Guias Mecanica 1 compressed PDF

Preview

Summary

Download Guias Mecanica 1 compressed PDF

Description

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES PROGRAMA DE F´ISICA

´ ´ PRACTICAS DE MEC ANICA NEWTONIANA I

Elaborado por: Emilse Cabrera Capera

Dirigido por: Carlos Cuellar

2

Contenido 1 Teor´ıa de Errores 1.1 Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Mediciones Directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Mediciones Indirectas o derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Errores e Incertidumbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Errores Sistem´aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Errores Aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Escalas y Paralaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Cifras Significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Cifras significativas en el resultado de un c´alculo . . . . . . . . 1.3.2 Presentaci´on de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Redondeo de cifras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Propagaci´on de errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 An´alisis Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Dimensi´on de una magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Magnitudes Adimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 An´alisis dimensional en ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Conversi´on de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Gu´ıas de Laboratorio 2.1 Pr´actica 1. An´alisis de Errores . . . . . . . 2.2 Pr´actica 2. Aparatos de medida . . . . . . 2.3 Pr´actica 3. Suma de vectores . . . . . . . 2.4 Pr´actica 4. Movimiento en una dimensi´on 2.5 Pr´actica 5. Ca´ıda Libre . . . . . . . . . . . 2.6 Pr´actica 6. Movimiento Parab´olico . . . . 2.7 Pr´actica 7. Segunda Ley de Newton . . . . 2.8 Pr´actica 8. Fuerza Centr´ıpeta . . . . . . . 2.8.1 Procedimiento 1. . . . . . . . . . . 2.8.2 Procedimiento 2. . . . . . . . . . . 2.9 Pr´actica 9. M´aquina de Atwood . . . . . . 2.10 Pr´actica 10. Fricci´on . . . . . . . . . . . . 2.11 Pr´actica 11.Trabajo . . . . . . . . . . . . . 3

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

5 6 7 10 10 11 16 16 17 19 22 25 26 30 30 32 33 34

37 . 37 . 39 . 46 . 49 . 52 . 56 . 59 . 60 . 60 . 61 . 63 . 66 . 70

4

CONTENIDO 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17

Pr´actica Pr´actica Pr´actica Pr´actica Pr´actica Pr´actica

12. 13. 14. 15. 16. 17.

Ley de Hooke y Trabajo . . . . . . . . . . Conservaci´on de la energ´ıa Mec´anica . . . Pendulo Matematico . . . . . . . . . . . . Velocidad uniforme y aceleracion uniforme Movimiento en 2D . . . . . . . . . . . . . M´aquina simple-polea. . . . . . . . . . . .

3 ANEXOS 3.1 An´alisis Estad´ıstico de los errores . . . . . . . . 3.2 Gr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Importancia de la representaci´on gr´afica 3.2.2 Ajuste de curvas por m´ınimos cuadrados 3.2.3 El coeficiente de correlaci´on . . . . . . . 3.2.4 ¿Qu´e significa mejor l´ınea? . . . . . . . . 3.2.5 Indicaciones para realizar las gr´aficas . . 3.3 Informe de Laboratorio . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

72 75 77 79 82 85

. . . . . . . .

89 89 93 93 94 96 97 97 98

Cap´ıtulo 1 Teor´ıa de Errores Durante el proceso de la experimentaci´on se busca observar de forma met´odica los fen´omenos y comportamientos de la naturaleza, intentando comprender el proceso completo para interpretar una porci´on del mundo exterior. En este proceso es fundamental la medici´on, y en ese punto es necesario que tanto el experimentador como los instrumentos de medici´on se integren conjunta y activamente manifestandose en los resultados, de manera clara y precisa, procurando evitar ser completamente exactos y a su vez sin aproximarse a ser falibles, v´ease la figura 1.1. Por el contrario debe verse limitado por el criterio y los argumentos de quien experimenta, as´ı como de los m´etodos instrumentales.

Figura 1.1: Interrelaci´on experimentador, objeto e instrumento. Los tres elementos son indispensables en el proceso de la experimentaci´on.

La medici´on se define como un proceso por el cual se cuantifica una propiedad o atributo del universo visible, asignando dicha propiedad mediante un n´ umero real junto con la especificaci´on de la unidad de medida. B´ asicamente se compara una 5

