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Metodos Matemáticos para física da graduação, com funções especiais...

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FFI 112: Física Matemática I Material Didático # 9 .......... 27-06-14

Funções de Bessel Gabriela Arthuzo

1. Expressão geral A função: 𝑥

𝑔 𝑥, 𝑡 = 𝑒 2

1 𝑡− 𝑡

é chamada função geratriz das funções de Bessel. Vamos expandi-la em uma série de Laurent para acharmos a expressão geral das funções de Bessel (𝐽𝑛 𝑥 ). 𝑔 𝑥, 𝑡 =

1 𝑥 𝑡− 𝑒2 𝑡

=

∞

𝐽𝑛 (𝑥)𝑡 𝑛

(1)

𝑛 =−∞

Sabemos que: 𝑒𝑥

=

∞

𝑥𝑛

𝑛 =0

𝑛!

Aplicando esse resultado à função geratriz: 𝑔 𝑥, 𝑡 =

𝑥𝑡 𝑒2

𝑥 𝑒 −2𝑡

=

∞

𝑥

𝑟=0

𝑟

2

∞

𝑡 𝑟 (−1)𝑠 𝑥 𝑠 𝑡 −𝑠 2𝑠 𝑠! 𝑟! 𝑠=0

=

∞

∞

(−1)𝑠

𝑟=0 𝑠=0

𝑥

2

𝑟+𝑠 𝑡 𝑟−𝑠

𝑟! 𝑠!

Definimos: 𝑛 =𝑟−𝑠 ⇒ 𝑟 =𝑛+𝑠 Assim temos: 𝑔 𝑥, 𝑡 =

∞

∞

(−1)𝑠 𝑥 𝑛 + 𝑠 ! 𝑠! 2

𝑛 =−∞ 𝑠=0

𝑛 +2𝑠

𝑡𝑛

(2)

Comparando (1) e (2):

1

∞

𝐽𝑛 𝑥 =

(−1)𝑠 𝑛 + 𝑠 ! 𝑠! 𝑥 2

𝑛 +2𝑠

(3)

𝑠=0 Essa é a expressão geral das funções de Bessel.

A seguir temos um esboço das funções de Bessel para 𝑛 = 0 até 5.

Figura 1: Funções de Bessel.

2. Propriedade Trocando (𝑛) por (−𝑛) na equação (3): 𝐽−𝑛 𝑥 =

∞ 𝑠=0

𝑥 (−1)𝑠 𝑠 − 𝑛 ! 𝑠! 2

2𝑠−𝑛

(4)

Definimos: 𝑠 = 𝑠′ + 𝑛

(5)

Substituímos (5) em (4): 𝐽−𝑛 𝑥 =

∞

(−1)𝑠 +𝑛 𝑥 ′ ′ 𝑠 ! 𝑠 +𝑛 ! 2 ′

𝑠′ =0

𝑛 +2𝑠′

(6)

Comparando (3) e (6), vemos que: 𝐽−𝑛 𝑥 = −1 𝑛 𝐽𝑛 (𝑥)

2

3. Representação integral Tomamos a função geratriz 𝑔 𝑥, 𝑡 , dividimos por 𝑡 𝑛 +1 e integramos: 𝐶

𝐶

𝑒

𝑥

𝑔 𝑥, 𝑡

𝑑𝑡 =

𝑡 𝑛 +1

1 2 𝑡− 𝑡

𝐶

𝑒

𝑥

1 2 𝑡− 𝑡

𝑑𝑡 =

𝑡 𝑛 +1

∞

𝐽𝑚 (𝑥)𝑡 𝑚 −𝑛−1 𝑑𝑡

𝐶 𝑚=−∞

𝑑𝑡 = 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 = 2𝜋𝑖𝑅𝑒𝑠 𝑔 𝑡 , 𝑡 = 0 = 2𝜋𝑖𝐽𝑛 (𝑥)

𝑡 𝑛 +1

𝐶

𝑥

𝑡− 1 𝑒 2 𝑡 𝑑𝑡 ⇒ 𝐽𝑛 𝑥 = 2𝜋𝑖 𝑡 𝑛 +1 1

𝐶

Fazemos a substituição: 𝑡 = 𝑒 𝑖𝜃 ⇒ 𝑑𝑡 = 𝑖𝑒 𝑖𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 𝑥 (𝑒 𝑖𝜃 −𝑒 −𝑖𝜃 )

