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1. Determine a parte real e a parte imaginária dos seguintes números complexos. **1. 1. 1.** 2. Determine o módulo e um argumento dos seguintes números complexos. 2. 2.2. 2.2. 2.3. Em ℂ, conjunto dos números complexos, considere os números: e Sabe -se que é um número real e que é imaginário puro. De...

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!! ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO Ficha de trabalho- Complexos

12º Ano

23-04-2021

1. Determine a parte real e a parte imaginária dos seguintes números complexos.

2.

1.1.

-i ( 4 + 2i )

1.3.

4 + 3i 2 - 5i

2

-

1.2.

(2 - i) 1

1.4.

i

101

2

(

+ i - 2i

)

Determine o módulo e um argumento dos seguintes números complexos. 2.1.

( 2i )

5

(1 - i )

2.2.

2.5.

æ 1 3ö çç - + i ÷ 2 ÷ø è 2

-

i 6 - 2i 2

𝜋 2

|𝑧| = 4√2&𝑒&𝐴𝑟𝑔(𝑧) = −

3

2.3.

|𝑧| = 32&𝑒&𝐴𝑟𝑔(𝑧) =

5

(2 - i)

3

- 8i + 3i 1- i

2.4.

æ ö ç 2e ÷ + 2 è ø i

2i

2.6.

i- 3

|𝑧| =

𝜋 5√2 &&𝑒&𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 4 2

|𝑧| =

3𝜋 √2 &𝑒&𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 2 4

|𝑧| = 6&𝑒&𝐴𝑟𝑔(𝑧) =

𝜋 2

3. Em ℂ , conjunto dos números complexos, considere os números:

z1 = 2a - 3i, a Î !

z2 = -5 - bi, b Î !

e

𝑎=

9 𝑒&𝑏 = −3 10

Sabe-se que z1 + z2 é um número real e que z 1´ z 2 é imaginário puro. Determine os valores de a e de b .

4. Apresente na forma algébrica os seguintes números complexos.

2- i 1 + 5 4.1 z3 = 3 ( 1 + i)( -1 + i) - i i

4.2 z =

(

i - - 3 +i

( -1 + i)

)

3

8

𝑧! = −1 − 𝑖

8 + 6i - 2ei2π 2 i 4.3 z = 6 -2 - 12i

(

)

𝑧=− 𝑧=

1 2

1 𝑖 1024

5. Em ℂ, conjunto dos números complexos, considere:

z1 = 8 2 + 8 2i

e

z2

1 + 2i) ´ i40n + 3 - b ( ,b Î ! e = -1 + i

5𝜋 4

|𝑧| = 1&𝑒&𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 0

3

π i 3

( )

7

𝑛∈ℕ

5.1.

Mostre que z1 é solução da equação iz + z = 0( z designa o conjugado de z ).

5.2.

Determine o valor de b para o qual z 2 é um número real.

𝑏=1

6. Resolva, em%ℂ, as equações. 6.1.

(1- 2i ) z = i 7

6.2.

i10 z - i = i 7 z + 3

𝑧=

2 1 − 𝑖 5 5

𝑧 = −1 − 2𝑖 𝑧=

2

6.3.

4z - 4z + 5 = 0

6.4.

( z + 3)

6.5.

2z 3 - 4z 2 + 23z + 29 = 0 , sabendo que -1 é solução.

6.6.

z + 81e 4 = 0

6.7.

z 2 + z = 0 , sendo z o conjugado de z .

6.8.

z 2 - 3z = 0 Ù z ¹ 0, sendo z o conjugado de z .

2

4

#

"

+ 𝑖 ∨ &𝑧 = − 𝑖 #

𝑧 = −3𝑖 ∨ &𝑧 = 3𝑖

= 6z

i

"

3 7 3 7 𝑧 = −1 ∨ &𝑧 = − 𝑖 ∨ &𝑧 = + 𝑖 2 2 2 2

π

7. Represente as regiões do plano definidas pelas condições seguintes.

8.

7.1.

z + 3i = z - 3 Ù z < 3

7.2.

z + 1+ i £ z - 3- i Ù z - 1- i < 2

Em %ℂ, conjunto dos números complexos, a condição z - 1 ³ 2 z - i define um círculo. Escreva a inequação reduzida desse círculo, isto é, apresente-a na forma

2

( x - x0 ) + ( y - y0 )

2

£ r 2, onde

( x0 , y0 )

são as coordenadas do centro do círculo e r o seu raio. 9. Represente as regiões do plano definidas pelas condições seguintes.

π π < Arg ( z -1 + 2i ) < 3 4

9.1.

z -1 + 2i £ 3 Ù -

9.2.

z -1 < z - i Ù Re ( z ) ´ Im ( z ) ³ 0

9.3.

4π 3π < Arg (z ) < Ù 2£ z £ 4 3 2

9.4.

Re ( z + 1+ i ) £ 2 Ù

π π £ Arg ( z ) < 4 3

10. Em%ℂ, conjunto dos números complexos, considere: w = 5 + 2 6i 10. 1 Sabendo que w é uma raiz quarta de um certo número complexo z , determine as restantes raízes quartas de z sem recorrer à calculadora.

-2 6 + 5i , - 5 - 2 6i e 2 6 - 5i

10.2 Considere, no plano complexo, a circunferência de centro no afixo de w e que passa pela origem do referencial. Defina, por meio de uma condição em %ℂ, a parte desta circunferência que está contida no quarto quadrante (eixos

(

)

z - 5 + 2 6 i = 7 Ù Im( z) < 0

não incluídos).

[ ABCDE ], inscrito numa circunferência de centro

11. Na figura está representado um pentágono regular

Um dos vértices é o afixo do número complexo z = 2e

-i

O.