´ DE ERRORES CAP´ITULO 1. TEORIA

6

cantidad de una magnitud con otra cantidad de la misma magnitud fijada arbitrariamente. Aquello con lo que se compara se conoce como patr´on de medida o la unidad de medida. Las mediciones de las magnitudes de longitud, a´rea, volumen, tiempo y masa se hacen a menudo. Por ejemplo medir la longitud de una calle es encontrar el n´ umero de metros (la unidad de medida que caben en dicha calle); de igual forma para medir la masa de un cuerpo con una balanza, se necesita compararla con una unidad patr´on, el kilogramo. En esencia, aquellos que estudian ciencias deben tener la capacidad de evaluar y analizar todo entorno a la medici´on. Deben ser cautelosos, procurar tener cuidado y desarrollar conciencia de los posibles errores en el proceso de la experimentaci´on. Esto es importante en el manejo de magnitudes de baja y alta precisi´ on. Adem´ as debe incluirse suficiente informaci´ on en el grado de confiabilidad y certeza de los resultados de las mediciones. No obstante, la informaci´on debe complementarse con m´etodos y equipos de medida, as´ı como la descripci´on detallada de las posibles causas de aquellas incertidumbres. De esta manera, quien adquiera esta informaci´on tendr´a mayor certeza y argumentos m´as s´olidos para juzgar sobre la calidad del experimento. Adem´as se hace necesario que los resultados sean expresados en el orden de la magnitud de las incertidumbres de la medida, esto es, en el n´ umero de cifras significativas.

1.1

Medidas

Para indicar las magnitudes f´ısicas se requiere de ciertos elementos o particularmente al menos dos de ellos: Un n´ umero, una unidad e indicar la precisi´ on o confiabilidad en el valor obtenido, llamado com´ unmente “´ındice de precisi´on”. Un ejemplo sencillo de c´omo se expresan las medidas, es el siguiente: (67 ± 0.1)[cm]

(1.1)

Donde el primer t´ermino es el valor o n´ umero, el segundo es la incertidumbre (se hablar´a de ella en la siguiente secci´on) y el u ´ ltimo t´ermino indica la unidad de medida, en esta caso los cent´ımetros. En la medici´on de cualquier cantidad f´ısica se supone que hay un posible valor verdadero o te´orico y el proceso de la medici´ on consiste en la b´ usqueda por descubrir ese valor. Aunque no conduzca a un valor exacto, se estimar´ıa encontrar una diferencia entre el valor verdadero y el valor medido. Para describir este tipo de diferencias se utiliza la exactitud y precisi´on de la medida. Resulta esencial encontrar el contraste entre estos dos conceptos desde la perspectiva cient´ıfica y reconocer su importancia en la medici´on. Comencemos por el t´ermino exactitud, la cual indica

1.1. MEDIDAS

7

qu´e tan cerca est´a el resultado de la medici´on del valor verdadero. Sin embargo alcanzar la exactitud de un resultado es extremadamente d´ıficil en la mayor´ıa de los casos, debido a la presencia de incertidumbres. Por otra parte, la precisi´on se refiere b´asicamente a cu´antos d´ıgitos significativos hay en el resultado. Indica qu´e tan reproducibles son los resultados cuando se toman varias mediciones de cierta cantidad f´ısica y a partir de ah´ı, el promedio de estas mediciones se considera la mejor estimaci´ on del valor verdadero. Mientras sea menor la variaci´on de las mediciones individuales respecto a la media, el valor del promedio ser´a considerado m´as preciso. En el Anexo 1. An´alisis estad´ıstico de los errores, se definir´a con m´as detalle el concepto de promedio o valor medio. En el caso de los tornillos milim´etricos o los amper´ımetros con alta sensibilidad realizan mediciones m´as precisas que algunos de los instrumentos an´alogos e incluso que los digitales. Tambi´en la exactitud de esta medida depende de la calidad en la calibraci´on del mismo instrumento. Para tener m´as claro el concepto de exactitud y precisi´on se ha considerado la figura 1.2. En el caso 1, se observa una gran dispersi´on en los disparos, atribuido a una distribuci´on uniforme o rectangular. Este hecho refleja falta de precisi´on, a lo que se a˜ nade falta de exactitud, dado el sesgo observado, al encontrarse el valor central de la distribuci´ on alejado del valor verdadero. En el caso 2, los disparos est´an mucho m´ a s agrupados, pero el punto medio de todos ellos se encuentra de nuevo alejado del centro. En este caso, existe buena precisi´on (los puntos est´ an muy agrupados, sugiriendo una distribuci´on normal), pero falta de exactitud, debido al sesgo (error sistem´atico) existente entre el valor medio y el valor verdadero (centro de la diana). En el tercer caso, el valor medio de los disparos coincide con el centro de la diana (buena exactitud), aunque con bastante dispersi´on (falta de precisi´on): la distribuci´on es normal en lugar de rectangular. En el cuarto y u ´ ltimo caso, los disparos est´an muy agrupados en torno al centro de la diana (su distribuci´ on de probabilidad es muy estrecha), siendo este el caso ideal de buena precisi´on y buena exactitud (resultado no sesgado). Uno de los fundamentos para la expresi´on de los resultados de la experimentaci´ on, son las medidas. A continuaci´ on se establece en detalle los tipos de mediciones.

