Integral Lipat pada Koordinat Kutub PDF

Preview

Summary

Kalkulus Multivariabel I Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel I / 20 Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Terdapat bebera...

Description

Kalkulus Multivariabel I Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014

Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()

Kalkulus Multivariabel I

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20

Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Terdapat beberapa kurva tertentu pada suatu bidang yang lebih mudah dijelaskan dengan menggunakan koordinat Kutub. Misalkan z = f (x, y ) menentukan sebuah permukaan atas R (lihat gambar) dan andaikan f kontinu dan tak negatif.

Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()

Kalkulus Multivariabel I

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20

Maka volume V benda padat di bawah permukaan tersebut dan di atas R dapat dinyatakan ZZ V = f (x, y )dA R

Di dalam koordinat kutub, persegi panjang kutub R mempunyai bentuk R = {(r , θ) : a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β} di mana a ≥ 0 dan β − α ≤ 2π. Demikian pula, persamaan permukaan dapat ditulis sebagai z = f (x, y ) = f (r cos θ, r sin θ) = F (r , θ) Kita akan menghitung volume V dengan cara baru yaitu dengan menggunakan koordinat kutub.

Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()

Kalkulus Multivariabel I

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20

Bagi R menjadi partisi-partisi yang lebih kecil berbentuk persegi panjang kutub R1 , R2 , . . . , Rn dengan menggunakan kisi kutub, dan misalkan ∆rk dan ∆θk menyatakan dimensi potongan Rk . Luas A(Rk ) dinyatakan dengan A(Rk ) = ¯rk ∆rk ∆θk di mana ¯rk adalah jari-jari rata-rata Rk .

V ≈ Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()

n X

F (¯rk , θ¯k )¯rk ∆rk ∆θk

k=1

Kalkulus Multivariabel I

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20

Gunakan limit sebagai aturan pembagian partisi yang mendekati nol, maka akan diperoleh volume yang sebenarnya. Limit ini adalah sebuah integral lipat-dua. ZZ ZZ V = F (r , θ)r dr dθ = f (r cos θ, r sin θ)r dr dθ R

R

Dari uraian di atas, kita mempunyai dua rumus untuk V yaitu ZZ ZZ f (x, y )dA = f (r cos θ, r sin θ)r dr dθ R

Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()

R

Kalkulus Multivariabel I

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20

Contoh: Tentukan volume V dari benda padat di atas persegi panjang kutub (lihat gambar) n πo R = (r , θ) : 1 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ 4 dan di bawah permukaan z = e x

Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()

2 +y 2

.

Kalkulus Multivariabel I

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20

Penyelesaian: Karena x 2 + y 2 = r 2 , maka ZZ 2 2 V = e x +y dA R

=

 Zπ/4 Z3 0

=

Zπ/4 0

Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()



1

r2



e r dr  dθ =

Zπ/4 0

1 r2 e 2

3

dθ

1

1 9 π (e − e)dθ = (e 9 − e) ≈ 3181  2 8

Kalkulus Multivariabel I

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20

Daerah Umum 1. Himpunan Sederhana-r Himpunan S dikatakan himpunan sederhana-r jika himpunan tersebut berbentuk S = {(r , θ) : φ1 (θ) ≤ r ≤ φ2 (θ), α ≤ θ ≤ β}

V =

θ=β Z 2 (θ) Z r =φ

f (r , θ)r dr dθ

θ=α r =φ1 (θ) Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()

Kalkulus Multivariabel I

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20

2. Himpunan Sederhana-θ Himpunan S dikatakan himpunan sederhana-θ jika himpunan tersebut berbentuk S = {(r , θ) : a ≤ r ≤ b, ψ1 (r ) ≤ θ ≤ ψ2 (r )}

r =b θ=ψ Z 2 (r ) Z V = f (r , θ)r dθ dr r =a θ=ψ1 (r )

Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()

Kalkulus Multivariabel I

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20

Contoh: RR Hitunglah ydA di mana S adalah daerah di kuadran pertama yang S

berada di luar lingkaran r = 2, serta di dalam kardioid r = 2(1 + cosθ)

Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()

Kalkulus Multivariabel I

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20

Penyelesaian: Karena S adalah himpunan sederhana-r , kita dapat menuliskan integral di atas sebagai integral kutub berulang dengan r sebagai peubah pengintegralan sebelah dalam. Di dalam pengintegralan sebelah dalam ini, θ dibuat tetap; pengintegralan dilakukan di sepanjang garis tebal (pada gambar) dari r = 2 sampai r = 2(1 + cosθ). ZZ S

2(1+cosθ) Zπ/2 3 Z Zπ/2 2(1+cosθ) r (rsinθ)r dr dθ = ydA = sinθ dθ 3 2 =

8 3

0

2

0

Zπ/2 0



[(1 + cosθ)3 sinθ − sinθ]dθ

1 8 = − (1 + cosθ)4 + cosθ 3 4

Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()

π/2 0

Kalkulus Multivariabel I

=

22  3

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20

Integral Probabilitas

Pada materi ini, kita dapat membuktikan bahwa integral dari fungsi kepadatan peluang normal standar bernilai satu yaitu Z∞

f (x)dx = 1

−∞

dengan

Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()

1 2 f (x) = √ e −x /2 2π

Kalkulus Multivariabel I

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20

Pertama, kita akan menunjukkan bahwa I =

R∞

2

e −x dx =

0

Ingat kembali bahwa I =

Z∞ 0

e

−x 2

dx = lim

b→∞

Zb

√

π 2 .