𝑒 2 1 𝐽𝑛 𝑥 = 2𝜋𝑖 𝑒 𝑖𝜃 (𝑛 +1) 0

2𝜋

1 𝑒 𝑖(𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑛𝜃 ) 𝑑𝜃 𝑖𝑒 𝑑𝜃 = 2𝜋 𝑖𝜃

0

Parte real: 𝜋

2𝜋

1 1 𝐽𝑛 𝑥 = cos 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑛𝜃 𝑑𝜃 = cos 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑛𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 𝜋 0

0

4. Relações de recorrência Para a primeira relação de recorrência, derivamos a função geratriz em relação a 𝑡. 𝜕𝑔 𝑥, 𝑡 = 𝜕𝑡

𝑥

𝜕 𝑒 2 𝑡− 𝑡 1

𝜕𝑡

=

𝑥 1 𝑒 2 𝑡− 𝑡

1 1 1 𝑥 𝑥 𝑥 1 + 2 = 𝑔 𝑥, 𝑡 1+ 2 = 1+ 2 2 2 𝑡 2 𝑡 𝑡

𝜕𝑔 𝑥, 𝑡 = 𝜕𝑡

𝑥 1 ⇒ 1+ 2 2 𝑡

∞

𝑥

𝑛 =−∞

2

∞

∞

𝑛 =−∞

𝑛 =−∞

𝐽𝑛 (𝑥)𝑡 𝑛 +

𝑥

𝑛 =−∞

𝐽𝑛 (𝑥)𝑡 𝑛

𝑛=−∞

𝐽𝑛 (𝑥)𝑛𝑡 𝑛 −1

𝐽𝑛 (𝑥)𝑡 𝑛 ∞

∞

2

=

∞

𝐽𝑛 (𝑥)𝑛𝑡 𝑛 −1

𝑛 =−∞

𝐽𝑛 (𝑥)𝑡 𝑛−2 =

∞

𝐽𝑛 (𝑥)𝑛𝑡 𝑛−1

𝑛 =−∞

(7)

Manipulando a equação (7), deixando todos os somatórios com 𝑡 𝑛 −1 :

3

∞

𝑥

2

𝑛 =−∞

∞

𝐽𝑛−1 (𝑥)𝑡 𝑛−1

𝑥 2 𝐽𝑛 +1 (𝑥)𝑡

∞

𝑛−1

= 𝑛 =−∞ 𝐽𝑛 (𝑥 )𝑛𝑡 𝑛−1 + 𝑛 =−∞ 𝑥 𝑥𝐽 ⇒ 𝐽 𝑥 = 𝐽𝑛 𝑥 𝑛 𝑛−1 𝑥 + 2 𝑛 +1 2

Multiplicamos a equação (8) por 𝐽𝑛−1 𝑥 + 𝐽𝑛 +1 𝑥 =

2 𝑥 2𝑛 𝑥

(8)

: 𝐽𝑛 (𝑥)

(9)

(primeira relação de recorrência)

Para a segunda relação de recorrência, derivamos a função geratriz em relação a 𝑥. 𝜕𝑔 𝑥, 𝑡 = 𝜕𝑥

𝜕 𝑒

𝑥 1 2 𝑡− 𝑡

𝜕𝑥

∞

=

𝑥 𝑡−1 𝑒2 𝑡

1 1 1 1 1 1 = 𝑡− 𝑡− 𝑡 − = 𝑔 𝑥, 𝑡 𝑡 2 𝑡 2 2 𝑡

𝜕𝑔 𝑥, 𝑡 = 𝜕𝑥 1 1 ⇒ 𝑡− 2 𝑡

1

𝑛 =−∞

2

𝐽𝑛 𝑥 𝑡

𝑛 +1

−

∞

𝐽𝑛

∞

𝐽𝑛

𝑛 =−∞

(𝑥 )𝑡 𝑛

1

𝑛 =−∞

2

𝐽𝑛

𝐽𝑛 (𝑥)𝑡 𝑛

𝑛=−∞

(𝑥 )𝑡 𝑛

=

𝑛 =−∞ ∞

′

∞

∞

𝐽𝑛

′

𝑛 =−∞

(𝑥)𝑡 𝑛−1

=

(𝑥)𝑡 𝑛

∞

𝐽𝑛

𝑛 =−∞

′

(𝑥)𝑡 𝑛

(10)

