Hilfsblatt Bode-Diagramme PDF

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Bode Diagramm...

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Institut f¨ ur Systemtheorie und Regelungstechnik Prof. Dr.-Ing. C. Ebenbauer Systemdynamische Grundlagen der Regelungstechnik

Uni Stuttgart 18. Juli 2017 ts,pw,hd,di,sm

http://www.ist.uni-stuttgart.de/lehre und studium/lehrveranstaltungen

Hilfsblatt: Bode-Diagramme ¨ bertragungsIm Folgenden soll die Frage gekl¨art werden, wie man aus einer gegebenen U funktion den n¨aherungsweisen Verlauf von Amplituden- und Phasengang in doppelt logarithmischer Darstellung ermitteln kann. Besonderheiten wie konjugiert komplexe Polpaare auf der imagin¨aren Achse werden nicht behandelt. ¨ Umformen der Ubertragungsfunktion Bevor man den asymptotischen Amplituden- und den Phasengang zeichnet, ist es vorteilhaft, ¨ bertragungsfunktion in eine f¨ur diesen Fall g¨unstige“ Darstellung zu bringen. Dies soll die U ” im Folgenden erl¨autert werden. Zuerst bestimmt man die Pole und Nullstellen der ¨Ubertragungsfunktion G(s). Anschließend schreibt man die ¨Ubertragungsfunktion als Produkt der sich aus den Polen und Nullstellen ergebenden Linearfaktoren, d.h. als Produkt von I-, D-, P D -, P T1 - und P T2 - Gliedern. Dabei werden die Terme in aufsteigender Reihenfolge der Eckfrequenzen sortiert. Eventuell auftretende I- oder D-Glieder werden an den Anfang gestellt ( Eckfrequenz 0“). ” Alle Terme werden in normierter Schreibweise notiert, sodass alle auftretenden Verst¨arkungsfaktoren zu einem einzigen Verst¨arkungsfaktor zusammengefasst werden k¨ onnen. Insgesamt ergibt sich zum Beispiel folgende Darstellung

1 1 G(s) = K · s · β · 1 ± ωs1 s α

!

1 · 1 + T12 s + ( ωs2 )2

!   2 ! s s · 1± (1) ·...· 1 + T1n s + ωn ω3

mit (2)

ω1 < ω2 < ω3 < . . . < ωn .

Verlauf des n¨ aherungsweisen Amplitudenganges Um den asymptotischen Amplitudengang zeichnen zu k¨onnen, muss man zuerst einen Anfangspunkt bestimmen. Dazu w¨ahlt man eine Frequenz ω0 aus, die kleiner ist als alle in Gleichung (2) vorkommenden Frequenzen. Zur Bestimmung des dabei auftretenden Betrags der Amplitude kann man zwei F¨alle unterscheiden: 1. Es tritt kein I- oder D-Glied auf. Der Betrag der Amplitude ist gleich dem Betrag des Verst¨arkungsfaktors. Der Verlauf der Amplitude bis zur ersten Eckfrequenz ist waagrecht. 2. Es tritt ein I- oder D-Glied auf. Hier ist eine Punktprobe notwendig, d.h. die Frequenz ω0 wird in das f¨ur diesen Frequenzbereich bestimmende I- oder D-Glied eingesetzt (und nur in dieses), so dass sich z. B. Gleichung (1) vereinfacht zu A0 = |G(jω0 )| =

K ω0

(I),

(3)

A0 = |G(jω0 )| = Kω0

(D).

(4)

Damit ist der Betrag der Amplitude A0 f¨ur die Frequenz ω0 bestimmt und ein Anfangspunkt gefunden. Der Verlauf der Amplitude bis zur ersten Eckfrequenz ist fallend mit der Steigung 1 f¨ur I-Glieder und steigend mit der Steigung 1 f¨ur D-Glieder. Falls die ¨ bertragungsfunktion G(s) mehrfach I- oder D-Glieder enth¨alt ist die Steigung mit der U Anzahl der I- oder D-Glieder zu multiplizieren. Der weitere Verlauf des Amplitudengangs in doppelt logarithmischer Darstellung ¨andert sich ausgehend von diesem Anfang bei jeder Eckfrequenz von Gleichung (1). Hier knickt der Amplitudengang ab: 1. jeder (reelle) Pol, d.h. jedes Glied der Form 1 , 1 ± ωsi erniedrigt die Steigung des Amplitudenganges um den Wert 1 in der doppelt logarithmischen Darstellung (20dB pro Dekade). 2. jedes konjugiert komplexe Polpaar (|T1i | <

2 ωi )

, d.h. jedes Glied der Form

1 , 1 + T1i s + ( ωs i )2 erniedrigt die Steigung des Amplitudenganges um den Wert 2 in der doppelt logarithmischen Darstellung. 3. jede (reelle) Nullstelle, d.h. jedes Glied der Form   s 1± , ωi erh¨oht die Steigung des Amplitudenganges um den Wert 1 in der doppelt logarithmischen Darstellung. 4. jedes konjugiert komplexe Nullstellenpaar (|T1i | <

2 ω i ),

d.h. jedes Glied der Form

  s 2 1 + T1i s + ( ) , ωi erh¨oht die Steigung des Amplitudenganges um den Wert 2 in der doppelt logarithmischen Darstellung.

Verlauf des asymptotischen Phasenganges Analog zum asymptotischen Verlauf der Amplitude wird beim asymptotischen Verlauf des Phasenganges zuerst ein Anfangspunkt ϕ(0) bestimmt, von dem ausgehend der Phasengang bei jeder Eckfrequenz einen Sprung ∆ϕ um Vielfache von π2 macht. Dabei gilt: 1. Jedem (reellen) Pol si entspricht eine ¨Anderung des Phasenganges ϕ bei dem Frequenzwert ωi um Re(si ) ∆ϕ ϕ(0) 0

π 2

0.

2. Jedem konjugiert komplexen Polpaar si1,2 (|T1i | < des Phasenganges ϕ bei dem Frequenzwert ωi um

2 ωi )

¨ nderung entspricht eine A

Re(si1,2 ) ∆ϕ ϕ(0) 0

π

0.

Bemerkung: Re(si1,2 ) < 0 entspricht T1i > 0 und umgekehrt. ¨ nderung des Phasenganges ϕ bei dem 3. Jeder (reellen) Nullstelle si entspricht eine A Frequenzwert ωi um Re(si ) ∆ϕ ϕ(0) 0

− π2

0.

4. Jedem konjugiert komplexen Nullstellenpaar si1,2 (|T1i | < ¨ Anderung des Phasenganges ϕ bei dem Frequenzwert ωi um

2 ωi )

entspricht eine

Re(si1,2 ) ∆ϕ ϕ(0) 0

−π

0.

5. Ein negativer Verst¨ arkungsfaktor f¨ uhrt zu einer Verschiebung des gesamten Phasenganges um den Wert π ....