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Domino de S...

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE ACAPULCO ELECTROMECANICA

ANALISIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA

UNIDAD VI: ANALISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LAPLACE TRABAJO DE INVESTOGACION: CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE S

OBED CARBAJAL PERDOMO 18320477

CICLO ESCOLAR 2020-2021

Contenido La respuesta natural de un circuito RLC. Variaciones...........................................................................................3 Qué vamos a construir..............................................................................................................................3 RESPUESTA FORZADA DEL CIRCUITO DE SEGUNDO ORDEN.................................................................................6 RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO DE SEGUNDO ORDEN..............................................................................7 Transformada de Laplace: Análisis de circuitos en el dominio S..........................................................................8 CONCLUSION......................................................................................................................................................11 REFERENCIAS......................................................................................................................................................12

La respuesta natural de un circuito RLC. Variaciones Introducción Respuesta Natural y Forzada. La respuesta completa en los circuitos RC tiene dos componentes: la respuesta natural y la respuesta forzada. Respuesta completa = Respuesta natural + Respuesta forzada. La respuesta natural es la solución general de la ecuación diferencial que representa el circuito de primer orden, cuando la entrada se hace igual a cero. La respuesta forzada es una solución particular de la ecuación diferencial que representa el circuito. La respuesta natural de un circuito con un resistor, un inductor y un capacitor puede tomar tres formas diferentes, dependiendo de los valores específicos de sus componentes.

Qué vamos a construir La ecuación característica del circuito RLC es

s 2+ LR s+ LC 1=0

Vamos a encontrar las raíces de la ecuación característica mediante el uso de la fórmula cuadrática: s=

−R ± √ R 2−4 L/C 2L

de manera un poco más sencilla como:

s=−α ± √ α 2−ωo 2 donde: α=

R 2L

; ωo=

1 LC √

se llama el factor de amortiguamiento y

α

ωo

es la frecuencia de

resonancia. Dependiendo del tamaño relativo de α

y de

ωo

habrá tres formas diferentes

para la solución para i(t) 

Sobre amortiguado, conduce a la suma de dos exponenciales decrecientes.



críticamente amortiguado, nos da t multiplicado por una exponencial decreciente.



Sub amortiguado, conduce a un seno decreciente.

Si tus estudios de ingeniería te llevan al área de Teoría de Control, estos términos se usan para describir cómo actúan los sistemas dinámicos. Por ejemplo, el movimiento de los brazos de un robot se puede describir con una ecuación diferencial de segundo orden. Si le pides a tu robot que alcance un objeto rápidamente, puedes describir cómo se mueve su mano por medio de estas palabras.

RESPUESTA FORZADA DEL CIRCUITO DE SEGUNDO ORDEN Como en el caso de primer orden, para obtener la respuesta de estado estable, se propone una solución forzada que en la mayoría de los casos tendrá la misma forma que la excitación. Esta solución sugerida, se sustituye en la ecuación diferencial para calcular el valor de amplitud de sus componentes. A continuación se indican las soluciones particulares para las funciones de excitación más usuales:

El resultado es la respuesta permanente o forzada. Para calcular con rapidez la respuesta permanente se aplican los mismos procedimientos empleados para los circuitos de primer orden. NOTA: La función excitadora puede contener términos de la misma naturaleza que la solución homogénea, en ese caso las olución particular propuesta deberá distinguirse de la respuesta transitoria, multiplicándola por un polinomio en t cuyo grado sea mayor al que aparece en la solución homogénea.

RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO DE SEGUNDO ORDEN Al igual que en el circuito de primer orden, la solución completa del circuito de segundo orden se obtiene, sumando la respuesta transitoria con la permanente. Por último se sustituyen las condiciones iniciales para calcular el valor de las constantes asociadas a la respuesta transitoria A continuación se presentan las respuestas completas simuladas para entrada escalón de los circuitos RLC en serie y en paralelo.

Transformada de Laplace: Análisis de circuitos en el dominio S La transformada de Laplace L es definida como una regla que asocia a la función de tiempo con una función de una variable compleja

F(s) (es llamada la transformada de Laplace de f(t). El plano complejo donde se encuentra definido s y en el cual F(s) toma valores es llamado dominio S. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver ecuaciones diferenciales e íntegro-diferénciales, como las son las ecuaciones del análisis de circuito básico. La ecuación o ecuaciones son primeramente transformadas y luego resueltas en términos algebraicos. Las formas de estas ecuaciones en el dominio S son similares a las obtenidas mediante el uso de análisis fasorial, con la variable s reemplazando la variable de fasor jw Por lo cual no es de sorprender que los mismos métodos generales utilizados en el contexto de Fasores puedan ser igualmente aplicados en el dominio S, mas notablemente análisis nodal y de malla usando impedancias para caracterizar los elementos del circuito RLC. II. ANÁLISIS DE CIRCUITOS Veremos cómo las formas tomadas por las leyes de circuitos más populares cuando son transformadas al dominio S. Considerando la malla y el nodo de la Fig. 1. Aplicando las leyes de Kirchhoff tenemos que:

Transformando estas ecuaciones se tiene que:

La suma de las caídas de potencial alrededor de un loop cerrado es cero, y las corrientes entrando a un nodo suman cero, aun después de aplicar la transformación de Laplace. Las leyes para el voltaje y corrientes de Kirchhoff permanecen invariantes en el dominio S A. Leyes de los elementos RCL Considerando las leyes de los elementos RLC ,y luego transformando ambos lados. Se tiene que la ley de Ohm

B. Impedancia El factor de proporcionalidad entre el voltaje y la corriente en el primer término es la impedancia Z(s) Definimos la impedancia Z(s) de un elemento RLC como el cociente de V(s) con I(s) cuando todas las condiciones iniciales son cero

Aplicando esto a las ecuaciones antes citadas se tienen las siguientes impedancias:

C. Función de transferencia Algunas veces deseamos saber la relación entre una fuente particular llamada entrada y otra variable de circuito llamada salida. Resulta que el análisis en el dominio S es particularmente útil para análisis entrada salida.

Con esto se tiene que el valor en el dominio S de salida para cualquier entrada es el producto de la función de transferencia y la entrada H(s) se puede predecir para cualquier entrada la salida generada.

Ahora consideremos un sistema lineal invariante en el tiempo caracterizado por la siguiente ecuación diferencial:

CONCLUSION Se puede apreciar claramente como el uso de transformadas de Laplace resulta en una poderosa herramienta para el análisis de circuitos de segundo orden. Mediante la cual, el análisis de circuitos se simplifica al trabajar en el dominio S, en el cual se trabaja como si se estuviera en estado estacionario, y con la función de transferencia encontrada se puede obtener mucha información sobre el comportamiento del circuito, en ella tienen especial importancia tanto los polos como los ceros para indicar características como sea respuesta en frecuencia, estabilidad, frecuencia de quiebre, entre otros.

REFERENCIAS [1] David E. Johnson, Johnny R. Johnson, John L. Hilburn, Peter D. Scott, “Electric Circuit Analysis”, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey. Tercera edición 1997, pp. 520-531. [2] G. James, "Matemáticas avanzadas para ingeniería", Pearson Educación, segunda edición 2002, pp. 177- 179....