Manipulando a equação (10), deixando todos os somatórios com 𝑡 𝑛 : ∞

1

𝑛 =−∞

2

𝐽𝑛−1 𝑥 𝑡 𝑛 −

∞

1

𝑛 =−∞

2

⇒ 𝐽𝑛−1 𝑥 − 𝐽𝑛 +1 𝑥 = 2𝐽𝑛′ (𝑥)

𝐽𝑛 +1 (𝑥)𝑡 𝑛 =

∞

𝐽𝑛

𝑛 =−∞

′

(𝑥)𝑡 𝑛

(segunda relação de recorrência)

(11)

Podemos somar as relações de recorrência e obter uma nova relação: 𝑛

𝐽𝑛−1 𝑥 = 𝑥 𝐽𝑛 𝑥 + 𝐽𝑛′ 𝑥

(12)

Subtraindo as relações de recorrência obtemos: 𝐽𝑛 +1 𝑥 =

𝑛 𝐽 𝑥 − 𝐽𝑛′ 𝑥 𝑥 𝑛

(13)

5. Equação diferencial Fazemos a mudança 𝐽𝑛 𝑥 → 𝑍𝑣 𝑥 e 𝑛 → 𝑣 na equação (12): 4

𝑍𝑣−1

Multiplicando a equação (14) por 𝑥 :

′ 𝑥 𝑣 𝑥 + 𝑍 𝑍 𝑣 𝑣 𝑥 = 𝑥

𝑥𝑍𝑣−1 𝑥 = 𝑣𝑍𝑣 𝑥 + 𝑥𝑍𝑣′ 𝑥

Derivamos a equação (15) em relação a 𝑥 :

(14)

(15)

′ 𝑥𝑍𝑣−1 (𝑥) + 𝑍𝑣−1 (𝑥) = 𝑣𝑍′𝑣(𝑥) + 𝑥𝑍𝑣′′ (𝑥) + 𝑍𝑣′ (𝑥)

(16)

′ 𝑥 2 𝑍𝑣−1 (𝑥) + 𝑥𝑍𝑣−1 (𝑥) = 𝑣𝑥𝑍′𝑣(𝑥) + 𝑥 2 𝑍𝑣′′ (𝑥) + 𝑥𝑍𝑣′(𝑥)

(17)

𝑣𝑥𝑍𝑣−1 𝑥 = 𝑣 2 𝑍𝑣 𝑥 + 𝑣𝑥𝑍𝑣′ 𝑥

(18)

Multiplicando a equação (16) por 𝑥 : Multiplicando a equação 15 por 𝑣: Fazendo 17 − (18):

′ 𝑥 ]=0 𝑥 2 𝑍′′𝑣 𝑥 + 𝑥𝑍𝑣′ 𝑥 − 𝑣 2 𝑍𝑣 𝑥 + 𝑥[ 𝑣 − 1 𝑍𝑣−1 𝑥 − 𝑥𝑍𝑣−1

(19)

Fazemos a mudança 𝐽𝑛 𝑥 → 𝑍𝑣−1 𝑥 e 𝑛 → 𝑣 − 1 na equação (13): 𝑍𝑣 𝑥 =

(𝑣 − 1) ′ 𝑍𝑣−1 𝑥 − 𝑍𝑣−1 𝑥 𝑥

(20)

Multiplicando a equação (20) por 𝑥 :

′ 𝑥𝑍𝑣 𝑥 = 𝑣 − 1 𝑍𝑣−1 𝑥 − 𝑥𝑍𝑣−1 𝑥

(21)

Substituindo a equação (21) na equação (19), temos: 𝑥 2 𝑍𝑣′′ 𝑥 + 𝑥𝑍𝑣′ 𝑥 − 𝑣 2 𝑍𝑣 𝑥 + 𝑥 2 𝑍𝑣 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 2 𝑍𝑣′′ 𝑥 + 𝑥𝑍𝑣′ 𝑥 + 𝑥 2 − 𝑣 2 𝑍𝑣 𝑥 = 0

