2020 oktober oefenbundel wiskunde(integralen, vectoren,...) PDF

Preview

Summary

Talrijke oefeningen verbonden met heel wat themas ( integralen,vectoren, ....)van de derde graad aso wiskunde (vijfde en zesdes) sint-jozefscollege...

Description

Oefenmodules ijkingstoets burgerlijk ingenieur ijkingstoets burgerlijk ingenieur-architect

R. Callens, T. De Laet, K. Paes KU Leuven, faculteit ingenieurswetenschappen

november 2020

De QR-codes verwijzen naar online applets en clips. Je kan de QR-code scannen met een QR-app, bijvoorbeeld i-nigma. Je kan ook de link volgen die naast de QR-code staat, die aanklikbaar is in de pdf-versie.

De oefeningen in deze bundel zijn afkomstig uit ijkingstoetsen burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieurarchitect, een samenwerking van de Vlaamse universiteiten Vrije universiteit Brussel, Universiteit Gent en KU Leuven (www.ijkingstoets.be).

Oefenmodules ijkingstoets 2020, Faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven

3

Inhoudsopgave 1 READY? 1.1 Elementaire rekenvaardigheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Functies en grafieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6 7

1.3 Exponentiële en logaritmische functies, goniometrische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7 Goniometrie, vlakke meetkunde en rekenen met vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.8 Analytische meetkunde in 1 en 2 dimensies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.9 Ruimtemeetkunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.10Veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.11Matrices en stelsels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.12Vraagstukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.13Telproblemen/kansrekenen/statistiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 SET?

22

2 Grafische en meetkundige voorstellingen: basis 22 2.1 Grafische voorstellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Meetkundige voorstellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Werken met formules: basis 3.1 Rekenenvaardigheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Goniometrische vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Matrices en stelsels van vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Telproblemen/kansrekenen/statistiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Wiskundige Analyse: basis

36 36 36 37 39 40 41 43

4.1 Reële functies: tekenverloop, definitiegebied, limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2 Afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3 Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 GO!

46

5 Grafische en meetkundige voorstellingen, vraagstukken: uitdaging 6 Werken met formules: uitdaging 6.1 Vergelijkingen, Matrices en stelsels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Telproblemen/kansrekenen/statistiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46 54 54 55 56 57

7 Analyse: uitdaging 58 7.1 Reële functies: tekenverloop, definitiegebied, limieten, inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 7.2 Afgeleiden en optimalisatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7.3 Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Uitgewerkte oplossingen deel 1

64

Correcte antwoorden

76

Formularium

77

Oefenmodules ijkingstoets 2020, Faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven

5

Weet waar je staat, voor je naar de ijkingstoets gaat! Deze modules zijn bedoeld om je je voor te bereiden op de ijkingstoets burgerlijk ingenieur of burgerlijk ingenieur-architect en zijn opgedeeld in drie niveaus’s.

De eerste module bestaat uit redelijk gemakkelijke ijkingstoetsvragen - meer dan 70% van de deelnemers had ze juist. Deze oefeningen zijn ideaal om kennis te maken met de ijkingstoets en zijn meerkeuzevragen. Ze stellen je in staat om na te gaan welke onderwerpen je al voldoende beheerst om de volgende modules aan te vatten en van welke onderwerpen je de theorie moet herhalen. Achteraan deze bundel vindt je uitgewerkte modeloplossingen voor de oefeningen uit deze module, zodat je deze oefeningen thuis kan maken als voorbereiding op de oefensessie.

Vanaf de tweede module ga je aan de slag met oefeningen die 50 tot 70% van de deelnemers juist beantwoord hebben. Onze selectie is gesorteerd volgens verschillende onderwerpen, zodat je zelf kan kiezen welke topics je extra wil inoefenen. Dankzij deze modules kom je niet alleen vol vertrouwen aan de start van de ijkingstoets, maar ook aan de start van de opleiding.

De uitdagingsmodules zijn een echte aanrader voor wie van uitdaging houdt. Alle geselecteerde oefeningen werden door minder dan de helft van de deelnemers juist beantwoord. Toch bevatten ze allemaal vaardigheden en concepten die je in de loop van het eerste semester onder de knie moet krijgen.

Hulpmiddelen Om een te grote nadruk op het memoriseren van formules te vermijden, heb je tijdens de ijkingstoets een formularium ter beschikking. Dit formularium bevindt zich ook achteraan deze bundel. Bij het oplossen van de oefeningen is het de bedoeling dat je geen gebruik maakt van een rekentoestel, passer of geodriehoek. Deze hulpmiddelen zijn ook niet toegestaan tijdens de ijkingstoets.

