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NUMERO DI NUSSELT Il numero di Nusselt Nu è il gruppo adimensionale che esprime il rapporto tra il flusso di calore scambiato per convezione e il flusso di calore scambiato per conduzione. Nu=

hd k

dove: h è la trasmittanza termica convettiva in [W m-2 K-1]; d è la lunghezza caratteristica (in [m]), che dipende dal caso preso in esame (in particolare nel caso di flusso intubato è pari al diametro equivalente del condotto); k è la conducibilità termica del fluido [W m-1K-1].

 



Adimensionalizzazione della legge di Fourier Il numero di Nusselt si ottiene adimensionalizzando la legge di Fourier a partire dal gradiente termico: q=−k ∇T

dove: 

q è l'emittanza termica in [W/m2];



k è la conducibilità termica;



T la temperatura nel fluido in [K].

Infatti introducendo le seguenti quantità adimensionalizzate: ' ∇=d ∇

'

T=

T −T h T h−T c

Per cui: Nu=−∇' T '

Si ha che

−∇T ' =

d hd q= k ( T h−T c ) k

FATTORE DI FANNING Il fattore di attrito di Fanning (o più semplicemente numero di Fanning) è il gruppo adimensionale dello sforzo di taglio alla parete, e rappresenta il rapporto fra i flussi conduttivo (sforzo di taglio) e convettivo (forze inerziali) di quantità di moto. È definito come: f=

2τ fD = ρu 2 4

dove:    

τ è lo sforzo di taglio o tensione deviatorica nel materiale; u è la velocità di flusso locale del materiale; ρ è la densità del materiale; è il fattore di attrito di Darcy, ottenibile dal diagramma di Moody.

NUMERO DI RAYLEIGH Il numero di Rayleigh è un parametro adimensionale che esprime il rapporto tra tutte le azioni che contribuiscono positivamente al moto in un fluido  forza di galleggiamento

Fg

e tutto ciò che invece si contrappone negativamente  

Ra=

viscosità μ diffusività termica α Fg μα

Grazie ad esso è possibile capire se vi è moto, oppure no, in condizioni di convezione naturale; ovvero se per effetto della forza di galleggiamento conseguente al campo di densità, che a sua volta è conseguenza del campo di temperatura, si innesca oppure no il moto nel fluido. Nel caso in cui il numero di Rayleigh risulti inferiore al valore critico (pari a: 1708), le spinte di galleggiamento dovute ai gradienti di densità in seno al fluido non riescono a superare l’opposizione della viscosità cinematica: il moto dunque non si manifesta e lo scambio termico avviene per semplice conduzione. Viceversa, se Ra > 1708, le spinte sono tali da consentire il superamento della resistenza imposta dal prodotto μα e, pertanto, il moto per convezione si manifesta: siamo in regime di convezione naturale.

NUMERO DI RAYNOLDS Il Numero di Raynolds è una grandezza adimensionale che descrive il passaggio dal moto laminare al moto turbolento per i fluidi i un condotto, e che dipende dalla densità del fluido, dalla velocità, dalla sua viscosità e dal raggio del condotto. e=¿

ρvr μ

R¿

dove:    

ρ è la densità del fluido; v è la velocità; r è il raggio del condotto; μ è la viscosità.

PROPRIETÀ 1) Dalla formula di Re si vede che è direttamente proporzionale alla densità del fuido; alla sua velocità e al raggio del condotto, mentre è inversamente proporzionale alla viscosità. 2) Se prendiamo un fluido con una specifica densità e una certa viscosità, e lo facciamo scorrere all’interno di un tubo cilindrico di raggio r , abbiamo fissato tre delle grandezze che compaiono nella formula del numero di Reynolds. In questa situazione l’unica grandezza che può modificare il valore di Re è la velocità. Possiamo così ricavare la velocità critica , ovvero quel valore che si ha quando il fluido passa da un moto laminare a uno turbolento. Sostituiamo Re =1200 e otteniamo vc=

μ Re ρr

=1200

μ ρr

Quando si fa scorrere un fluido con velocità critica si ha un flusso stabile in regime laminare. Una volta raggiunta la velocità critica si ha invece un moto instabile: il fluido è in una fase di transizione tra il moto laminare e il moto turbolento.

