en el monedero III) En el monedero hay $600 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III EJEMPLO PSU-9: Se define a  b  ab  b y a # b = 2a - 4b, para a y b números enteros, el valor de (2  5) # (-2) es: A) 82 B) 66 C) 60 D) 38 E) 22 EJEMPLO PSU-10: Al sumar el cuarto y el quinto término de la secuencia: x - 5, 2(2x + 7), 3(3x - 9), 4(4x + 11),. . ., resulta A) 41x - 2 B) 61x + 25 C) 41x - 109 D) 41x + 109 E) 41x - 21 EJEMPLO PSU-11: ¿De cuántas formas distintas se puede pagar, en forma exacta, una cuenta de $ 12.000 usando billetes de $ 10.000 o $ 5.000 o $ 1.000 o combinaciones de ellos? A) De 1 forma B) De 2 formas C) De 4 formas D) De 3 formas E) De 6 formas www.fmat.cl

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EJEMPLO PSU-12: Si hoy es miércoles, ¿qué día de la semana será en 100 días más, a partir de hoy? A) Viernes B) Sábado C) Lunes D) Miércoles E) Jueves EJEMPLO PSU-13: Si tuviera $80 más de los que tengo podría comprar exactamente 4 pasteles de $ 240 cada uno, ¿cuánto dinero me falta si quiero comprar 6 chocolates de $ 180 cada uno? A) $280 B) $200 C) $120 D) $100 E) $ 40 EJEMPLO PSU-14: El precio de los artículos M, N y T son $(n-1), $(n-2) y $(n -3), respectivamente. ¿Cuántos pesos se deben pagar por un artículo M, dos artículos N y tres artículos T? A) 6n - 14 B) 6n – 6 C) 5n – 14 D) 3n – 14 E) 3n - 6 EJEMPLO PSU-15: En las siguientes igualdades los números n. p, q y r son enteros positivos. ¿Cuál de las opciones expresa la afirmación p es divisible por q? A) p = nq + r B) q = np + r C) q = np D) p = nq p 1 E) 1 q q

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EJEMPLO PSU-16: Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la siguiente manera: “Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala”. ¿Cuál es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas? A) 8 B) 6 C) 9 D) 10 E) Ninguna de las anteriores EJEMPLO PSU-17: Si 16(n + 8) = 16, entonces n - 5 es igual a A) -12 B) -7 C) -2 D) 4 E) 12 EJEMPLO PSU-18: M, N y P son números enteros mayores que 1. Si ninguno de ellos tiene factores en común, salvo el 1, cuando M = 9 y N = 8, ¿cuál es el menor valor posible de P? A) 7 B) 5 C) 4 D) 3 E) 1 EJEMPLO PSU-19: En un triángulo equilátero de lado 1.000 se unen los puntos medios de cada lado y se obtiene un nuevo triángulo equilátero, como se muestra en la figura. Si repetimos el proceso 6 veces, el lado del triángulo que se obtiene es: 1.000 A) 12  1.000  B) 6     2 

1.000 26 1.000 D) 6 1.000 E) 25 C)

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EJEMPLO PSU-20: La suma de tres números impares consecutivos es siempre: I) divisible por 3 II) divisible por 6 III) divisible por 9 Es(son) verdadera(s): A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-21: La suma de tres números enteros consecutivos es 0. Con respecto a estos números, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

I) La suma del menor y el mayor es 0 II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor III) El mayor menos el menor es 0

EJEMPLO PSU-22. Un grupo de amigos tiene dinero para comprar 20 bebidas de $ 200 cada una. Si el precio sube a $ 250 cada una, ¿cuántas bebidas pueden comprar con el mismo dinero? A) B) C) D) E)

1 8 16 26 80

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EJEMPLO PSU-23. Encuentre el valor de (A + B + C), sabiendo que en el cuadrante sólo pueden colocarse los números 1, 2, 3 y 4 de manera tal que en cada fila y columna pueden ir sólo una vez cada número A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) Ninguna de las anteriores EJEMPLO PSU-24. La distancia en la recta numérica entre a y b es c. esto se expresa como: A) a  b  c B) a  b  c C) a  b  c D) b  a  c E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-25. Cinco personas P, Q, R, S y T juegan sacando un cartón de una caja en que aparece una operación, en el cual tienen que reemplazar la letra X por el número que les dictan (para todos el mismo). La persona que tiene el cartón con el menor resultado gana. Si se sacan los siguientes cartones: P

Q X-1

R X+1

1-X

S 1 – (-X)

T -X

¿Quién gana cuando dictan – 3? A) Q B) P C) R D) S E) T

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EJEMPLO PSU-26. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A) Un número entero es divisible por 6 si es par y la suma de sus dígitos es divisible por 3. B) Si la suma de dos números es par, entonces ambos son pares o ambos son impares. C) La suma de todo número divisible por 3 con todo número divisible por 6, es divisible por 3. D) El cuadrado de todo número divisible por 3 es divisible por 6. E) El producto de todo número divisible por 4 con todo número divisible por 6, es divisible por 12.

