Interpolación Segmentaria PDF

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INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA (SPLINES)La idea central de la interpolación segmentaria o interpolación por Splines es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación. En otras palabras podemos ...

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INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA (SPLINES)

La idea central de la interpolación segmentaria o interpolación por Splines es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación. En otras palabras podemos decir que una función de Splines está formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo, y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad. Funciones Splines de grado 1: Dado los n+1 puntos X X

X

… X

1 Y Y

2 Y

n … Y

1 2 n Una función Splines de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos mediante segmentos de recta. Ejemplo:

Entonces tenemos:

Donde:

Entonces se define como:

Funciones para Splines de grado 2: Para explicarlo de una mejor manera es necesario poner un ejemplo como: X

3

4.

7

9

Y

2.

5 1

2.

0.

5 5 5 En la cual formamos 3 intervalos es decir: [3,4.5]

[4.5,7]

[7,9]

Con esto definimos la función polinomial de grado 2 como:

Por lo tanto se debe cumplir que: S(3) = 2.5,

S(4.5)=1,

S(7)=2.5 y S(9)=0.5

Tomando en cuenta esto se formaran las siguientes ecuaciones:

Dando un total de 6 ecuaciones y 9 incógnitas

El siguiente paso es manejar la existencia de las derivadas continuas es decir que la Splines tenga derivada continua de orden k-1=1. Calculamos la primera derivada:

Entonces decimos que las posibles discontinuidades son x=4.5 y x=7 y para que s’(x) sea continua tiene que cumplir que: 2ª1(4.5)+b1=2ª2(4.5)+b2 Dando un total de 8 ecuaciones vs 9 incógnitas dándonos la libertad de escoger cualquier incógnita por comodidad escogemos a1=0. De esta forma seria una ecuación de 8 con 8 incógnitas:

De manera matricial:

Obtenemos la siguiente solución:

Funciones Splines cubicas:

Para llegar a un mejor entendimiento escribimos la definición correspondiente a este caso (k=3) dados los n+1 datos:

X

X0

X1

…

Xn

Y

Y0

Y1

…

Yn

Una Spline que interpola estos datos es una función S(x) definida como:

Donde cada Si(x) es un polinomio cubico; Si(Xi)=Yi, para toda i=0,1,…n y tal que S(X) tiene primera y segunda derivadas continuas en [X0,Xn]

Bibliografía  Tapia Sánchez, G. (Ed.) (2014) Análisis numérico: Introducción a los métodos numéricos...