(22)

A equação (22) é a equação diferencial de Bessel. Podemos transformar a equação diferencial (22) em outra equação. Fazemos a mudança 𝑍𝑣 𝑥 → 𝑢(𝑥) na equação 22 . 𝑥2

Primeira mudança:

𝑑 2 𝑢(𝑥) 𝑑𝑢(𝑥) + 𝑥2 − 𝑣2 𝑢 𝑥 = 0 + 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 𝑥 = 𝑧𝛽

(23)

(24)

5

𝑑

1 = 𝑑𝑧 𝑑 𝑑 𝑑𝑧 𝑑𝑥 ⇒ = 𝛽 𝑑𝑥 𝑑𝑧 Substituímos as equações (24) e (25) na equação (23): 𝑧2

(25)

𝑑 2 𝑢(𝑧) 𝑑𝑢(𝑧) + 𝑧 2 𝛽2 − 𝑣 2 𝑢 𝑧 = 0 +𝑧 2 𝑑𝑧 𝑑𝑧

⇒𝑧

Segunda mudança:

𝑑 𝑑𝑢 𝑧 + 𝑧 2 𝛽2 − 𝑣 2 𝑢 𝑧 = 0 𝑑𝑧 𝑑𝑧

⇒ 𝑧

𝑧 = 𝜉𝛾

(26)

(27)

𝑑 𝑑 𝑑𝜉 𝜉 𝑑 = 𝜉𝛾 = 𝑑𝑧 𝑑𝜉 𝑑𝑧 𝛾 𝑑𝜉

(28)

Substituímos as equações (27) e (28) na equação (26):

𝜉 𝑑 𝜉 𝑑𝑢 + 𝜉 2𝛾 𝛽 2 − 𝑣 2 𝑢 𝜉 = 0 𝛾 𝑑𝜉 𝛾 𝑑𝜉

(29)

𝑑 𝑑𝑢 + (𝜉 𝛾 𝛽𝛾)2 − (𝑣𝛾)2 𝑢 𝜉 = 0 𝜉 𝑑𝜉 𝑑𝜉

(30)

Multiplicamos a equação (29) por 𝛾 2 : 𝜉

Terceira mudança: 𝑢 = 𝑦𝜉 −𝛼 Calculamos a derivada: 𝜉

⇒ 𝜉

𝑑𝑢 𝑑(𝑦𝜉 −𝛼 ) = 𝑦′𝜉1−𝛼 − 𝛼𝑦𝜉 −𝛼 =𝜉 𝑑𝜉 𝑑𝜉

𝑑 𝑑𝑢 𝑑 𝜉 =𝜉 𝑦′𝜉1−𝛼 − 𝛼𝑦𝜉 −𝛼 = 𝑦 ′′ 𝜉 2−𝛼 + 1 − 2𝛼 𝑦 ′ 𝜉1−𝛼 + 𝛼 2 𝑦𝜉 −𝛼 (31) 𝑑𝜉 𝑑𝜉 𝑑𝜉

Substituímos a equação (31) na equação (30) e dividimos por 𝜉 2−𝛼 : 𝑦 ′′ +

Sabemos que

𝑢 (𝜉) 𝜉 −𝛼

(𝜉 𝛽𝛾) − (𝑣𝛾) 𝑢 𝜉 1 − 2𝛼 𝑦 ′ 𝛼 2 𝑦 =0 + 2 + 𝜉 𝜉 𝜉2 𝜉−𝛼 𝛾

2

2

(32)

= 𝑦(𝜉). Substituímos isso na equação (32):

𝑑 2 𝑦 1 − 2𝛼 𝑑𝑦 𝛼 2 − 𝑣𝛾 + + 𝑑𝜉 2 𝜉2 𝜉 𝑑𝜉

2

+ (𝜉𝛾−1 𝛽𝛾)2 𝑦 𝜉 = 0

(33)