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II. NÚMEROS RACIONALES Los números racionales son todos aquellos números de la forma

a con a y b b

números enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la letra Q. a  Q   / a, b  Z y b  0 b  2. IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Si

a c Q, entonces: , b d

a c ad  bc   b d bd

a c ad  bc   b d bd OBSERVACIONES 1. El inverso aditivo (u opuesto) de como

a o b

a a es - , el cual se puede escribir también b b

a b

2. El número mixto A

b se transforma a fracción con la siguiente fórmula: c

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Si

a c Q, entonces: , b d

MULTIPLICACIÓN

DIVISIÓN

OBSERVACIÓN El inverso multiplicativo (o recíproco) de

a  a es   b b

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1



b , con a  0 a

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RELACIÓN DE ORDEN EN Q

OBSERVACIONES 1. Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes procedimientos: a. igualar numeradores. b. igualar denominadores. c. convertir a número decimal. 2. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales. NÚMEROS DECIMALES Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico. a. Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifras decimales. Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimales b. Desarrollo decimal infinito periódico: Son aquellos que están formados por la parte entera y el período. Ejemplo: 0,444.... = 0, 4 c. Desarrollo decimal infinito semiperiódico: Son aquellos que están formados por la parte entera, un anteperíodo y el período. Ejemplo: 24,42323... = 24,4 23 OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES 1. Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva. Así por ejemplo: 0,19 3,81 + 22,2 26,20 2. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales, se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en conjunto. Así por ejemplo: 3,21 ⋅ 2,3 963 642 7,383

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3. División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 10. Así por ejemplo: 2,24: 1,2 se amplifica por 100 224: 120 y se dividen como números enteros TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN 1. Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales tenga dicho número. Por ejemplo: 3,24 =

324 100

2. Decimal infinito periódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período. Por ejemplo: 2, 15 =

215  2 99

3. Decimal infinito semiperiódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. 534  53 Por ejemplo: 5,3 4 = 90 APROXIMACIONES Frecuentemente conviene redondear o truncar un número, dejando una aproximación con menos cifras significativas, de las que tiene originalmente. REDONDEO Para redondear un número decimal finito o infinito se agrega 1 al último dígito que se conserva (redondeo por exceso), si el primero de los dígitos eliminados es mayor o igual a 5; si la primera cifra a eliminar es menor que 5, el último dígito que se conserva se mantiene (redondeo por defecto). Por lo tanto, como ejemplos, BAJO ESTA REGLA, al redondear a la centésima los números 4,748 y 9,5237 se obtiene 4,75 y 9,52, respectivamente. TRUNCAMIENTO Para truncar un número decimal, se consideran como ceros las cifras ubicadas a la derecha dela última cifra a considerar. De esta manera, como ejemplo, si se trunca a las centésimas el número 2,5698 resulta 2,56. ESTIMACIONES Realizar un cálculo estimativo, consiste en efectuarlo con cantidades aproximadas por redondeo a las dadas, reemplazando dígitos distintos de ceros por ceros, dejando la cantidad de cifras significativas que se indique (lo que habitualmente es una cifra). www.fmat.cl

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 0,05  EJEMPLO PSU-1: 5     0,5  A) 0,5 B) 0,05 C) 0,005 D) 50 E) 500 EJEMPLO PSU-2: El orden de los números a = menor a mayor es

5 3 2 , b = y c = de 3 6 8

A) a < b < c B) b < c < a C) b < a < c D) c < a < b E) c < b < a EJEMPLO PSU-3: 40 - 20  2,5 + 10 = A) 0 B) -20 C) 60 D) 75 E) 250 EJEMPLO PSU-4: A) 0,15 B) 0,5 C) 0,52 D) 0,525 E) 2

9 3   8 5

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EJEMPLO PSU-5: Si a A) 

5 1 se le resta resulta: 3 6

1 2

1 2 2 C) 3 4 D) 3 2 E) 9 B)

EJEMPLO PSU-6:

1 3  0,75 8



1 3  0,25 8

15 3 16 B) 3 16 C)  3 D) 4 A)

E)

8 3

EJEMPLO PSU-7: Si t = 0,9 y r = 0,01, entonces A) 80,89 B) 80,9 C) 88,9 D) 89 E) Ninguno de los valores anteriores

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t r = r

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1 1 1   , si P y R se reducen a la P Q R mitad, entonces para que se mantenga el equilibrio, el valor de Q se debe

EJEMPLO PSU-8: En la igualdad

A) duplicar. B) reducir a la mitad. C) mantener igual. D) cuadruplicar. E) reducir a la cuarta parte. EJEMPLO PSU-9: Juan dispone de $ 6.000 para gastar en entretención. Si se sabe que cobran $1.000 por jugar media hora de pool y $600 por media hora en Internet, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Juan puede jugar a lo más 3 horas de pool II) Juan puede conectarse a lo más 5 horas en Internet III) Juan puede jugar 1,5 horas de pool y conectarse 2,5 horas a internet A) Solo III B) Solo...