Hilfsblatt Laplace-Transformation PDF

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Laplace Transformation...

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Institute for Systems Theory and Automatic Control Uni Stuttgart Prof. Dr.-Ing. C. Ebenbauer 9. April 2014 ts, pw, hd Systemdynamische Grundlagen der Regelungstechnik http://www.ist.uni-stuttgart.de/education/courses

Hilfsblatt: Laplace-Transformation Definition Sei f : R → R, wobei f (t) = 0 f¨ur t < 0, dann wird durch Z ∞ f (t)e−st dt, s ∈ C L{f (t)} = F (s) = 0

die Laplace-Transformierte von f (t) definiert. Das Integral konvergiert wenn endliche K und γ existieren, so dass |f (t)| ≤ Keγt f¨ur t ∈ R und Re(s) = σ > γ gilt. F¨ur die Korrespondenz schreibt man auch F (s) • − ◦ f (t)

Transformationsregeln Linearit¨at:

L{αf1 (t) + βf2 (t)} = αL{f1 (t)} + β L{f2 (t)}

¨ Ahnlichkeitssatz:

L{f (at)} = 1a F ( as )

Verschiebungssatz:

L {f (t − Tt )} = e−sTt F (s) f¨ur Tt ≥ 0 (Rechtsverschiebung) L {f (t − Tt )} = e−sTt F (s) − e−sTt

R −Tt 0

f (τ )e−sτ dτ f¨ur Tt < 0 (Linksverschiebung)

D¨ampfungssatz:

L{eat f (t)} = F (s − a)

Differentiationssatz:

L{ ddtnf (t)} = − ddtn−1f (0) − s ddtn−2f (0) − ... − sn−1 f (0) + sn F (s)

Integrationssatz:

Rt L{ 0 f (τ )dτ } = 1s F (s)

Faltungssatz:

L {f1 (t) ∗ f2 (t)} = F1 (s)F2 (s)

Grenzwerts¨atze:

limt→0 f (t) = lims→∞ sF (s) (Anfangswertsatz)

n

n−1

n−2

limt→∞ f (t) = lims→0 sF (s) (Endwertsatz)

Korrespondenzen f (t) =

1 2πj

R c+j∞ c−j∞

F (s)est ds

F (s) =

R∞ 0

δ(t)

1

σ(t) und 1

1 s

tn , n = 1, 2, 3, ...

n! sn+1

tn e−at

n! (s+a)n+1

cos ω0 t

s2 +ω 20

f (t)e−st dt

s

sin ω0 t

ω0 s2 +ω 20

e−at cos ω0 t

s+a (s+a)2 +ω02

e−at sin ω0 t

ω0 (s+a)2 +ω02

t cos ω0 t

s2 −ω 20 (s2 +ω02)2

t sin ω0 t

2ω0 s (s2 +ω02)2

Beweise der Transformationsregeln Linearit¨ at Z

L{αf1 (t) + βf2 (t)} =

∞ 0

= α

Z

0

(αf1 (t) + βf2 (t))dt Z ∞ ∞ f1 (t)dt + β f2 (t)dt 0

= αL{f1 (t)} + βL{f2 (t)}  Die Linearit¨at folgt somit direkt aus der Linearit¨at der Integration.

¨ Ahnlichkeitssatz L{f (at)}

Z

= Subst.:τ =at

=

=

∞

f (at)e−st dt 0

Z sτ 1 ∞ f (τ )e− a dτ a 0 1 s F( )  a a

Verschiebungssatz L {f (t − Tt )}

=

Z

=

Z

=

Z

Subst.:τ =t−Tt

=

∞

f (t − Tt )e−st dt 0 ∞

f (τ )e−s(τ +Tt ) dτ

−Tt ∞

−s(τ +Tt )

f (τ )e 0

e−sTt

dτ +

Z

0

f (τ )e−s(τ +Tt ) dτ

−Tt

Z

∞

f (τ )e−sτ dτ + e−sTt 0

Z

0

f (τ )e−sτ dτ | −Tt {z }

=0 f. Tt ≥0 wegen f (t)=0 f. t...