Guias Onda - Telecomunicações PDF

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Telecomunicações...

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Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Engenharia de Sistemas das Telecomunicac ¸ ˜oes e Electr ´onica

Secc ¸˜ ao de Sistemas de Telecomunicac ¸˜ oes

˜o Propagac ¸˜ ao e Radiac ¸a Guias de onda

2006-2007 Vers˜ ao preliminar

c Pedro Pinho Copyright ° [email protected]

Conte´ udo

1 Guias de onda 1.1

1.2

1.3

1

Equa¸c˜oes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Equa¸c˜oes de Maxwell no dom´ınio da frequˆencia . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Procedimento para obten¸c˜ao dos campos

7

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Guias rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao de onda - M´etodo da separa¸c˜ao das vari´aveis . . . .

1.2.2

Ondas TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.3

Ondas TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.4

Frequˆencia de corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.5

Modos de propaga¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.6

Modos evanescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.7

Determina¸c˜ao gr´afica dos modos existentes no guia de onda. . . . . . . . .

Guias circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

16 17

1.3.1

Resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao de onda - Separa¸c˜ao de vari´aveis . . . . . . . . . .

1.3.2

Modo TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.3.3

Modo TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

iii

19

1.4

Potˆencia m´edia transmitida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1

Atenua¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26 28

Lista de Figuras 1.1

Guias de onda t´ıpicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Guia de onda gen´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Guia de onda rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Caracter´ısticas de propaga¸c˜ao das ondas no interior de um guia de onda . . . . .

1.5

Modos de Transmiss˜ao Te e TM

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.6

Guia de onda circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.7

Fun¸c˜oes de Bessel de 1a esp´ecie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.8

Derivada das fun¸c˜oes de Bessel de 1a esp´ecie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.9

Fun¸c˜ao de Bessel de 2a esp´ecie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

v

15

Lista de Tabelas 1.1

Zeros da fun¸c˜ao de Bessel de ordem n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.2

Zeros da derivada da fun¸c˜ao de Bessel de ordem n . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

viii

Cap´ıtulo 1

Guias de onda Tal como as linhas de transmiss˜ao, a principal fun¸c˜ao do guia de onda ´e o de guiar as ondas electromagn´eticas dentro dos limites f´ısicos de uma estrutura adequada e conduzi-la ao longo de uma determinada direc¸c˜ao, de um ponto (fonte) at´e outro (carga). Estas estruturas s˜ao em geral, cilindros met´alicos ocos com sec¸c˜ao transversal geralmente constante (guia uniforme) e com um diel´ectrico interno homog´eneo (normalmente o ar), e que se podem classificar segundo o formato da sua sec¸c˜ao transversal em:

• Guia Rectangular; • Guia Circular; • Guia El´ıptico.

Podem tamb´em existir guias cuja sec¸c˜ao n˜ao seja uniforme. Este tipo de guias ´e usado normalmente para fazer transi¸c˜oes progressivas entre tipos de guia diferentes ou, atrav´es de uma abertura progressiva, obter uma antena (corneta). A figura 1.1 apresenta em esquema dois guias de onda t´ıpicos. As estruturas deste tipo designam-se, num sentido lato, por guias de onda (GO), embora mais especificamente se reserve essa designa¸c˜ao para as estruturas onde n˜ao ´e poss´ıvel a propaga¸c˜ao de ondas de natureza T E M (Transverse ElectroMagnetic) e se use a designa¸c˜ao linhas de transmiss˜ao para as estruturas que suportam ondas de natureza TEM (cabo coaxial, linha bifilar) ou quase-TEM (linha microstrip). Depreende-se das palavras anteriores que os guias de onda n˜ao

2

Guias de onda

Figura 1.1: Guias de onda t´ıpicos

suportam o modo de propaga¸c˜ao TEM mas apenas os modos T E (Transverse Electric) ou T M (Transverse Magnetic). Assim, ´e poss´ıvel classificar as ondas electromagn´eticas de acordo com as suas componentes e com a direc¸c˜ao de propaga¸c˜ao da onda em:

• Ondas TEM: Ambos os campos s˜ao perpendiculares entre si e `a direc¸c˜ao de propaga¸c˜ao; • Ondas TE: O campo el´ectrico ´e perpendicular `a direc¸c˜ao de propaga¸c˜ao; • Ondas TM: O campo magn´etico ´e perpendicular `a direc¸c˜ao de propaga¸c˜ao. A propaga¸c˜ao de uma onda electromagn´etica no interior de um guia ´e diferente da propaga¸c˜ao de uma onda TEM. Quando a onda ´e introduzida no GO, esta ser´a reflectida nas paredes do mesmo sempre que o atinja. Uma vez que a onda est´a inteiramente ladeada por paredes condutoras vai originar m´ ultiplas reflex˜oes `a medida que se vai propagando no guia. Estas reflex˜oes m´ ultiplas interactuar˜ao umas com as outras, produzindo um n´ umero infinito de padr˜oes caracter´ısticos que se designam por modos. A existˆencia destes modos, dependem da:

• Forma e dimens˜oes do guia; • Caracter´ısticas electromagn´eticas do diel´ectrico que constitu´ı o guia (ǫ, µ); • Frequˆencia de opera¸c˜ao. Como consequˆencia deste tipo de propaga¸c˜ao, o campo el´ectrico ´e m´aximo no centro e nulo nas paredes. A velocidade de propaga¸c˜ao ´e menor do que em espa¸co livre pois a componente da velocidade segundo a direc¸c˜ao de propaga¸c˜ao ´e menor. A onda deixa de ser TEM pelo facto da

1.1 Equa¸ co ˜es de Maxwell

3

propaga¸c˜ao por reflex˜oes m´ ultiplas requerer n˜ao s´o uma componente normal `a parede da guia, mas tamb´em uma componente na direc¸c˜ao da propaga¸c˜ao, do campo el´ectrico ou do campo magn´etico, dependendo da forma como as ondas foram estabelecidas no guia. Esta componente na direc¸c˜ao da propaga¸c˜ao faz com que as ondas deixem de ser transversais. Os guias de onda s˜ao uma alternativa `as linhas de transmiss˜ao convencionais (cabo coaxial, linha bifilar, linha microstrip) na gama das microondas, porque apresentam uma menor atenua¸c˜ao (a atenua¸c˜ao numa linha de transmiss˜ ao aumenta com a frequˆencia), suportam potˆencias mais elevadas, tˆem maior largura de banda e apresentam uma boa imunidade a ru´ıdo e interferˆencias. A an´alise dos guias de onda ´e feita recorrendo as equa¸c˜oes de Maxwell, escritas no sistema de coordenadas adequado `a forma geom´etrica da sua sec¸c˜ao transversal e considerando-se as condi¸c˜oes de fronteira impostas pelas paredes do guia. No caso ideal em que as paredes s˜ao condutoras perfeitas, sabemos que a componente tangencial do vector campo el´ectrico da onda deve-se anular nessa superf´ıcie. Cada configura¸c˜ao espacial de campo que satisfaz as condi¸c˜oes fronteira caracteriza um modo de propaga¸c˜ao poss´ıvel no guia. Se em alguma situa¸c˜ao particular os modos TE e TM isoladamente, n˜ao satisfazem as condi¸c˜oes de fronteira, uma combina¸c˜ao linear dos mesmos dar´ a a solu¸c˜ao geral e completa. Estes novos modos s˜ao chamados modos h´ıbridos e costumam ser denotados por EH ou HE. Estes tipos de modos s˜ao comuns na propaga¸c˜ao em fibras ´opticas.

1.1

Equa¸co ˜es de Maxwell

Para podermos determinar as poss´ıveis configura¸c˜oes do campo electromagn´etico suportadas por um guia de onda vamos come¸car por apresentar as equa¸c˜oes de Maxwell na sua forma diferencial. Assim:

~ ~ = − ∂B ∇× E ∂t ~ ~ = ∂ D + J~ ∇×H ∂t ~ ∇ ·D = ρ ~ = 0 ∇·B

(1.1) (1.2) (1.3) (1.4)

4

Guias de onda

onde: ~ ´e o vector campo el´ectrico em V/m E ~ ´e o vector de densidade de fluxo el´ectrico em C/m2 D ~ ´e o vector campo magn´etico em A/m H ~ ´e o vector densidade de fluxo magn´etico em Wb/m2 B ρ ´e a densidade volumica de cargas livres em C/m3 J~ ´e o vector densidade de corrente el´ectrica em Wb/m2

