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Test su limiti e continuit` a 1. Sia f : IR → IR tale che lim f (x) = 8. Allora necessariamente: x→−3

(a) ∀B > 0, ∃A > 0 : 0 < |x + 3| < B =⇒ |f (x) − 8| < A

(b) ∀A > 0, ∃B > 0 : 0 < |x + 3| < B =⇒ |f (x) − 8| < A (c) se |x + 3| < δ allora |f (x) − 8| < ǫ

(d) f (x) > 0, ∀x > −3

2. Sia f : IR → IR una funzione continua tale che f (7) = −3. Allora necessariamente: (a) f (x) ≤ 0 per ogni x ∈ IR

(b) esiste x > 7 tale che f (x) < 0 (c) non esiste x < 7 tale che f (x) < 0 (d) f (x) = −3 per ogni x ∈ IR 3. Sia f : IR → IR tale che lim f (x) = +∞, questo vuol dire che: x→0

(a) ∀A > 0, ∃B > 0 : 0 < |x| < B =⇒ |f (x)| < A

(b) ∀M > 0, ∃δ > 0 tale che f (x) > M =⇒ 0 < |x| < δ (c) ∃M > 0, ∀B > 0 : 0 < |x| < B =⇒ f (x) > M

(d) ∀A > 0, ∃B > 0 : 0 < |x| < B =⇒ f (x) > A

4. L’affermazione ”f (x) `e continua in x0 ∈ dom f ” significa che: (a) ∀δ > 0 ∃ǫ > 0 tale che se x ∈domf , |x − x0 | < ǫ allora |f (x) − f (x0 )| < δ

(b) limx→x0 − f (x) = limx→x0 + f (x)

(c) ∀ǫ > 0 ∃δ > 0 tale che se x ∈domf , |x − x0 | < ǫ allora |f (x) − f (x0 )| < δ

(d) ∃δ > 0 tale che ∀ǫ > 0, se x ∈domf , |x − x0 | < δ allora |f (x) − f (x0 )| < ǫ 5. Sia f : IR → IR tale che ∀ǫ > 0, ∃K > 0 tale che ∀x ∈ (7 − K, 7) risulta f (x) < −ǫ. Allora, sicuramente: (a) lim f (x) = 0 x→7

(b) lim f (x) = 0 x→7−

(c) lim f (x) = −∞ − x→7

(d) lim f (x) = ∞ x→7

6. Il prodotto delle funzioni

√ x e log x per x → 0

(a) tende a zero (b) tende a 1 (c) tende a −∞

(d) non esiste il limite per x → 0 7. Il rapporto tra le funzioni (a) tende a zero (b) tende a 1 (c) tende a +∞ (d) `e limitato

√ x e log x per x → +∞

8. La funzione

√ √ x − x + 1 per x → +∞

(a) tende a −1 (b) tende a 0

(c) il limite `e indeterminato (d) tende a +∞

9. lim M (1 − x2 ) x→0

(a) non esiste (b) vale 1 (c) vale 0 (d) `e uguale a M( lim (1 − x2 )) x→0

10. Siano f1 (x), f2 (x) due funzioni tali che lim f1 (x) + f2 (x) = 3. Allora: x→+∞

(a) limx→+∞ f1 (x) = 1 e limx→+∞ f1 (x) = 2 o viceversa. (b) ∃x0 tale che sia f1 (x) che f2 (x) sono limitate nell’intervallo [x0 , +∞) (c) ∃x0 : ∀x > x0 ∃i ∈ 1, 2 : fi (x) > 0

(d) I limiti per x → +∞ di f1 (x) e f2 (x) esistnono finiti.

11. Data la funzione reale di variabile reale y = f (x). se 2 + sin x ≤ f (x) ≤ 4 + sin x per ogni x ∈ IR, allora: (a) il limite di f (x) per x → +∞ non esiste (b) f (x) `e periodica

(c) f (x) > 0 per ogni x ∈ IR (d) limx→+∞ f (x) = 3

12. L’immagine della funzione f (x) =

−2x3 + x + 1 `e: 2x2 + 1

(a) (0, +∞) (b) IR (c) (−∞, 0) (d) (−1, 1)

13. La funzione f : IR → IR, f (x) = (a) se α = π



2 arctan(log(x)) per x > 0   `e continua: e x x3 + α per x ≤ 0

(b) se α = −π

(c) se α = 1

(d) se α = −1 √ 1 − 9x2 + 6α(x + 1)) per x ≤ 0 14. Data la funzione f (x) = con α ∈ IR, allora: per x > 0 x2 sin x12 + 3x − 5 (a) non esiste alcun valore di α per cui f sia continua nel suo dominio (b) esistono infiniti valori di α per cui f `e continua nel suo dominio (c) f `e continua nel suo dominio se α = −1 (d) f `e continua nel suo dominio se α = 0

Risposte 1. (b) 2. (b) 3. (d) 4. (a) 5. (c) 6. (d) 7. (c) 8. (b) 9. (b) 10. (c) 11. (c) 12. (b) 13. (b) 14. (c)...