3π 5

.

11.1 Escreva na forma trigonométrica os números complexos cujos afixos são os restantes quatro vértices do pentágono [ ABCDE] .

11.2 Indique uma equação cujas soluções sejam os números complexos cujos afixos são os vértices do pentágono

[ ABCDE] .

(por ex.)

12. Em ℂ, conjunto dos números complexos, considere z1 = - 3 - 3i e z2 = 2ei q, onde q Î ! . 3

æ 1ö 12.1. Resolva a equação z ´ z1 = ç ÷ . è iø Apresente a solução na forma trigonométrica. 12.2. Determine o valor de q , pertencente ao intervalo ] -π , 0], de modo que o afixo do número complexo 2

z1 ´ ( z 2 ) pertença à bissetriz do terceiro quadrante. 13. Determine as raízes cúbicas do número complexo: -4 2 + 4 2i p i

2e 4 , 2e

Apresente-as na forma trigonométrica. i

11p i 12

e 2e

π

14. Em ℂ, considere os números complexos, z1 = 2e 3 e z2 = 1 - 3i . 14.1. Verifique que z1 e z 2 são raízes cúbicas de um mesmo número complexo. Determine esse número apresentando-o na forma algébrica.

-8

n

æz 2 ö ÷ é um número real positivo. è -i ø

14.2. Determine o menor valor n natural para o qual ç

i

15. Em ℂ, conjunto dos números complexos, considere: w = 2e

π 6

4

Escreva na forma trigonométrica o número ( w - i ) . 16. Em%ℂ, conjunto dos números complexos, considere os números definidos na forma: 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛 * + + 𝑖 (1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 ), %%0 < 𝜃 < ,

.

-

-

12

19 p i 12

2 Prove que os afixos dos números z pertencem à parábola de equação y = 2 1 - x .

(

)

17. Em ℂ , conjunto dos números complexos, considere z1 = - 3 + i. n

( )

Determine os valores naturais de n tais que ( z1 ) + z1

n

=0

( z designa o conjugado de 1

z1 )

(𝑛 = 3 + 6𝑘, 𝑘 ∈ ℕ )

Escolha Múltipla 1. Considere em ℂ, conjunto dos números complexos, w = i

4 n +3

.

Qual é o inverso de w ? (A) -i

(B) i

(C)

1 i

(D) 4i

1

27

2. Em ℂ, conjunto dos números complexos, considere: w = ( -i ) +

i

4 n +3

, n Î • ℕ.

Qual dos seguintes números complexos é igual a w ? (A) -i

(C) i

(B) 0

(D) 2i

3. Em%ℂ , conjunto dos números complexos, considere w = sin x + i cos x. O número w escrito na forma trigonométrica pode ser igual a:

(A)

e

æπ ö iç - x ÷ è2 ø

(B)

æπ ö i ç + x÷ è2 ø

e

(C)

e(

i π+ x )

e (i

(D)

π- x)

4. A figura representa um hexágono regular [ ABCDEF ] no plano complexo. Os vértices do hexágono são os afixos das raízes de índice n de um certo número complexo w. O vértice A tem coordenadas ( 3 , 0) . Qual dos números complexos seguintes tem por afixo o vértice E do hexágono? i

(A)

e

4π 3

(B)

3e

-i

2π 3

i

(C)

3e

7π 6

i

(D)

3e

5π 4

5. Seja z = yi , com 𝑦 ∈ ℝ/ , um número complexo. 8

Qual dos quatro pontos representados na figura, A , B , C ou D , pode ser o afixo de z ? (A) Ponto A

(B) Ponto B

(C) Ponto C

i

6.

Considere o número complexo z1 = 2 3e

5π 4

(D) Ponto D

.

O afixo de z1 pertence à região do plano complexo definida pela condição: (A) Re ( z ) = 2 3

(B) Im ( z ) =

5π 4

(C) z > 1

(D) 0 < Arg ( z ) <

3π 4

7. Qual das figuras seguintes pode ser a representação geométrica, no plano complexo, da região definida pela condição Re ( z ) + Im ( z ) ³ 3 ? (A) (B)

(C)

8.

(D)

Em ℂ , conjunto dos números complexos, sejam z1 = 1 - i e z2 = 1 + i . 10

O número complexo w = ( z 1) ´ ( z 2)

z1

(A)

9.

-9

é igual a:

(C) - z1

(B) z 2

(D) - z2

Em ℂ , conjunto dos números complexos, considere z =

2i -1 + i 3

.

Qual poderá ser um argumento do simétrico de z ? (A) -

π 6

(B)

π 6

(C)

5π 6

(D)

10. Em ℂ , conjunto dos números complexos, considere Qual é a representação trigonométrica de z ? (A)

-i

2e

3π 4

(B)

-i

2e

π 4

z = i10 - i. i

(C)

3e

11. Em ℂ , conjunto dos números complexos, considere

7π 6

5π 4

(D)

w = 2e

æ π ö i ç - +q ÷ è 5 ø

3e

-i

π 4

.

Para qual dos seguintes valores de q é que z é um imaginário puro negativo? (A)

7π 10

(B)

6π 5

(C) -

6π 5

(D) -

23 π 10

12. Considere, em ℂ , conjunto dos números complexos, os números z1 = 1 + 2i e z2 = -2 + i. Admitindo que q é um argumento de z2 , qual das seguintes opções poderá ser um argumento de z1? (A) -q 1.B

2.D

(B) q 3.A

4.B

5.A

6.C

π 2

7.D

(C) q + 8.D

9.C

10.A

π 2

(D) 2q 11.D

12.B

7.1

7.2

9.1

9.3

9.2

9.4...