~ e B ~ Para al´em destas quatro equa¸c˜oes h´a mais duas que relacionam as grandezas D~ com E ~ de acordo com as caracter´ısticas electromagn´eticas do meio. Se estas caracter´ısticas com H n˜ao dependem da intensidade do campo aplicado, o meio diz-se linear. Se estas caracter´ısticas n˜ao dependem da posi¸c˜ao, o meio diz-se homog´eneo. Se estas caracter´ısticas n˜ao dependem da orienta¸c˜ao do campo aplicado, o meio diz-se isotr´opico. Se estas caracter´ısticas n˜ao variam com a frequˆencia, o meio diz-se n˜ao-dispersivo. As caracter´ısticas do meio relevantes para esta situa¸c˜ao s˜ao a permitividade el´ectrica ǫ, a permeabilidade magn´etica µ e a condutividade el´ectrica σ. Num meio linear, homog´eneo e isotr´opico ǫ, µ, σ s˜ao grandezas escalares. Se al´em disso o meio se puder considerar n˜ao-dispersivo s˜ao simples constantes reais. Para este caso ~ eE ~ e as grandezas B~ e H ~ s˜ao: particular as rela¸c˜oes entre as grandezas D ~ ~ = ǫE D

(1.5)

~ = µH ~ B

(1.6)

Considerando agora que no interior do guia n˜ao h´a nem cargas livres (ρ = 0) nem correntes ( J~ = 0) as equa¸c˜oes 1.2 e 1.3 podem ser escritas como: ~ ∂D ∂t ~ ∇·E = 0

~ ∇×H

(1.7)

=

(1.8)

Utilizando agora as equa¸c˜oes 1.1 e 1.7 vamos determinar a equa¸c˜ao de onda. O procedimento a usar ser´a aplicarmos o operador rotacional a ambos os lados da equa¸c˜ao 1.1 e depois substituir a equa¸c˜ao 1.7 na igualdade anterior, obtendo: ³ ´ ~ = −µ ∂ ~ = −µ ∂ ∇ × H ∇ × (∇ × E) ∂t ∂t

Ã

~ ∂E ǫ ∂t

!

2~ ~ = ∇(∇· A)−∇ ~ Atendendo `a igualdade matem´ atica ∇×(∇× A) A, `a equa¸c˜ao 1.8 e manipulando

os termos obtemos: ~ = µǫ ∇2 E

~ ∂ 2E ∂t2

(1.9)

1.1 Equa¸ co ˜es de Maxwell

5

A equa¸c˜ao 1.9 ´e designada por equa¸c˜ao de onda na componente do campo el´ectrico. De modo an´alogo, podemos obter a equa¸c˜ao de onda para o campo magn´etico: ~ = µǫ ∇2 H

1.1.1

~ ∂ 2H ∂t2

(1.10)

Equa¸ c˜ oes de Maxwell no dom´ınio da frequˆ encia

Vamos assumir tamb´em que estamos a trabalhar em regime harm´onico sinusoidal. Assim sendo, podemos escrever que por exemplo o campo el´ectrico E(x, y, z, t) = E (x, y, z) cos(ωt + φ) pode ser escrito como E(x, y, z, t) = Re{E(x, y, z)ejφ ejωt }. A parte Eejφ designa-se por fasor de E . Conv´em recordar que na nota¸c˜ao de fasor se omite o factor [ejωt ]. No entanto se pretendermos recuperar a dependˆencia temporal dos campos, este termo tem que ser recuperado novamente. Notando que ∂Aejωt ∂ = jω = jωAejωt → ∂t ∂t as derivadas em ordem ao tempo podem ser substitu´ıdas por jω, e portanto daqui decorre que para varia¸c˜oes harm´onicas sinusoidais, as equa¸c˜oes 1.9 e 1.10 podem ser escritas da seguinte forma: ~ + ω 2 µǫ E ~ = 0 ∇2E

(1.11)

~ + ω 2 µǫH ~ ∇2 H

(1.12)

= 0

~ e H, ~ representam os fasores dos campos el´ectricos e magn´eticos. onde E

Estas equa¸c˜oes

designam-se por equa¸c˜oes de Helmholtz. Considere-se agora a propaga¸c˜ao de ondas deste tipo num guia de onda cuja sec¸c˜ao transversal n˜ao varia com a distˆancia longitudinal (direc¸c˜ao do eixo dos z), tal como representado na figura 1.2. Admitindo agora que o guia tem comprimento infinito, ´e necess´ario considerar apenas as ondas que se propagam no sentido positivo do eixo dos z, o que permite escrever: ~ y)e−γz ~E (x, y, z) = E(x, ~ ~ H(x, y, z) = H(x, y)e−γz onde γ = α + jβ, ´e a constante de propaga¸c˜ao, α ´e a constante de atenua¸c˜ao e β ´e a constante de fase. No entanto aqui como estamos a considerar que o diel´ectrico que forma o guia de onda n˜ao tem perdas ent˜ao α = 0 e γ = jβ, resultando ~ ~ E(x, y, z) = E(x, y)e−jβz