COEFFICIENTE DI PRESTAZIONE Il coefficiente di prestazione (traduzione dall'inglese coefficient of performance o COP) indica la quantità di calore immesso (riscaldamento) o asportato (raffreddamento) in un sistema rispetto al lavoro impiegato. È quindi un parametro che rappresenta la bontà di funzionamento di una macchina ma, a differenza del rendimento termodinamico, può essere maggiore dell'unità, poiché oltre ad avere la conversione del lavoro fornito in calore utile è presente in aggiunta anche un flusso di calore da una sorgente a dove questo calore è richiesto. 

Il COP di una pompa di calore è definito come il rapporto fra il calore somministrato alla sorgente a temperatura più alta e il lavoro speso per fare ciò:

|Q1|

COP pc =



|L|

Viceversa il COP di una macchina frigorifera è definito come il rapporto fra il calore sottratto alla sorgente a temperatura più bassa e il lavoro speso:

|Q 2 |

COPf =



|L|

Nell'ipotesi di ciclo di Carnot il COP ideale tra due sorgenti termiche a temperatura costante è esprimibile come funzione della sola temperatura delle sorgenti:

|Q 1 |

COPc =

T1 |Q1| = |L| |Q 1|−Q 0 T 1−T 0 =

DIFFUSIVITÀ TERMICA D  È una caratteristica intrinseca del corpo in quanto dipende esclusivamente da parametri relativi al materiale di cui è composto.  La diffusività termica può essere vista come il rapporto tra la capacità che ha un materiale di condurre energia termica (conducibilità l), e la sua capacità di accumulare energia (capacità termica volumica = ).

 Un alto valore di diffusività termica indica una veloce propagazione dell’energia termica, mentre un valore basso, indica che nel materiale è preponderante l’accumulo. D=

λ 2 [ m /s ] γρ

MURO DI FOURIER Consideriamo un mezzo solido seminfinito, costituito da un semispazio di materiale omogeneo e isotropo, delimitato da una superficie limite piana. Le proprietà termofisiche del mezzo, calore specifico γ, densità ρ, conducibilità termica λ, sono indipendenti dalla temperatura e dal tempo. Non siano presenti sviluppi interni di calore (H=0). Impostiamo un andamento nel tempo della temperatura sulla superficie limite T(0,) di tipo sinusoidale T m = valore medio temporale della temperatura sulla superficie limite; θ0 = semiampiezza dell'oscillazione sulla superficie

T ( 0 , τ ) =T m+θ 0 sen (ωτ )

limite; τ 0 = periodo dell'oscillazione;

ω=

2π τ 0 = pulsazione dell'oscillazione.

Inizialmente il mezzo si trovi ad una temperatura costante ed uniforme Tm, quindi sia sottoposto all'oscillazione di temperatura sulla faccia limite; esiste un transitorio iniziale, esaurito il quale si instaurano, in una generica sezione, cicli successivi di temperatura tra loro identici: il regime si dice permanente stabilizzato. Collochiamo l’origine dei tempi ad un istante tale che gli effetti del transitorio siano esauriti. Poiché la temperatura non dipende da y e z, e avendo ipotizzato l’assenza di sviluppo interno di calore, l’equazione di Fourier : λ γρ

[(

)

]