6

Oefenmodules ijkingstoets 2020, Faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven

1 READY? 1.1 Elementaire rekenvaardigheden Oefening 1.1 Welke van onderstaande beweringen is geldig voor elk reëel getal  < −1? Æ (A) ( + 1) 2 > − − 1 Æ p (B) ( + 1) 2 > 2 + 1 Æ p (C) ( + 1) 2 < 2 + 1 Æ (D) ( + 1) 2 <  Oefening 1.2 Hoeveel (reële) oplossingen heeft de vergelijking | − 1| = 2 + 1?

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) 4

Oefening 1.3 De rij getallen n , met n ∈ N, wordt recursief gedefinieerd: 0 = 1, en n = e · n−1 voor n ≥ 1. 10 X Bereken ln  . =0

(A) 10

(B) 50

(C) 55

(D) 100

Oefening 1.4 Wat is het product van de oplossingen van de volgende vergelijking? 4 (A) -2

(B) -1

(C) 0

(D) 1

2

−2

− 27 = 0

(E) 2

Oefening 1.5 Wat is het product van de oplossingen van de vergelijking 5 (A) −14

(B) −12

(C) −10

(D) 10

2

−3−12

= 0, 04 ?

(E) 12

Oefening 1.6

p Gegeven is de functie ƒ met voorschrift ƒ : R+ → R :  7 → y = 2 − 6  − 5. Verder is de rechte  de rechte door de punten P(1, 2) en Q(2, 1). Welke is de -coördinaat van het snijpunt van de grafiek van de functie ƒ met de rechte ? (A) −10

(B) 1

(C) 2

(D) 4

(E) 9

Oefenmodules ijkingstoets 2020, Faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven

7

1.2 Functies en grafieken Oefening 1.7 Gegeven de functies ƒ : R → R en g : R → R met als grafiek onderstaande figuur. 3 ƒ ()

0

1

2



3 g()

−3 Welk van onderstaande grafieken is de grafiek van het product p van deze functies p : R → R :  7→ p () = ƒ () · g ()? (A)

3

0

1

2



3

0

1

2



3

−3

−3 3

(C)

0

−3

(B)

3

1

2

3

3



(D)

0

−3

1

2

3



8

Oefenmodules ijkingstoets 2020, Faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven

Oefening 1.8 Gegeven zijn de grafieken van twee reële functies ƒ en g. De schaal is voor beide figuren dezelfde. y

y

x

x

grafiek van g

grafiek van f

Welke van de volgende figuren is de grafiek van |ƒ | − |g| ? y

y

x

(A)

x

(B)

y

x

(E)

x

(C)

y

x

(D)

y

Oefenmodules ijkingstoets 2020, Faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven

9

Oefening 1.9 Onderstaande figuur geeft de grafiek van de functie ƒ : R → R weer met een volle lijn en de grafiek van de functie g : R → R met een streepjeslijn. Welk van onderstaande uitspraken is geldig? 3

(A) ƒ () = g( + 2)

ƒ ()

2

(B) ƒ () = g() + 2 (C) ƒ () = 2g ( +  )  (D) ƒ () = 2g() +  g() 

0 Oefening 1.10

Onderstaande figuur geeft de grafiek van de functie ƒ : R → R weer met een volle lijn en de grafiek van de functie g : R → R met een puntjeslijn. Welk van onderstaande uitspraken is geldig? 2 ƒ ()



g()

−2b

−b

0

b

2b



(A) ƒ () = g( + ) + b (B) ƒ () = g( − ) + b (C) ƒ () = g( + b) +  (D) ƒ () = g( − b) + 

clip: https://eng.kuleuven.be/media/DSB/tipclip_9_ir_vraag4

Oefening 1.11 De grafiek van de functie ƒ : R → R is de rechte door de punten (0 , 1 ) en (7 , 6 ). De functie g is de inverse functie van ƒ . Bepaal g(3). (A) g(3) =

14 5

(B) g (3) = 3

(C) g (3) =

17 6

(D) g(3) =

22 7

10

Oefenmodules ijkingstoets 2020, Faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven

1.3 Exponentiële en logaritmische functies, goniometrische functies Oefening 1.12 De functie ƒ : R → R :  7 → ƒ () = e |−2| bereikt in het punt (, ƒ ()) een absoluut minimum. Bepaal ƒ (). (A) ƒ () = 0

