KAPASITAS PANAS MODEL DEBYE (DEBYE'S THEORY OF SPECIFIC HEAT) OLEH : RAYI DWI MUHREZA SINAGA PDF

Preview

Summary

KAPASITAS PANAS MODEL DEBYE (DEBYE’S THEORY OF SPECIFIC HEAT) OLEH : RAYI DWI MUHREZA SINAGA A. Pendahuluan Pada tahun 1912, seorang ilmuwan asal Belanda bernama Peter Debye melakukan pendekatan baru dalam mempelajari kapasitas panas yang sebelumnya telah didahului oleh model kapasitas panas Dulong-...

Description

KAPASITAS PANAS MODEL DEBYE (DEBYE’S THEORY OF SPECIFIC HEAT) OLEH : RAYI DWI MUHREZA SINAGA

A. Pendahuluan Pada tahun 1912, seorang ilmuwan asal Belanda bernama Peter Debye melakukan pendekatan baru dalam mempelajari kapasitas panas yang sebelumnya telah didahului oleh model kapasitas panas Dulong-Petit dan model kapasitas panas Einstein. Perbedaan kapasitas panas model Debye dengan model lainnya sangat tampak jelas. Petit mengacu pada teori klasik, sedangkan model Einstein mengacu pada teori kuantum, yaitu dengan menganalogikan getaran yang terjadi antar atom dengan foton. Kegagalan hukum Dulong-Petit terletak pada fakta bahwa berdasarkan eksperimen kapasitas kalor akan mendekati nol ketika suhu diturunkan, sehingga bertentangan dengan postulat mereka yang mengatakan bahwa kapasitas kalor atom tunggal akan selalu memiliki nilai sebesar 3R, berapapun suhunya. Model Einstein kemudian berhasil menjawab fakta tersebut, sehingga modelnya hampir sesuai dengan hasil eksperimen. Model yang digagas oleh Debye mengasumsikan bahwa atom-atom saling berinteraksi satu sama lain. Model ini berbeda dengan model Einstein dan Dulong-Petit, dimana perilaku atom tidak dipengaruhi atom lain, sehingga pada model Einstein getaran semua atom diasumsikan memiliki frekuensi yang sama. Pada model Debye, ketika satu atom bergerak, atom tersebut juga akan menggetarkan atom yang lain yang berada di sebelahnya, sehingga atom lain juga ikut bergetar dan tentunya akan memiliki fase yang berbeda. Bayangkanlah tiga buah beban yang saling tersambung oleh pegas yang disusun seri. Ketika satu beban digerakkan, maka beban lain akan bergerak, namun karena yang menyambungkan antar beban adalah pegas, maka beban lain tersebut akan bergerak beberapa saat setelah beban penggerak memberi gaya.

Perbedaan yang paling menonjol dibandingkan model-model sebelumnya adalah bahwa tiap getaran atom memiliki frekuensi yang tidak selalu sama. Oleh karena itu. terdapat suatu moda, atau suatu keadaan yang merepresentasikan frekuensi pada suatu bentuk gelombang. Atau lebih mudahnya, dalam ruang lingkup zat padat moda merupakan suatu kelompok atom yang membentuk suatu gelombang akibat getaran yang dialami masing-masing atom. Moda pada umumnya diidentifikasi oleh angka gelombang k, yang pada dasarnya juga dapat merepresentasikan panjang gelombang dan frekuensi dengan kecepatan rambat secepat kecepatan suara, yakni sekitar 340 m/s.

Gambar di atas menunjukkan perbedaan moda. Asumsikan bahwa kita menggunakan nilai k dengan bilangan bulat. Makin tinggi nilai k, makin tinggi pula frekuensinya. Ini merupakan propagasi gelombang berdiri secara umum. Ibarat foton yang keluar dari radiasi benda hitam, di dalam suatu benda, menurut model Debye, atom-atom bergetar dengan frekuensi yang tidak selalu sama seperti yang telah dikatakan sebelumnya. Getaran akibat atom-atom ini disebut dengan fonon, dan dalam model Debye fonon-fonon tersebut memiliki frekuensi yang berbeda-beda. Seperti halnya foton, energi dasar fonon terkuantisasi, artinya hanya dapat menempati nilai energi tertentu dan kelipatan bilangan bulat. Pemodelan fonon diibaratkan sebagai osilator harmonik, dengan potensial yang sebanding dengan kuadrat persimpangannya (sama seperti energi potensial pegas). Karena foton partikel kuantum, kita dapat menggunakan persamaan Schrodinger untuk menperoleh spektrum energinya.