∂2 T ∂2 T ∂2 T H ∂ T + = + + λ ∂τ ∂ x2 ∂ y 2 ∂ z 2

diventa

D

2 ∂ T ∂T = 2 ∂τ ∂x

VISCOSITÀ La viscosità (μ) è quella proprietà della materia, che si riscontra particolarmente nei fenomeni di trasporto di un fluido, ossia allorquando le sue particelle incontrano resistenza nello scorrere le une rispetto alle altre. Dal punto di vista microscopico, la viscosità è una proprietà dipendente dall’entità delle forze di coesione interne del fluido, che sono più o meno rilevanti a seconda della sua tipologia e della temperatura. In particolare, nei liquidi la viscosità decresce all’aumentare della temperatura, mentre nei gas invece cresce (in condizioni isocore, cioè mantenendo il volume del gas invariato durante la variazione di temperatura). Lo studio del campo di moto dei fluidi riguarda sia le proprietà termofisiche che quelle comportamentali, pertanto, si differenziano in particolare: la viscosità cinematica e la viscosità dinamica. VISCOSITÀ DINAMICA Le proprietà termofisiche del campo di moto dei fluidi sono efficacemente descritte dalla cosiddetta viscosità dinamica. Questa proprietà fornisce indicazioni sullo stato di legame intermolecolare del fluido, il quale inoltre, risulta essere dipendente dalla temperatura; infatti:  nei liquidi all’aumentare della temperatura (e quindi dell’agitazione termica delle molecole) la viscosità dinamica diminuisce, in quanto i legami tra gli atomi tendono a sfaldarsi lasciando le particelle più libere di “vagare”;  gli aeriformi, all’aumentare della temperatura, hanno comportamento opposto a quello dei liquidi, ovvero, la viscosità dinamica tende ad aumentare a causa di un aumento della probabilità di collisione tra le molecole (molto più libere di muoversi e con un’energia cinetica maggiore dovuta all’agitazione termica). Questo comporta interazioni maggiori e pertanto è come se vi fossero dei “legami virtuali” che contribuiscono, appunto, all’aumento della viscosità dinamica. Pertanto, è possibile affermare che la viscosità dinamica descrive in che modo il fluido reagisce ad una azione esterna. Se infatti interponiamo un fluido tra due lastre

piane parallele ad una certa distanza ∆ y e facciamo scorrere con moto relativo la piastra superiore (tenendo ferma quella inferiore), lo sforzo tangenziale ad essa applicata è direttamente proporzionale alla velocità relativa ∆ u tra le due lastre. Da fatti sperimentali si è rilevato che il profilo di velocità varia linearmente dal valore u=0 in y=0 al valore u=∆ u in y=∆ y , in quando ogni strato di fluido parallelo alla lastra in movimento avrà interazioni sia con quello che lo precede che con quello che lo segue. A partire dal primo strato combaciante con la lastra e muoventesi solidale con essa, questo, per via delle interazioni molecolari con l’adiacente strato di fluido tenderà a trascinarlo, e quest’ultimo per contro tenderà a frenarlo e a trascinare a sua volta un altro strato di fluido sottostante. Questo fenomeno si ripete per tutti gli strati successivi del fluido fino ad arrivare a quota zero dove la velocità dell’ultimo strato di fluido sarà nulla (perché nulla è la velocità della lastra). Pertanto è possibile interpretare questo andamento lineare come il gradiente di velocità in direzione y : du dy

La presenza di un gradiente di velocità è determinata dalla viscosità dinamica del fluido che mostra la sua riluttanza a deformarsi quando sottoposto ad uno sforzo tangenziale. Quindi la viscosità dinamica è la grandezza fisica di proporzionalità tra causa ( τ = sforzo tangenziale) ed effetto (gradiente di velocità): τ =μ

du dy

Dalle considerazioni precedenti è possibile immaginare, dunque, che lo sforzo tangenziale viene man mano dissipato dall’azione di attrito tra gli strati di fluido nel verso del gradiente decrescente.

