Integralen PDF

Preview

Summary

integralen...

Description

Integralen: integratietechnieken De meest voorkomende technieken voor het oplossen van onbepaalde integralen zijn: 1. 2. 3. 4.

Fundamentele integralen Splitsen Substitutie Partiële integratie

Het is een kwestie van (snel) te herkennen welke methode je op welk soort integraal toepast om deze op te lossen. Door veel te oefenen ga je dit beter en beter kunnen. De methode hangt af van de vorm van de integrand. Bij elke gegeven integraal loop je eerst het lijstje af. Is het een fundamentele integraal?  

Indien ja, dan is de integraal opgelost door in je lijst de betreffende integraal op te zoeken Indien nee, volgende stap

Opmerkingen  

De lijst van fundamentele integralen moet je van buiten kennen!! Het oplossen van onbepaalde integralen mbv integratietechnieken is in essentie steeds het terug werken naar een fundamentele integraal

Kan ik splitsen? Maw is de integrand een som of een verschil, of kan ik een som of een verschil bekomen door een product uit te werken of een (goniometrische) formule toe te passen of iets dergelijks? Bvb ∫ 𝑥 3 + 6𝑥 𝑑𝑥

Bvb ∫ 𝑥(𝑥 2 + 6)𝑑𝑥 -> uitwerken!, niet meteen splitsen!! Bvb ∫  

𝑠𝑖𝑛2 𝑥

𝑐𝑜𝑠2 𝑥

𝑑𝑥 -> sin²x vervangen door 1-cos²x en dan splitsen

Indien ja, los dan de gesplitste integralen op en tel ze op of trek ze af Indien nee, volgende stap

Opgelet:  

Splitsen mag niet bij een product!! Sommen en verschillen in de noemer mag je niet splitsen

Kan ik substitutie toepassen? Dit kan in twee gevallen:

Het Volkomen Kwadraat Studiebegeleiding Wiskunde en Fysica Voor alle niveaus Met speciale aandacht voor HB en dyscalculie

www.hetvolkomenkwadraat.be www.toegangsexamengeenskunde.be www.spelenmetwiskunde.net

1. Als je een fundamentele integraal herkent, maar je deze toch niet zomaar kan oplossen omdat er een functie ofzo instaat die je tegenhoudt Bvb ∫(2𝑥 + 3)5 𝑑𝑥 2. Als het argument van de integraal bestaat uit een functie en haar afgeleide Bvb ∫

𝑙𝑛 𝑥 𝑥

𝑑𝑥

Kan ik partiële integratie toepassen? En dan als laatste, als al de rest niet gewerkt heeft, is het de beurt aan partiële integratie. Deze methode is gebaseerd op onderstaande formule: ∫ 𝒖𝒗′ = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒖′ 𝒗 Je kiest een deel van de integrand als ‘u’ en een deel als v’. ‘u’ moet je afleiden en v’ integreren om de formule in te kunnen vullen. Hierdoor is de keuze van u en v’ beperkt omdat bvb ln x integreren veel moeilijker is dan ln x afleiden. Op basis hiervan heb ik de methode opgedeeld in 4 soorten: 1. Machten afbouwen Toepassen in geval van een macht en een sinus, cosinus of e-macht Dan de macht als ‘u’ nemen en net zo dikwijls partieel integreren als de macht hoog is Als de sinus, cosinus of e-macht verheven zijn tot een bepaalde macht, moet je nog meer keren partieel integreren. Sinus, cosinus en e-macht kunnen wel een coëfficiënt voor de x hebben zonder dat er iets aan de methode verandert. Bvb ∫ 𝑥 2 sin 3𝑥 𝑑𝑥 2. Machten opbouwen Toepassen in geval van een macht en een natuurlijke logaritme Dan de logaritme als ‘u’ nemen Ook hier zal het aantal keer partieel integreren met het toenoemen van de macht op de ‘ln’. Bvb ∫ 𝑥 2 ln 𝑥 𝑑𝑥 3. De truc met de 1 Als je geen product hebt, maak je er een van door 1 toe te voegen in de integrand En dan stel je 1 gelijk aan v’ (want als je 1 gelijk stelt aan u, krijg je 0, en kan je niks meer doen) Bvb ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 4. Recursie Het Volkomen Kwadraat Studiebegeleiding Wiskunde en Fysica Voor alle niveaus Met speciale aandacht voor HB en dyscalculie

www.hetvolkomenkwadraat.be www.toegangsexamengeenskunde.be www.spelenmetwiskunde.net

Bij combinatie sinus en cosinus of e-macht (min.) 2x partieel integreren (afhankelijk van de machten van sin, cos en ‘e’, indien exponent 1, 2x PI) Integraal I noemen Op het einde krijg je ook in de uitdrukking rechts een aantal malen I. naar links brengen en delen door de factor. Bij deze soort mag je u en v’ vrij kiezen. Bij de tweede keer moet je echter wel dezelfde keuze maken, anders werk je je zelf tegen. Bvb stel je de e-macht gelijk aan u, dan is de ‘u’ de tweede keer ook de e-macht Bvb ∫ sin 3𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 Opmerkingen partiele integratie:    

Door deze verschillende soorten te leren herkennen, kan je de keuze voor u en v’ meteen op de juiste manier doen waardoor je geen tijd verliest Je hebt een product nodig in het argument! Als je u en v’ hebt gekozen moet de hele integrand opgebruikt zijn ….

En dan zijn er nog enkele speciale gevallen en trukjes die je kan toepassen. Bvb ∫

𝑥 2 +3

𝑥 2 +1

𝑑𝑥 los je op door de teller gelijk te maken aan de noemer!

Dan krijg je ∫

𝑥 2 +1

𝑥 2 +1

2

𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 2+1 𝑑𝑥

(1+2=3 ) in wezen, is dit splitsen, soms is dit wel iets ingewikkelder! Men kan ook Euclidisch delen om hetzelfde te bekomen. In moeilijkere gevallen is dat de aangewezen methode omdat zelf de juiste combinatie maken soms niet zo evident is. enz

Het Volkomen Kwadraat Studiebegeleiding Wiskunde en Fysica Voor alle niveaus Met speciale aandacht voor HB en dyscalculie

www.hetvolkomenkwadraat.be www.toegangsexamengeenskunde.be www.spelenmetwiskunde.net...