6

A equação (33) é a equação de Bessel transformada, cuja solução é: 𝑦 𝜉 = 𝜉 𝛼 𝑍𝑣 (𝛽𝜉 𝛾 ) Este resultado é aplicado quando é dada uma EDO cuja solução queremos saber. Então comparamos a EDO dada com a EDO da equação (33) e identificamos 𝛼, 𝛽, 𝛾 e 𝑣. 6. Ortogonalidade Vamos provar a ortogonalidade das funções de Bessel: 1

0

𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝜇𝑥 𝑑𝑥 = 0

(𝜆 ≠ 𝜇)

𝜆 e 𝜇 são raízes; 𝐽𝑛 𝜆𝑥 e 𝐽𝑛 𝜇𝑥 são soluções da equação de Bessel. Através da EDO de Bessel, 𝑥 2 𝐽𝑛′′ 𝑥 + 𝑥𝐽𝑛′ 𝑥 + 𝑥 2 − 𝑛 2 𝐽𝑛 𝑥 = 0 podemos escrever: 𝑥 2 𝐽′′𝑛 𝜆𝑥 + 𝑥𝐽𝑛′ 𝜆𝑥 + 𝜆2 𝑥 2 − 𝑛2 𝐽𝑛 𝜆𝑥 = 0

𝑥 2 𝐽𝑛′′ 𝜇𝑥 + 𝑥𝐽𝑛′ 𝜇𝑥 + 𝜇2 𝑥 2 − 𝑛 2 𝐽𝑛 𝜇𝑥 = 0

(34) (35)

Escrevemos as equações (34) e (35) na forma: 34 ⇒ 𝑥 35 ⇒ 𝑥

𝑑 𝑑𝐽𝑛 𝜆𝑥 + 𝜆2 𝑥 2 − 𝑛 2 𝐽𝑛 𝜆𝑥 = 0 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑 𝑑𝐽𝑛 𝜇𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

+ 𝜇2 𝑥 2 − 𝑛2 𝐽𝑛 𝜇𝑥 = 0

(36)

(37)

Multiplicamos (36) por 𝐽𝑛 𝜇𝑥 , (37) por 𝐽𝑛 𝜆𝑥 e dividimos por 𝑥: 𝐽𝑛 𝜇𝑥

𝐽𝑛 𝜆𝑥

Fazemos 38 − (39):

1 2 2 𝑑 𝑑𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝜆 𝑥 − 𝑛 2 𝐽𝑛 𝜇𝑥 𝐽𝑛 𝜆𝑥 = 0 + 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑 𝑑𝐽𝑛 𝜇𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

+

1 2 2 𝜇 𝑥 − 𝑛2 𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝜇𝑥 = 0 𝑥

(38)

(39)

7

𝑑

𝑑 𝑑𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝑑𝐽𝑛 𝜇𝑥 + 𝑥 𝜆2 − 𝜇 2 𝐽𝑛 𝜇𝑥 𝐽𝑛 𝜆𝑥 = 0 − 𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 𝑑 𝑑𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝑑𝐽 𝜇𝑥 + 𝑥 𝜆2 − 𝜇2 𝐽 ⇒ 𝑛 𝜇𝑥 𝐽𝑛 𝜆𝑥 = 𝐴 = 0 (40) − 𝑥𝐽𝑛 𝜇𝑥 𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝑛𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝐽𝑛 𝜇𝑥

𝑥

Integramos a equação (40): 1

0

𝐴 𝑑𝑥 = 𝐽𝑛 𝜇

𝐽𝑛′

𝜆 −

𝐽𝑛′

𝜇 𝐽𝑛 𝜆 + 𝜆 − 𝜇

Como 𝜆 e 𝜇 são raízes:

2

1

𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝜇𝑥 𝑑𝑥 = 0

2

0

𝐽𝑛 𝜇 𝐽𝑛′ 𝜆 = 0

e 𝐽𝑛′ 𝜇 𝐽𝑛 𝜆 = 0

Assim para 𝜆 ≠ 𝜇:

1

0

𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝜇𝑥 𝑑𝑥 = 0

7. Norma Dividimos a equação (36) por 𝑥 :

𝑑𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝑑 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

+ 𝜆2 𝑥 −

𝑛2 𝐽 𝜆𝑥 = 0 𝑥 𝑛

(41)

𝑑 𝑑𝐽𝑛 𝑘𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

+ 𝑘2 𝑥 −

𝑛2 𝐽 𝑘𝑥 = 0 𝑥 𝑛

(42)