VISCOSITÀ CINEMATICA

La viscosità cinematica descrive le proprietà comportamentali dei fluidi. Questa grandezza fisica completa il quadro generale per lo studio del campo di moto di un fluido in movimento, in quanto introduce la caratteristica fondamentale comune a tutti i sistemi aventi massa: l’inerzia. Nella definizione di viscosità dinamica si è visto come un fluido sottoposto a sforzo tangenziale impedisce il libero scorrimento dei vari strati di fluido mediante l’azione frenante dell’attrito interno al fluido, prescindendo assolutamente dalla densità e quindi dalla massa. È evidente che ciò non è sufficiente a fare un bilancio in termini di rallentamento che non può essere motivato solamente dall’azione dell’attrito, dato che il fluido è dotato di massa. Quindi rapportando all’effetto della viscosità l’effetto della densità, ricavo la grandezza fisica viscosità cinematica: v=

μ ρ

che esprime quanto è possibile trasmettere in seno al fluido il moto o il non moto. Pertanto il fluido frena lo sforzo τ non perché è molto “viscoso dinamicamente” ma perché è molto “viscoso cinematicamente”.

LASTRA PIANA INDEFINITA Il problema di conduzione più semplice da risolvere è quello di una lastra di spessore s infinitamente estesa nelle direzioni y e z (che rappresenta quindi un sistema monodimensionale, dipendente solo dalla coordinata x), le cui facce sono costantemente mantenute alle temperature T1 e T2 (fig. 5). Il materiale di cui è costituita ammette una conducibilità termica l costante. Si vogliono determinare il profilo della temperatura all’interno della lastra T(x) (soluzione in regime stazionario) e il flusso termico specifico

fra le facce.

fig. 5 La condizione iniziale in cui si trova la lastra porta a formulare tre condizioni al contorno, delle quali due sono di carattere spaziale e una temporale. Volendo determinare il profilo di temperatura alla fine del transitorio, possiamo immediatamente scartare la condizione temporale T (t = 0) = TINIZ. Le due condizioni spaziali che prendiamo in considerazione sono: - sulla superficie interna: T (x = 0) = T1; - sulla superficie esterna: T (x = s) = T2. Supponendo T1>T2, avrò necessariamente un flusso di calore dalla superficie interna alla superficie esterna e sarà diretto nel verso positivo delle ascisse. La legge di Fourier, non avendo dipendenza dalle coordinate y e z, in questo caso diventa:

(7) abbiamo dunque una semplice equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili; moltiplicando entrambi i membri per dx otteniamo: (8) Prima di integrare è necessario osservare che l’ipotesi di stazionarietà porta necessariamente ad affermare che il flusso termico deve essere costante all’interno dell’intera sezione della lastra. Infatti, considerando uno strato infinitesimo di lastra di spessore dx, da un punto di vista energetico si ha che la differenza fra calore entrante e calore uscente dallo strato deve uguagliare la sua variazione di energia interna (ci riferiamo all’unità di superficie):

(9) Ma, siccome la variazione di energia interna d U è direttamente proporzionale alla variazione di temperatura dT dello strato, e per l’ipotesi di stazionarietà ho d T=0 (altrimenti mi troverei ancora in regime transitorio), ottengo: (10) dove M = rdx è la massa dello strato e C il suo calore specifico. Allora necessariamente deve valere: (11) e, dal momento che lo strato è stato preso arbitrariamente all’interno della lastra, si può affermare che è costante nell’intero spessore della lastra. Dunque integrando l’equazione (8) e portando i termini costanti integrali otteniamo:

e l fuori dagli

(12) ossia:

®

(13)

Abbiamo così trovato l’espressione della densità di flusso termico cercata. Per calcolare il profilo do temperatura, integriamo nuovamente la (8), ora però fra 0 e una generica ascissa x interna alla lastra in dx e fra T1 e la generica T(x) in dT:

(14) Sostituendo a l’espressione appena ricavata e risolvendo, abbiamo:

®

(15)

Si può subito notare che la relazione che esprime il profilo di temperatura a regime è una relazione lineare, quindi, sul piano cartesiano (x, T) la T(x) è una retta passante per i punti (0,T1) e (s,T2). STRATO CILINDRICO Servendoci della legge di Fourier e del concetto di resistenza termica, andiamo ora a trattare due casi in cui la geometria si fa leggermente più complessa degli esempi già visti. Consideriamo uno strato cilindrico avente raggio interno R1, raggio esterno R2 e lunghezza L (fig. 11).