(B) ƒ () = 1

(C) ƒ () = e

(D) ƒ () = e 2

Oefening 1.13 Van een functie ƒ : R → R :  7 → ƒ () zegt men dat ze additief is als en slechts als, voor alle  en y in R, ƒ ( + y ) = ƒ () + ƒ ( y ) Welke van de volgende uitspraken is correct? (A) ƒ met ƒ () = ln() is additief. (B) ƒ met ƒ () = e  is additief. (C) ƒ met ƒ () = cos  is additief. (D) ƒ met ƒ () = ( + 2) 2 − 2( + 2) is additief. (E) ƒ met ƒ () = ( + 2) 2 − ( − 2) 2 is additief. Oefening 1.14 Hoeveel verschillende reële nulpunten heeft de functie ƒ : R → R :  7 → ƒ () = (3 − 1) ln(2 + 1)? (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5

1.4 Limieten Oefening 1.15 42 + 3 . Bereken volgende limiet: L = lim →0 22 + 1 (A) L = 0

(B) L = 1

(C) L = 2

(D) L = 3

Oefening 1.16 Veronderstel dat m 6= 0 een vast natuurlijk getal is. Waaraan is lim

n→∞

(A)

m m−1

(B) m

(C) 1

(D) -1

Oefening 1.17 Beschouw de functie ƒ : R0+ → R :  7→ ƒ () = Welke van volgende uitspraken is geldig? (A) lim ƒ () is niet eindig. →0

(B) lim ƒ () = lim ƒ () →0

→+∞

(C) lim ƒ () > lim ƒ () →0

→+∞

(D) lim ƒ () < lim ƒ () →0

→+∞

3 + 22 33 + 2

(E) −m

nm m−n

gelijk?

Oefenmodules ijkingstoets 2020, Faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven

1.5 Afgeleiden Oefening 1.18

Bepaal de afgeleide van de functie ƒ : ] − (A) ƒ ′ () = − tn  (B) ƒ ′ () = (C) ƒ ′ () = (D) ƒ ′ () = (E) ƒ ′ () =

cos  π π . , [ → R :  7→ ƒ () = sin  − 1 2 2

− sin  cos  − 1 1 sin  − 1 − sin  − 1

(sin  − 1) 2 −2

(sin  − 1) 2

Oefening 1.19 Definieer de functie ƒ : R → R :  7 →  cos(2 ). p Bepaal de afgeleide van de functie ƒ in het punt 2π/ 2. p (A) ƒ ′ ( 2π/ 2) = − π p p (B) ƒ ′ ( 2 π/ 2 ) = − 2π p p (C) ƒ ′ ( 2 π/ 2 ) = 2 π

p (D) ƒ ′ ( 2 π/ 2 ) = 0 p p (E) ƒ ′ ( 2 π/ 2 ) = 1 − 2π Oefening 1.20 Gegeven ƒ : R → R :  7→ ƒ () = (ln ) 2 . Bereken ƒ ′ (4). (A) ƒ ′ (4) = (B)

ƒ ′ (4)

ln 2 2

= ln 2

(C) ƒ ′ (4) = 2 ln 2 (D) ƒ ′ (4) = 4 ln 2 (E) ƒ ′ (4) = 8 ln 2

11

12

Oefenmodules ijkingstoets 2020, Faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven

Oefening 1.21 p Beschouw de functie ƒ : ] 1, +∞[ → R :  7 → ƒ () = e ln  . Bepaal de afgeleide ƒ ′ (e). (A) ƒ ′ (e) = 1/ 2

(B) ƒ ′ (e) = 1

(C) ƒ ′ (e) = e/ 2

(D) ƒ ′ (e) = e

Oefening 1.22 e Beschouw de functie ƒ : R → R :  7 → ƒ () = e (e ) . Bepaal de afgeleide ƒ ′ (0). (A) ƒ ′ (0) = 0

(B) ƒ ′ (0) = 1

(C) ƒ ′ (0) = e

(D) ƒ ′ (0) = e 2

Oefening 1.23 e  + 1 Welke van onderstaande functies is de afgeleide van de functie met voorschrift ƒ () = ? e (A) g() = (B) g() =

(C) g() =

e − 1 e

e

−1

e

e + 1 e

(D) g() =

e − 1

(E) g() =

e 2 − 1

e 2

e 2

1.6 Integralen Oefening 1.24

Bepaal

Z e2 −e 0

(A) 1

d e+

(B) 2

(C) −e −4 + e −2

(E) −e −4

(D) e 2 − e

Oefening 1.25 Gegeven de functie ƒ : R → R met als grafiek een rechte door de punten (0 , 1 ) en (3, 7). Z 3   Bepaal 2ƒ (2 ) + 1 d 0

(A) 12

(B) 21

(C) 45

(D) 153

Oefening 1.26 Z pπ

2 sin(2 ) d.