Sendo 𝜆 uma raiz. Com 𝑘 arbitrária temos:

Multiplicamos a equação 41 por 𝐽𝑛 𝑘𝑥 e a equação (42) por 𝐽𝑛 𝜆𝑥 e fazemos 41 − (42): 𝐵 = 𝐽𝑛 𝑘𝑥

𝑑 𝑑 𝑑𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝑑𝐽𝑛 𝑘𝑥 − 𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

= 𝑘 2 − 𝜆2 𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝑘𝑥

(43)

Integramos a equação 43 :

8

𝑎

𝐵

′

𝑑𝑥 = 𝐽𝑛 𝑘𝑎 𝑎𝜆𝐽𝑛

𝜆𝑎 é raiz ⇒ 𝐽𝑛 𝜆𝑎 = 0 0

⇒ 𝐽𝑛 𝑘𝑎

𝜆𝑎 − 𝐽𝑛 𝜆𝑎 𝑎𝐽𝑛′ 𝑘𝑎 =

𝑎𝜆𝐽𝑛′

Derivando a equação (44) em 𝑘: 𝑑𝐽𝑛 𝑘𝑎 ′ 𝜆𝐽𝑛 𝜆𝑎 = 𝑎2 𝑑𝑥

Fazemos 𝑘 = 𝜆:

𝜆𝑎 =

𝑎 0

𝑎 0

𝑘 2 − 𝜆2 𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝑘𝑥 𝑑𝑥

𝑘2 − 𝜆2 𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝑘𝑥 𝑑𝑥

𝑎

0

2𝑘𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝑘𝑥 + 𝑘 2 − 𝜆2 𝑥 2

𝑎2 𝜆𝐽𝑛′ ⇒

𝜆𝑎

2

𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝑑𝑥

𝑎

= 2𝜆 𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 2 𝑑𝑥

𝑎 0

𝑑𝐽𝑛 𝑘𝑥 𝑑𝑥

(44)

0

𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 2 𝑑𝑥 =

𝑎2 ′ 𝐽 𝜆𝑎 2 𝑛

2

(45)

Da equação (13), sabemos que: 𝐽𝑛′ 𝜆𝑎 = −𝐽𝑛 +1 𝜆𝑎

(46)

Substituindo a equação (46) na equação (45): 𝑎 0

𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 2 𝑑𝑥 =

𝑎2 𝐽 (𝜆𝑎)2 2 𝑛 +1

8. Membrana circular

Figura 2: Membrana circular.

9

No problema da membrana circular, iremos determinar 𝑧, sendo 𝑧 = 𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑡), com 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑎 e 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋. Utilizaremos a equação de onda: 1 𝜕2𝑧 = 𝛻2 𝑧 2 2 𝜕𝑡 𝑐 𝑐=

⇒𝜌 As condições de contorno são:

𝑇 𝜌

𝜕2𝑧 = 𝑇𝛻 2 𝑧 𝜕𝑡 2

(47)

𝐶𝐶1: 𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑡) é finito

𝐶𝐶2: 𝑧 𝑎, 𝜃, 𝑡 = 0

𝐶𝐶3: 𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑡) é periódica em 𝜃, com período = 2𝜋 As condições iniciais são: 𝑧 𝑟, 𝜃, 0 = 𝑓(𝑟, 𝜃)

𝑧 𝑟, 𝜃, 0 = 𝑣(𝑟, 𝜃)

Vamos procurar vibrações harmônicas: 𝑧 𝑟, 𝜃, 𝑡 = 𝐹 𝑟, 𝜃 cos 𝜔𝑡

(48)

Laplaciano em coordenadas polares: 𝛻 2 𝑢 𝑟, 𝜃 =

1 𝜕 𝜕𝑢 1 𝜕2𝑢 + 2 2 𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃

⇒ 𝛻2 𝑢 𝑟, 𝜃 =

𝜕 2 𝑢 1 𝜕𝑢 1 𝜕 2 𝑢 + + 𝜕𝑟 2 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 2 𝜕𝜃 2

Assim, substituindo a equação (48) na equação (47) temos:

1 𝜕2 1𝜕 𝜕2 𝜌 2 + + 𝜔 𝐹 𝑟, 𝜃 cos 𝜔𝑡 𝐹 𝑟, 𝜃 cos 𝜔𝑡 = − 2 𝜕𝑟 𝑇 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 2 𝜕𝜃 2 ⇒