6

Guias de onda







Figura 1.2: Guia de onda gen´erico

~ ~ H(x, y, z) = H(x, y)e−jβz Substituindo estas express˜oes da varia¸c˜ao do campo nas equa¸c˜oes 1.11 e 1.12 obtemos: ~ = 0 ~ + h2 E ∇2xyE

(1.13)

~ ~ + h2 H ∇2xyH

(1.14)

= 0

em que: ∇2xy =

∂2 ∂2 + 2 2 ∂x ∂y

´e designado de laplaciano transversal e h2 = γ 2 + ω 2 µǫ

(1.15)

Estas duas equa¸c˜oes de onda correspondem a seis equa¸c˜oes de onda escalares, uma para cada componente do campo electromagn´etico. ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex + + h2 Ex ∂x2 ∂y2 ∂ 2 Ey ∂ 2 Ey + + h2 Ey ∂x2 ∂y2 ∂ 2 Ez ∂ 2 Ez + h2 Ez + 2 ∂y2 ∂x ∂ 2 Hx ∂ 2 Hx + h2 Hx + ∂y2 ∂x2 ∂ 2 Hy ∂ 2 Hy + h2 Hy + ∂y2 ∂x2 ∂ 2 Hz ∂ 2 Hz + h2 Hz + ∂y2 ∂x2

= 0

(1.16)

= 0

(1.17)

= 0

(1.18)

= 0

(1.19)

= 0

(1.20)

= 0

(1.21)

1.1 Equa¸ co ˜es de Maxwell

7

Se analisarmos as equa¸c˜oes anteriores podemos reparar que elas s˜ao similares umas `as outras e portanto as suas solu¸c˜oes devem ser semelhantes. Assim, n˜ao ´e necess´ario resolver as seis equa¸c˜oes para determinarmos os campos el´ectrico e magn´etico. Utilizando agora as equa¸c˜oes de Maxwell, e uma vez que no interior do guia todas as componentes do campo as devem satisfazer, podemos relaciona-las umas com as outras. Assim temos:

~ = jωǫ E ~ → ∇×H

     

∂Hz ∂y

+ γHy = jωǫEx

∂Hz

+ γHx = −jωǫEy ∂x      ∂Hy − ∂Hx = jωǫE ∂x

~ = −jωµ H ~ → ∇×E

∂y

z

  ∂Ez  + γEy = −jωµHx    ∂y ∂Ez

+ γEx = jωµHy ∂x     ∂E y ∂Ex  = −jωµHz ∂x − ∂y

Relacionando as equa¸c˜oes anteriores podemos expressar as componentes transversais dos campos em fun¸c˜ao das suas componentes longitudinais Ez e Hz : 1 ∂Hz (γ h2 ∂x 1 ∂Hz = − 2 (γ h ∂y 1 ∂Ez = − 2 (γ h ∂x 1 ∂Ez = − 2 (γ h ∂y

Hx = − Hy Ex Ey

1.1.2

∂Ez ) ∂y ∂Ez ) + jωǫ ∂x ∂Hz + jωµ ) ∂y ∂Hz ) − jωµ ∂x − jωǫ

(1.22) (1.23) (1.24) (1.25)

Procedimento para obten¸ c˜ ao dos campos

Das equa¸c˜oes anteriores podemos concluir que as componentes transversais do campo s˜ao determin´aveis conhecendo-se as componentes longitudinais Ez e Hz . Assim, o procedimento habitual para a determina¸c˜ao dos campos no interior de um guia baseia-se no uso das equa¸c˜oes 1.22 ´a equa¸c˜ao 1.25 para a determina¸c˜ao das componentes transversais a partir do c´alculo pr´evio das componentes longitudinais Ez e Hz , as quais s˜ao obtidas partindo das equa¸c˜oes 1.18 e 1.21 respectivamente. Assim a obten¸c˜ao das diversas componentes do campo est˜ao dependentes de:

1. Resolver as equa¸c˜oes de Helmholtz nas suas componentes longitudinais e sujeitas as condi¸c˜oes fronteira apropriadas;

8

Guias de onda





  Figura 1.3: Guia de onda rectangular

2. Calcular as componentes transversais a` custa das componentes longitudinais determinadas anteriormente; ~ na frequˆencia; 3. Obter express˜oes para E~ e para H

4. Obter as express˜oes anteriores no dom´ınio do tempo.

´E importante referir que, durante a resolu¸c˜ao das equa¸c˜oes de onda (ponto 1) ou na determina¸c˜ao das componentes transversais (ponto 2), dever˜ ao ser usadas as condi¸c˜oes fronteira apropriadas para a determina¸c˜ao das constantes de integra¸c˜ao e dos valores poss´ıveis para h. As condi¸c˜oes fronteira dependem da geometria do guia considerado. De igual modo pode-se referir que as express˜oes usadas para determinar as componentes transversais s´o s˜ao v´alidas se h 6= 0.