Bereken  = 0

(A) −2

(B) −1

(C) 1

(D) 2

Oefenmodules ijkingstoets 2020, Faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven

13

1.7 Goniometrie, vlakke meetkunde en rekenen met vectoren Oefening 1.27 Beschouw het vlak met cartesiaans assenstelsel y. Waar situeert zich het punt P(sin 4 , sin 6 ) (hoeken in radialen). (A) in het eerste kwadrant (Alle punten (, y) met  > 0,y > 0) (B) in het tweede kwadrant (Alle punten (, y) met  < 0,y > 0) (C) in het derde kwadrant (Alle punten (, y) met  < 0,y < 0) (D) in het vierde kwadrant (Alle punten (, y) met  > 0,y < 0) (E) op een coördinaatas (-as of y-as) Oefening 1.28 Bepaal de oppervlakte van de driehoek BCD in onderstaande figuur. D

p

6

(A)

p

(B)

7 4

(C)

3 p 2 p 3+ 3 2

B (D) 1 30 ◦ A

C

3

14

Oefenmodules ijkingstoets 2020, Faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven

Oefening 1.29 Een touw met een totale lengte van 12 m wordt opgespannen zoals geschetst in onderstaande figuur. Eén uiteinde van het touw is vastgemaakt aan een muur, op een hoogte van 5 m boven het grondoppervlak. Aan het andere uiteinde is er een zware massa Mz bevestigd. Op een afstand van 4 m links van het aanhechtingspunt aan de muur wordt het touw over een katrol heen gespannen, die zich op dezelfde hoogte bevindt als het aanhechtingspunt aan de muur. Een kleine massa Mk wordt tussen de muur en de katrol aan het touw opgehangen met behulp van een verbindingsstaaf van 0,5 m. In de evenwichtstoestand bevindt het uiteinde van het touw, dat met de massa Mz verbonden is, zich op een hoogte van 1 m boven het grondoppervlak. De massa Mk bevindt zich dan exact in het midden tussen de katrol en de muur. De staaf waarmee de massa Mk is opgehangen hangt in de evenwichtstoestand perfect vertikaal. De figuur hieronder is een principe-tekening, en is niet op schaal getekend. 4m

0, 5 m Mk 5m

Mz

Hmss

1m

Welk van de onderstaande antwoorden is de beste benadering voor de hoogte van de kleine massa (Hmss )? (A) 1,0 m (B) 1,2 m (C) 1,4 m (D) 1,6 m

Oefenmodules ijkingstoets 2020, Faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven

15

Oefening 1.30 Een architect ontwerpt een piramide met ruitvormig grondplan (zie figuur), waarbij de scherpe hoeken van de ruit 2α meten. De ribben van de piramide die vanuit de scherpe hoeken vertrekken maken een hoek β met het grondvlak. Onderstaande figuur geeft een grondplan en een vooraanzicht van deze constructie. zijde = z

α β

grondplan

hoogte = h

vooraanzicht

Welke relatie geldt tussen de zijde (z) en de hoogte (h) van de piramide ? (A)

h z

= cos α tn β

(B)

h z

= sin α tn β

(C)

h z

= 2 sin α tn β

(D)

h z

=

cos α tn β

(E)

h z

=

sin α tn β

Oefening 1.31 De olympische schans van Garmisch Partenkirchen kunnen we modelleren door een lijnstuk in het cartesische vlak door de punten A(0,a) en B(b,0) met lengte 104 m en torenhoogte a=60 m. De hoek θ is de hellingshoek van deze schans (=hoek van de schans met de horizontale). Welk van onderstaande beweringen is correct? (A) cos θ = 60/ 104 (B) sin θ = 60/ 104 (C) tn θ = 60/ 104 (D) cot θ = 60/ 104 (E) r ctnθ = 60/ 104 Oefening 1.32 Gegeven het vlak met een cartesiaans assenstelsel y en de rechte r met vergelijking 3  − 7 y = −2. De hoek θ is de kleinste hoek die deze rechte maakt met de -as. Welke van onderstaande uitspraken is waar? (A) cos θ = 2/ 7

(B) cos θ = 3/ 7

(C) tn θ = 2/ 7

(D) tn θ = 3/ 7

Oefening 1.33 Beschouw het vlak met cartesiaans assenstelsel y met de -as horizontaal naar rechts en de y-as verticaal naar boven. Hieronder worden alle hoeken gemeten vanaf de positieve -as. We gebruiken de conventie p dat hoeken in tegenwijzerzin positief zijn. De vector  ~ met lengte 2 maakt een hoek van 45 ◦ met de ~ heeft coördinaten (2, 3). De hoek α is de hoek die de vector ~ + b~ maakt met de positieve -as. De vector b positi...