1.1.1

Mediciones Directas

Las mediciones directas son el resultado de la comparaci´on de la magnitud f´ısica con una magnitud admitida como patr´on de referencia. Para ello debe hacerse la lectura directa de un instrumento utilizado para medir cierta cantidad de una magnitud. Por ejemplo, la medici´on de la masa con la balanza, la temperatura con un term´ ometro o la longitud con una regla.

8

´ DE ERRORES CAP´ITULO 1. TEORIA

Figura 1.2: Parte superior, resultados de cuatro series de disparos a un blanco. Parte inferior, las correpondientes funciones de densidad de probabilidad.

Es importante conocer las definiciones de los patrones o las unidades de medida para las magnitudes fundamentales (longitud, tiempo, masa, temperatura, intensidad de corriente, etc). El conjunto de estas mediciones metrol´ogicas, constituyen el llamado Sistema de Unidades. Entre los sistemas m´as empleados en f´ısica estan: el Sistema Internacional de Unidades o SI y el Sistema Cegesimal o CGS, en general difieren principalmente por las unidades fundamentales de longitud, masa y tiempo; aunque en esta u ´ltima coinciden. El primero considera como unidades b´asicas el metro, el kilogramo y el segundo; mientras el u ´ltimo utiliza el cent´ımetro, el gramo y el segundo. Este tipo de comparaci´on directa en las mediciones se clasifica de la siguiente manera: a). Mediciones de balance, igualdad o nulidad. El valor est´andar se ajusta o iguala al valor desconocido x, y se registra el valor del balance. Los resultados de este tipo suelen dar resultados extremadamente precisos. Un ejemplo puede ser la balanza de brazos iguales, donde la masas en cada brazo quedan equilibradas (balance o igualdad) y las fuerzas anuladas para mantener el equilibrio. Otro es la medici´ on de resistencia el´ectrica mediante el uso de un puente de Wheastone de relaci´on 1 : 1. b). Mediciones de peque˜ na diferencia Consideremos el siguiente ejemplo. Donde x es la longitud a medir y s es el patr´on de referencia del tornillo milim´etrico. Si la diferencia x−s = △ Donde s es el patr´on de medida est´a determinada, entonces

(1.2)

1.1. MEDIDAS

9

x= s+△

(1.3)

Y △ puede ser positivo o negativo. Cuando el valor de △ es peque˜ no se pueden tolerar incertidumbres relativamente grandes (en porcentaje) sin introducir grandes errores en x. Como ejemplo, consid´erese la medici´ on de una longitud un poco mayor de 0.5 mm como est´andar (s) y un detector de diferencia para △. Sup´ongase que el indicador se coloca en cero, usando un bloque calibrado para el cual s = 0.500000 pulg ±5 µpulg (±0.000005 pulg). Ahora se sustituye x por s y se supone que el medidor indica la diferencia △ = (98 ± 2) µpulg. Es obvio que x = 0.500098 pulg. Se debe notar tambi´en que la incertidumbre de ±2 µpulg en △, que es ±2% del valor de △, contribuyen menos a la incertidumbre en x que lo que contribuye la tolerancia de ±5 µpulg (0.001%) en el valor de s de 0.500000. Este es un ejemplo un tanto exagerado pero ilustrativo de las posibilidades. c). Medici´ on de relaci´ on Una inc´ognita x se compara con una s conocida en t´erminos de alguna fracci´on o m´ ultiplo (R). Entonces

x = Rs

(1.4)

Donde R se debe determinar operacionalmente. Un buen ejemplo es el potenci´ometro lineal (vea la figura 1.3), como el que se usa en los dispositivos de medici´on. En este caso se aplica una diferencia de potencial estandarizada s a trav´es de una resistencia. Por lo com´ un esta u ´ltima es un alambre largo y uniforme (que puede estar enrollado), arreglado de manera que un contacto deslizante pueda separar una determinada fracci´on de su longitud (r) y, por lo tanto, la misma fracci´on de su resistencia. Para un alambre uniforme, esto tambi´en significa que la diferencia de potencial seleccionada tiene as´ı mismo la relaci´on (R) respecto a s. La precisi´on con que se determine R (en base fraccional o de porcentaje) ser´a un factor importante en la confiabilidad del valor medido de x [1] .

10

´ DE ERRORES CAP´ITULO 1. TEORIA

Figura 1.3: Esquema de un potenciometro lineal.