1.2

Guias rectangulares

Considere-se o guia rectangular de largura a, altura b e comprimento infinito representado na figura 1.3. O guia est´a preenchido por um diel´ectrico sem perdas, de parˆametros constitutivos (ǫ, µ), e admite-se que as placas condutoras s˜ao ideais. Para a determina¸c˜ao dos campos no interior do guia temos de proceder `a resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao 1.18 se admitirmos ondas T M ou `a equa¸c˜ao 1.21 se admitirmos ondas T E .

1.2 Guias rectangulares

1.2.1

9

Resolu¸ c˜ ao da equa¸c˜ ao de onda - M´ etodo da separa¸c˜ ao das vari´ aveis

A equa¸c˜ao de onda que permite obter as componentes longitudinais Ez ou Hz tem a forma gen´erica seguinte: ∂2ψ ∂2ψ + h2 ψ = 0 + ∂y2 ∂x2 onde ψ(x, y) ´e a fun¸c˜ao que se pretende determinar, e que ser´a igual a Ez para os modos T M , e a ∇2xy ψ + h2 ψ = 0 ⇔

Hz para os modos T E. Esta ´e uma equa¸c˜ao em derivadas parciais que pode ser resolvida usando o m´etodo da separa¸c˜ao das vari´aveis. Para isso, admite-se que ψ(x, y) ´e dada pelo produto de uma fun¸c˜ao de x por outra fun¸c˜ao de y, isto ´e, ψ(x, y) = X (x)Y (y), onde X (x) e Y (y) s˜ao fun¸c˜oes a determinar. Assim, substituindo esta express˜ao na equa¸c˜ao de onda e dividindo tudo por ψ(x, y) obtemos: 1 ∂ 2 Y (y) 1 ∂ 2 X(x) + + h2 = 0 X(x) ∂x2 Y (y) ∂y2 Analisando esta equa¸c˜ao, ´e f´acil verificar que a primeira parcela depende apenas da vari´avel x, enquanto a segunda ´e s´ o fun¸c˜ao de y e a terceira ´e uma constante. Para que esta equa¸c˜ao seja satisfeita para todos os valores de x e y que nos interessam (0 ≤ x ≤ a) e (0 ≤ y ≤ b) ´e ent˜ao necess´ario que as primeiras duas parcelas sejam constantes. Sejam essas constantes −Kx2 e −Ky2 , respectivamente. Neste caso, tem-se que: 1 ∂ 2 X(x) + Kx2 = 0 X(x) ∂x2 1 ∂ 2 Y (y) + Ky2 = 0 Y (y) ∂y2 K x2 + Ky2 = h2 As equa¸c˜oes anteriores podem ser escrita na forma: ∂ 2 X(x) + K 2x X(x) = 0 ∂x2 ∂ 2 Y (y) + K 2y Y (y) = 0 ∂y2 que s˜ao equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias lineares de coeficientes constantes e de segunda ordem. A solu¸c˜ao geral destas equa¸c˜oes ´e: X(x) = A sin(Kx x) + B cos(Kx x) Y (y) = C sin(Ky y) + D cos(Ky y) Onde A, B, C e D s˜ao constantes a determinar. Finalmente podemos escrever que a fun¸c˜ao ψ(x, y) tem como solu¸c˜ao a equa¸c˜ao seguinte:

ψ(x, y) = [A sin(Kx x) + B cos(Kx x)] · [C sin(Ky y) + D cos(Ky y)]

10

1.2.2

Guias de onda

Ondas TM

Admitindo solu¸c˜oes na forma de ondas T M , isto ´e, a componente do campo magn´etico segundo a direc¸c˜ao de propaga¸c˜ao ´e nula (Hz = 0) e a componente do campo el´ectrico Ez 6= 0. De acordo com o estudado, a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de onda ´e Ez (x, y) = X(x)Y (y). As constantes presentes nestas equa¸c˜oes podem ser determinadas usando as condi¸c˜oes fronteira. Neste caso, as onda...