Separação de variáveis:

𝜕 2 𝐹 1 𝜕𝐹 1 𝜕 2 𝐹 𝜌 + 2 2 = − 𝜔2 𝐹 + 2 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑇

(49)

10

𝐹 𝑟, 𝜃 = 𝑅 𝑟 Θ 𝜃

(50)

Substituímos a equação (50) na equação (49): Θ𝜃

2 𝑑 2 𝑅(𝑟) 1 1 + Θ 𝜃 𝑑𝑅(𝑟) + 𝑅 𝑟 𝑑 Θ 𝜃 = − 𝜌 𝜔2 𝑅 𝑟 Θ 𝜃 2 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑇 𝑑𝜃 2 𝑟 𝑟2

(51)

Dividimos a equação (51) por 𝑅 𝑟 Θ 𝜃 e multiplicamos por 𝑟 2 :

r 2 𝑑 2 𝑅(𝑟) 1 𝑑2 Θ 𝜃 𝑟 𝑑𝑅(𝑟) 𝑟 2 𝜌𝜔2 + + + =0 𝑇 Θ 𝜃 𝑑𝜃 2 R(r) 𝑑𝑟 2 𝑅(𝑟) 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝑅(𝑟) 𝑟 2 𝜌𝜔2 r 2 𝑑 2 𝑅(𝑟) + + ⇒ =𝑚 R(r) 𝑑𝑟 2 𝑅(𝑟) 𝑑𝑟 𝑇 ⇒

1 𝑑2 Θ 𝜃 = −𝑚 Θ 𝜃 𝑑𝜃 2

Definimos: 𝑘2 = EDO radial: 𝑟2

𝜌𝜔2 𝑇

𝑑 2 𝑅(𝑟) 𝑑𝑅(𝑟) +𝑟 + 𝑘2 𝑟 2 − 𝑚 𝑅 𝑟 = 0 2 𝑑𝑟 𝑑𝑟

(52)

Notamos a semelhança da equação (52) com a equação diferencial de Bessel, equação (22). EDO angular:

Solução da EDO radial: Definimos 𝑚 = 𝑛2

⇒ 𝑟2

𝑑2 Θ 𝜃 = −𝑚Θ 𝜃 𝑑𝜃 2

𝑑 2 𝑅(𝑟) 𝑑𝑅(𝑟) +𝑟 + 𝑘 2 𝑟 2 − 𝑛2 𝑅 𝑟 = 0 2 𝑑𝑟 𝑑𝑟

A equação anterior é uma EDO de Bessel na variável 𝑘𝑟, cuja solução é: 𝑅𝑛 (𝑟) = 𝐴′𝑛 𝐽𝑛 (𝑘𝑟) + 𝐵𝑛′ 𝑌𝑛 (𝑘𝑟)

Como as funções 𝑌𝑛 (𝑥) divergem para 𝑥 → 0, elas não são soluções para este problema (de acordo com a 𝐶𝐶1). 11

′ ⇒ 𝑅𝑛 𝑟 = 𝐴𝑛 𝐽𝑛 𝑘𝑟

Solução da EDO angular:

Θ 𝜃 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 + 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃

Com 𝑛 = 0,1,2, … e 𝑚 = 𝑛2 .

(53)

(54)

Substituímos as equações (53) e (54) na equação (50): Aplicamos a 𝐶𝐶2:

𝐹 𝑟, 𝜃 = 𝐽𝑛 (𝑘𝑟) 𝐶𝑛 cos(𝑛𝜃) + 𝐷𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜃) 𝑧 𝑎, 𝜃, 𝑡 = 0 ⇒ 𝐽𝑛 𝑘𝑎 = 0

Assim 𝑘𝑎 é uma raiz de 𝐽𝑛 ⇒ 𝑘𝑎 = 𝜉𝑠

(𝑛 )

(s-ésima raiz de 𝐽𝑛 )

⇒ 𝑘𝑠

(𝑛 )

Lembrando que: 𝑘 = 𝜔

𝜌

𝑇

=

𝜔 𝑐

⇒ 𝑘𝑠

(𝑛 )

