Introduction to Methods of Applied Mathematics or Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers PDF

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Introduction to Methods of Applied Mathematics or Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Sean Mauch http://www.its.caltech.edu/˜sean January 24, 2004 Contents Anti-Copyright xxiv Preface xxv 0.1 Advice to Teachers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

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Introduction to Methods of Applied Mathematics or Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Sean Mauch http://www.its.caltech.edu/˜sean January 24, 2004

Contents Anti-Copyright

xxiv

Preface 0.1 Advice to Teachers . . . . 0.2 Acknowledgments . . . . 0.3 Warnings and Disclaimers 0.4 Suggested Use . . . . . . 0.5 About the Title . . . . .

xxv xxv xxv xxvi xxvii xxvii

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Algebra

1 Sets 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

and Functions Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . Single Valued Functions . . . . . . . Inverses and Multi-Valued Functions . Transforming Equations . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . Solutions . . . . . . . . . . . . . . .

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2 2 4 6 9 11 14 16

2 Vectors 2.1 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Scalars and Vectors . . . . . . . 2.1.2 The Kronecker Delta and Einstein 2.1.3 The Dot and Cross Product . . . 2.2 Sets of Vectors in n Dimensions . . . . . 2.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Calculus

3 Differential Calculus 3.1 Limits of Functions . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . 3.3 The Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Implicit Differentiation . . . . . . . . . . . . . 3.5 Maxima and Minima . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Mean Value Theorems . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Application: Using Taylor’s Theorem to 3.6.2 Application: Finite Difference Schemes 3.7 L’Hospital’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1 Limits of Functions . . . . . . . . . . 3.8.2 Continuous Functions . . . . . . . . . 3.8.3 The Derivative . . . . . . . . . . . . . 3.8.4 Implicit Differentiation . . . . . . . . . 3.8.5 Maxima and Minima . . . . . . . . . . 3.8.6 Mean Value Theorems . . . . . . . . .

22 22 22 25 26 33 36 38 40

47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approximate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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48 48 53 56 61 62 66 68 73 75 81 81 81 82 84 84 85

3.8.7 L’Hospital’s Rule 3.9 Hints . . . . . . . . . . 3.10 Solutions . . . . . . . . 3.11 Quiz . . . . . . . . . . 3.12 Quiz Solutions . . . . .

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. 85 . 87 . 93 . 113 . 114

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116 116 122 122 123 125 127 127 130 134 134 134 136 136 137 138 141 150 151

5 Vector Calculus 5.1 Vector Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Gradient, Divergence and Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

154 154 155 163

4 Integral Calculus 4.1 The Indefinite Integral . . . . . . . . . . . . . . 4.2 The Definite Integral . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 The Fundamental Theorem of Integral Calculus . 4.4 Techniques of Integration . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Partial Fractions . . . . . . . . . . . . . 4.5 Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 The Indefinite Integral . . . . . . . . . . 4.6.2 The Definite Integral . . . . . . . . . . . 4.6.3 The Fundamental Theorem of Integration 4.6.4 Techniques of Integration . . . . . . . . 4.6.5 Improper Integrals . . . . . . . . . . . . 4.7 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Quiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 Quiz Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5.4 Hints . . . . . 5.5 Solutions . . . 5.6 Quiz . . . . . 5.7 Quiz Solutions

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Functions of a Complex Variable

6 Complex Numbers 6.1 Complex Numbers . . . 6.2 The Complex Plane . . 6.3 Polar Form . . . . . . . 6.4 Arithmetic and Vectors 6.5 Integer Exponents . . . 6.6 Rational Exponents . . 6.7 Exercises . . . . . . . . 6.8 Hints . . . . . . . . . . 6.9 Solutions . . . . . . . .

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7 Functions of a Complex Variable 7.1 Curves and Regions . . . . . . . . . . . . 7.2 The Point at Infinity and the Stereographic 7.3 A Gentle Introduction to Branch Points . . 7.4 Cartesian and Modulus-Argument Form . . 7.5 Graphing Functions of a Complex Variable 7.6 Trigonometric Functions . . . . . . . . . . 7.7 Inverse Trigonometric Functions . . . . . . 7.8 Riemann Surfaces . . . . . . . . . . . . . 7.9 Branch Points . . . . . . . . . . . . . . . 7.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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180 180 184 188 193 195 197 201 208 211

. . . . . . Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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239 239 242 246 246 249 252 259 268 270 286

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7.11 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 7.12 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 8 Analytic Functions 8.1 Complex Derivatives . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Cauchy-Riemann Equations . . . . . . . . . . 8.3 Harmonic Functions . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Categorization of Singularities . . . . . 8.4.2 Isolated and Non-Isolated Singularities 8.5 Application: Potential Flow . . . . . . . . . . 8.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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360 360 367 372 377 377 381 383 388 396 399

9 Analytic Continuation 9.1 Analytic Continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Analytic Continuation of Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Analytic Functions Defined in Terms of Real Variables . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Analytic Functions Defined in Terms of Their Real or Imaginary Parts 9.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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437 437 440 442 446 450 454 456 457

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462 462 464 466 467

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10 Contour Integration and the Cauchy-Goursat Theorem 10.1 Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Contour Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Maximum Modulus Integral Bound . . . . . . . 10.3 The Cauchy-Goursat Theorem . . . . . . . . . . . . . .

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10.4 10.5 10.6 10.7

Contour Deformation . . . . . . . . Morera’s Theorem. . . . . . . . . . . Indefinite Integrals . . . . . . . . . . Fundamental Theorem of Calculus via 10.7.1 Line Integrals and Primitives . 10.7.2 Contour Integrals . . . . . . 10.8 Fundamental Theorem of Calculus via 10.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . 10.10Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.11Solutions . . . . . . . . . . . . . . .

11 Cauchy’s Integral Formula 11.1 Cauchy’s Integral Formula 11.2 The Argument Theorem . 11.3 Rouche’s Theorem . . . . 11.4 Exercises . . . . . . . . . 11.5 Hints . . . . . . . . . . . 11.6 Solutions . . . . . . . . .

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12 Series and Convergence 12.1 Series of Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...