2

e −x dx

0

Misalkan Vb merupakan volume benda padat yang terletak di bawah 2 2 permukaan z = e −x −y dan di atas bujursangkar dengan titik potong (±b, ±b), lihat gambar, maka

Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()

Kalkulus Multivariabel I

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20

Vb =

Zb Zb

e −x

2 −y 2

dy dx =

−b

−b −b

=

Zb

Zb

2

e −x dx

−b

Zb −b



2 e −x 

2

e −y dy = 

Zb

−b



e −y dy  dx

−b



2

Zb

2

2



e −x dx  = 4  2

Zb 0

2

2

e −x dx 

2

Ternyata volume daerah di bawah z = e −x −y dan di atas seluruh bidang xy adalah 2  b Z 2 V = lim Vb = lim 4  e −x dx  b→∞

b→∞

0



= 4 Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()

Z∞ 0

2

2

e −x dx  = 4I 2 Kalkulus Multivariabel I

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20

Di sisi lain, kita juga dapat menghitung V dengan menggunakan koordinat kutub. Di sini, V adalah limit ketika a → ∞ dari Va , volume benda padat 2 2 2 tersebut di bawah permukaan z = e −x −y = e −r , di atas daerah melingkar berjari-jari a yang berpusat di titik asal (lihat gambar), maka

Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()

Kalkulus Multivariabel I

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20

V = lim Va = lim a→∞

a→∞

Z2π Za 0

= lim

a→∞

Z2π  0

1 = lim a→∞ 2

1 2 − e −r 2

Z2π h 0

h

a→∞

0

a

2

i

dθ

0

1 − e −a

= lim π 1 − e −a

2

e −r r dr dθ

2

i

dθ

=π

Dengan memasukkan kedua nilai yang diperoleh untuk V dengan menggunakan integral biasa dan integral dalam koordinat kutub di atas, √  akan dihasilkan 4I 2 = π atau I = 12 π. Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()

Kalkulus Multivariabel I

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20

Selanjutnya, setelah diperoleh I =

R∞

2

e −x dx =

0

bahwa

Z∞

√

π 2 ,

akan ditunjukkan

1 2 √ e −x /2 dx = 1 2π

−∞

Berdasarkan sifat simetri, Z∞ −∞

Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()

1 2 √ e −x /2 dx = 2 2π

Z∞ 0

1 2 √ e −x /2 dx 2π

Kalkulus Multivariabel I

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20

√ Lakukan substitusi u = √x2 sehingga dx = 2du. Batas-batas pada integral tetap sama sehingga kita memperoleh Z∞ −∞

1 2 √ e −x /2 dx = 2 2π

Z∞ 0

1 2√ √ e −u 2du 2π

√ Z∞ 2 2 2 =√ e −u du 2π 0 √ √ 2 2 π =1 =√ 2π 2

Jadi terbukti bahwa integral dari fungsi kepadatan peluang normal standar bernilai satu. 

Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()

Kalkulus Multivariabel I

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20

Latihan

1. Hitung integral-integral berulang berikut a.

π/2 Rθ R cos 0

b.

r 2 sin θ dr dθ

0

Rπ 1−cos R θ 0

r sin θ dr dθ

0

2. Tentukan luas daerah S dengan menghitung daerah tersebut terlebih dahulu

RR

r dr dθ dan sketsa

S

a. S adalah daerah di dalam lingkaran r = 4 cos θ dan di luar lingkaran r =2 b. S adalah daerah di luar lingkaran r = 2 dan di dalam lemniskat r 2 = 9 cos 2θ

Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()

Kalkulus Multivariabel I

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20

3. Hitung integral berikut dengan menggunakan koordinat kutub dan sketsa daerah pengintegralannya terlebih dahulu 2

2

e x +y dA, di mana S adalah daerah yang dibatasi oleh x 2 + y 2 = 4 S p RR b. 4 − x 2 − y 2 dA, di mana S adalah sektor kuadran pertama dari a.

RR S

lingkaran x 2 + y 2 = 4 di antara y = 0 dan y = x

Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()

Kalkulus Multivariabel I

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20

Pustaka

Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga. Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem of Advanced Calculus. Schaum Outline Series. New York: Mc Graw-Hill. Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus , Jilid 2. Jakarta : Erlangga. Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 Solved Problems in Calculus. New York: Mc Graw-Hill.

Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()

Kalkulus Multivariabel I

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20...