𝜔𝑠

(𝑛 )

Voltando a equação (48): 𝑧𝑠

(𝑛 )

𝑟, 𝜃, 𝑡 = 𝐽𝑛 𝜉𝑠(𝑛 )

Com

=

=

=

1 (𝑛 ) 𝜉 𝑎 𝑠

(𝑛 ) 1 (𝑛 ) 𝜔𝑠 𝜉𝑠 = 𝑎 𝑐

𝑇 1 (𝑛 ) 𝜉 𝜌𝑎 𝑠

𝑟 (𝑛 ) 𝐶 cos(𝑛𝜃) + 𝐷𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜃) 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑠 𝑡 𝑎 𝑛

𝑛 = 0,1,2, …

𝑠 = 1,2,3, …

Caso especial: excitação simétrica, no centro da membrana. Os modos não dependem de 𝜃 ⇒ 𝑛 = 0 𝑧𝑠

(0)

Os modos têm a forma:

𝑟, 𝑡 = 𝐶0 𝐽0 𝜉𝑠(0)

𝑟 (0) 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑠 𝑡 + 𝜑 𝑎

12

(𝟎) (𝟎) Figura 3: Forma dos modos para 𝝎(𝟎) 𝟏 , 𝝎𝟐 e 𝝎𝟑 , respectivamente.

Podemos escrever a solução como: 𝑧𝑠

(0)

𝑟, 𝑡 = 𝐽0 𝜉𝑠(0)

𝑟 (0) 𝐴𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑠 𝑡 + 𝐵𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑠(0) 𝑡 𝑎

Determinamos 𝐴𝑠 e 𝐵𝑠 pelas condições iniciais. Exemplo: 𝑧 𝑟, 0 = 0

⇒ 𝐽0 𝜉𝑠

(0)

⇒ 𝐴𝑠 = 0

𝑟 𝐴 =0 𝑎 𝑠

𝑧 𝑟, 0 = 𝑣(𝑟)

⇒ 𝑧 𝑟, 0 = 𝜔𝑠 𝐽0 𝜉𝑠(0) (0)

∞

𝑟 𝐵 cos(0) 𝑎 𝑠

⇒ 𝑧 𝑟, 0 = 𝐵𝑠 𝜔𝑠 𝐽0 𝜉𝑠(0) (0)

𝑠=0

𝑟

𝑎

= 𝑣(𝑟)

Multiplicamos a equação anterior por 𝐽0 𝜉𝑚 𝑅 ∞

(0) 𝐵𝑠 𝜔𝑠 𝐽0 0 𝑠=0

⇒

𝜉𝑠(0)

𝑟

(0) 𝑅 𝐵𝑚 𝜔𝑚

2

2

𝑎

(0) 𝑟 𝑎

𝐽0 𝜉𝑚(0)

(0) 𝐽1 𝜉𝑚

𝑟 𝑎

𝑟 e integramos: 𝑅

𝑟 𝑟 𝑟 dr = 𝑣(𝑟)𝐽0 𝜉𝑚 (0) 𝑟𝑑𝑟 𝑎 𝑎

2

𝑅

0

= 𝑣(𝑟)𝐽0 𝜉𝑚 0

(0)

𝑟 𝑟𝑑𝑟 𝑎

13

𝐵𝑚 =

2

𝜔𝑚 𝑅 2 𝐽1 𝜉𝑚 (0)

(0)

𝑟

𝑎

𝑅 2 0𝑣(𝑟)𝐽0

𝜉𝑚

(0)

𝑟

𝑎

𝑟𝑑𝑟

Bibliografia 1 Butkov – “Mathematical Physics” (2) Rey Pastor – “Funciones de Bessel” (3) Morse – “Methods of Theoretical Physics” (4) Watson – “A Treatise on the Theory of Bessel Functions” (5) Rainville – “Special Functions” 6 Arfken – “Mathematical Methods for Physicists”

Este texto é a redação do seminário sobre funções de Bessel feito pelo grupo composto pelos seguintes alunos: Gabriela Arthuzo (redação) Camila Cardoso (aula teórica) Lucas Francisco (aula teórica) Fernando Beserra (experimento) Vinicius Massami Mikuni (experimento)

14...