1.1.2

Mediciones Indirectas o derivadas

Se obtienen como resultado de un c´alculo de cierta medida a trav´es de relaciones matem´aticas como una funci´on de una o m´as mediciones, realizadas con magnitudes medidas directamente. Por ejemplo el volumen de un paralelep´ıpedo, depende de la medici´on de la longitud de sus lados. Medida que se puede realizar directamente. Luego, el volumen es calculado seg´un las mediciones hechas de esas longitudes. Consideremos el volumen de un cilindro circular recto, determinado a partir de la medici´on directa del radio y la altura de este: V = πr 2 h

(1.5)

El radio r y la altura h, son longitudes que se pueden medir directamente con una aproximaci´on suficiente para lograr varios prop´ositos. Entre ellos, se puede calcular V ; cualquier inexactitud en el radio ser´a duplicada en la determinaci´on de V . Sin embargo, s´ı la medici´on de las variables r y h la realizan diferentes observadores es posible que el radio r tenga un efecto (en el error) compuesto.

1.2

Errores e Incertidumbres

Todos los procesos de medici´on est´an sujetos a errores, de manera que nunca se puede asegurar que el valor obtenido coincide con el valor verdadero. Cada uno posee limitaciones tanto por el experimentador como por los instrumentos usados, y el m´etodo de medici´on. En ciencia, el concepto de error se refiere a la incerteza en la determinaci´on de los resultados de una medici´on. Est´a asociado directamente a conocer las posibles variaciones de un dato con el instrumento a medir. Nunca se tienen resultados exactos, tan solo se tienen resultados de la mediciones como una cantidad aproximada. Lo que procuramos es conocer las cotas (o l´ımites probabil´ısticos) de estas incertezas. Gr´aficamente, se busca establecer un intervalo x− △x ≤ x+ △x, como el de la figura 1.4, donde con cierta probabilidad, podamos decir que se encuentra el mejor valor

1.2. ERRORES E INCERTIDUMBRES

11

de la magnitud x. Este mejor valor, x, es el m´as representativo de nuestra medici´on y al semiancho △x lo denominamos la incerteza o incertidumbre o error absoluto de la medici´on. El valor real de la magnitud de la medida se encuentra, con cierta probabilidad, en alguna parte del intervalo hallado, como lo explica [1]. Como se ilustra a continuaci´on:

Figura 1.4: Intervalo asociado al resultado de una medici´on. En lugar de dar un u ´nico valor, se define un intervalo. El valor representado en (x) se llama el mejor valor de la medici´on. El semiancho del intervalo (△x) se denomina incertidumbre o error absoluto de la medici´on.

De igual forma, los instrumentos empleados para medir son fuente de incertezas al momento de las mediciones, no poseen una precisi´on infinita porque siempre existe una variaci´on m´ınima de la magnitud que puede detectar. Por ejemplo, en una regla graduada en mil´ımetros, no podemos detectar claramente variaciones menores que una fracci´on de mil´ımetro. As´ı como los instrumentos, las magnitudes a medir no est´an definidas completamente. Imaginemos que queremos medir el largo de una tabla de madera de grosor moderado. Es posible que al usar instrumentos cada vez m´as precisos, se noten las irregularidades de los bordes y las aristas de e´ste. En la pr´actica, la falta de proporci´on en sus bordes hace que el concepto “longitud de borde” comience a hacerse cada vez menos definido, y a esta limitaci´on intr´ınseca se le denomina falta de definici´on o incerteza intr´ınseca. A continuaci´on se hace una clasificaci´on de los diferentes errores que intervienen en el proceso de la experimentaci´ on.

1.2.1

Errores Sistem´ aticos

Se deben esencialmente a las imperfeciones de los m´etodos de medici´on o los instrumentos de medida. Estos errores tienden a estar en la misma direcci´ on para mediciones repetidas, generando valores que son consistentemente muy altos o consistentemente muy bajos del valor verdadero. Los errores sistem´aticos se pueden distinguir dentro de las siguientes categor´ıas:

´ DE ERRORES CAP´ITULO 1. TEORIA

12 1). Errores Te´ oricos

Se refiere a aquellos errores que est´an relacionados con las ecuaciones o relaciones que se usan en el dise˜ no o calibraci´on de los instrumentos o en la determinaci´on de mediciones indirectas. Las ecuaciones son permitibles y con ellas se a˜ naden los errores te´oricos e incertidumbres que a su vez se introducen en el l´ımite de considerarlas aproximadamente correctas, esto se hace para evitar el uso de ecuaciones muy complejas. En el avance cient´ıfico se ha aplicado este proceder con base en aproximaciones y ciertamente idealizaciones de los experimentos. M´as impl´ıcitamente en problemas mec´anicos con conceptos tales como las superficies y poleas sin fricci´on, las cuerdas ligeras y no extensibles y otros. Por ejemplo, en la pr´actica de Leyes de Newton cuando se utiliza el riel o coj´ın de aire a menudo se ignora la fricci´on porque se considera peque˜ na y es d´ıficil detectar la cantidad con la cual contribuye. Sin embargo se supondr´ıa que al despreciarla introduzca un error sistem´atico. Se tiene un excelente ejemplo en el caso del p´endulo “simple” (y es aplicable a los p´endulos f´ısicos, reales); v´ease la figura 1.5...