fig. 11

La superficie interna (di raggio R1) e la superficie esterna (di raggio R2) si trovano rispettivamente alle temperature T1 e T2 e il cilindro ha un coefficiente di conduttività l. Bisogna innanzitutto osservare che in questo caso, nell’espressione della legge di Fourier:

(33) la densità di flusso termico non è più una costante come negli esempi precedenti, ma diminuisce con l’aumentare del raggio: . Infatti, man mano che mi allontano dall’asse del cilindro, aumenta la superficie su cui va a distribuirsi la medesima quantità di energia termica, dunque il flusso specifico diminuisce. Adesso abbiamo: (34)

ossia si mantiene costante il flusso termico . Quindi, considerando uno strato cilindrico infinitesimo di spessore dr, avente raggio interno ed esterno rispettivamente r e r+dr, si ha che: (35) Indichiamo con S una generica superficie cilindrica di raggio r interna allo strato: (36) Il flusso termico complessivo che la attraversa è:

(37) Abbiamo così una semplice equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili. Dopo aver moltiplicato entrambi i membri per dr/r, integriamo portando fuori dagli integrali i termini cosanti:

(38) da cui:

(39) Allora il flusso termico complessivo nello strato cilindrico ha espressione:

(40)

Si può notare che anche in questo caso abbiamo ottenuto una relazione lineare, come nel caso della lastra piana indefinita. Possiamo calcolare la resistenza termica dello strato cilindrico:

(41) SFERA CAVA Consideriamo ora una sfera cava avente la superficie interna (di raggio R1), alla temperatura T1 e la superficie esterna (di raggio R2) alla temperatura T2 (fig. 14). Il materiale di cui è costituita la sfera cava ha un coefficiente di conducibilità termica l.

fig. 14 Come nell’esempio dello strato cilindrico, anche in questo caso non è a mantenersi costante all’interno della sfera cava (anche ora diminuisce all’aumentare del raggio), ma la grandezza costante è il flusso di calore La sua espressione è:

.

(55) dove S è la generica superficie sferica di raggio r. Sostituendo a la sua espressione data dalla legge di Fourier, otteniamo:

(56)

Abbiamo così la solita equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili. Moltiplichiamo entrambi i membri per dr/r2 ed integriamo portando fuori dagli integrali i termini costanti:

(57) ossia:

(58) da cui possiamo ricavare l’espressione della potenza totale scambiata:

(59) La resistenza termica associata alla sfera cava ha espressione:

(60) POMPA DI CIRCOLAZIONE La pompa di circolazione è uno dei componenti più importanti dell'impianto di riscaldamento. La sua funzione consiste nel spingere l'acqua calda nell'impianto di riscaldamento e, una volta raffreddata, nel ricondurla al generatore termico. La pompa di circolazione è pertanto indispensabile per avere una temperatura gradevole all'interno di un'abitazione. VALVOLA DI LAMINAZIONE La valvola di laminazione è un organo statico che rende possibile l'espansione irreversibile in cui l'entalpia iniziale è uguale a quella finale (nonostante ciò non si può considerare un processo isoentalpico poiché l'entalpia non è costante in ogni istante), in grado di raffreddare il refrigerante in una macchina frigorifera. Si tratta quindi di un organo di strozzamento che degrada l'energia di pressione in attrito. In un impianto di refrigerazione o condizionamento è posta a monte dell'evaporatore.

LAMINAZIONE TURBINE A GAS E VAPORE La laminazione del flusso di vapore viene effettuata mediante la valvola di laminazione. Essa realizza una trasformazione, dapprima isoentalpica diminuendo la pressione del vapore, che poi viene convogliato mediante un restringimento di sezione regolabile tale per cui la portata massica sia quella richiesta. Questo passaggio forzato implica anche una variazione di entalpia del flusso di vapore, oltre alla variazione di portata. Dal momento che la velocità periferica degli elementi rotanti (prim...