B. Penurunan Persamaan Kapasitas Panas Model Debye Setiap partikel menempati tingkat energi tertentu dengan keadaan tertentu pula. Maka untuk menentukan rapat keadaan atau jumlah keadaan per selang energi pada tiap tingkat energi yang tersedia untuk ditempati partikel dapat didefenisikan dengan persamaan: 𝐷(𝜔) =

𝑑𝑁 𝑑𝜔

Maka jumlah keadaan total memenuhi persamaan:

𝑑𝑁 = 𝐷(𝜔)𝑑𝜔

Karena asumsi gerakan partikel-partikel menurut Debye bergerak secara kolektif ke arah 3 dimensi, maka gerakan partikel adalah spherical yakni melingkupi lingkaran dan bola. Gerak kolektif antar partikel akan bergetar ke arah xyz secara berantai seperti gugus atom, sehingga kita bisa mengasumsikan volume tempat partikel bergerak secara kolektif adalah volume sel primitif simple cube. Sehingga jumlah keadaan keadaan dapat didefenisikan: 𝑁= Sehingga,

𝑉𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑉𝐵𝐶𝐶

𝐷(𝜔) =

4𝜋𝑘 3 4𝜋𝑘 3 𝐿3 𝑘 3 𝐿3 𝑉𝑘 3 3 = = = = 2 24𝜋 3 6𝜋 2 6𝜋 2𝜋 3 ( ) 𝐿

𝑑𝑁 𝑑𝑁 𝑑𝑘 = = 𝑑𝜔 𝑑𝑘 𝑑𝜔

𝑉𝑘 3 ) 2 6𝜋 2 𝑑𝑘 𝑉𝑘 𝑑𝑘 = 𝑑𝑘 𝑑𝜔 2𝜋 2 𝑑𝜔

𝑑(

Karena cepat rambat fonon adalah 𝜔 = 𝑘𝑣, maka:

1 𝑘 1 𝑑𝑘 = ; = 𝑣 𝜔 𝑣 𝑑𝜔

Dapat kita subtitusikan persamaan jumlah keadaan dengan cepat rambat fonon, menjadi: 𝜔2 ) 𝑉𝑘 𝑉𝜔2 𝑉𝑘 𝑑𝑘 𝑉𝑘 1 𝑣2 = = = = 𝐷(𝜔) = 2 2𝜋 2 𝑣 2𝜋 2 𝑣 3 2𝜋 𝑑𝜔 2𝜋 2 𝑣 2𝜋 2 𝑣 2

2

2

𝑉(

Persamaan rapat keadaan per tingkat energi sebelumnya telah didapat: 𝐷(𝜔) =

𝑑𝑁 ; 𝑑𝑁 = 𝐷(𝜔)𝑑𝜔 ; ∫ 𝑑𝑁 = ∫ 𝐷(𝜔)𝑑𝜔 ; 𝑁 = ∫ 𝐷(𝜔)𝑑𝜔 𝑑𝜔

Energi total fonon pada model Dulong-Petit dan Einstein memenuhi persamaan: 𝐸 = 3𝜀̅𝑁 = 3𝜀̅ ∫ 𝐷(𝜔)𝑑𝜔 = 3 ∫ 𝜀̅ 𝐷(𝜔) 𝑑𝜔

Dimana 𝜀̅ adalah energi rata-rata partikel tiap tingkatan energi yang memenuhi: 𝜀̅ =

ℏ𝜔

ℏ𝜔

𝑒 𝐾𝐵 𝑇 − 1

Sehingga jika disubtitusikan, energi total menjadi: 𝐸 = 3 ∫ 𝜀̅ 𝐷(𝜔)𝑑𝜔 = 3 ∫

ℏ𝜔

ℏ𝜔 𝑒 𝐾𝐵 𝑇

−1

𝑉𝜔2 𝑑𝜔 = 3 ∫ 2𝜋 2 𝑣 3

Persamaan umum untuk kapasitas panas memenuhi:

𝐶𝑣 =

𝜕 [3 ∫

𝐶𝑣 =

𝜕𝑈 𝜕𝑇

ℏ𝜔3

ℏ𝜔 𝐾 𝑒 𝐵𝑇

−1 𝜕𝑇

3𝑉ℏ 𝜔𝐷 𝑑 𝐶𝑣 = 2 3 ∫ [ 2𝜋 𝑣 0 𝑑𝑇

ℏ𝜔3

ℏ𝜔 𝑒 𝐾𝐵 𝑇

−1

𝑉 𝑑𝜔 2𝜋 2 𝑣 3

𝑉 𝑑𝜔] 2𝜋 2 𝑣 3 𝜔3

ℏ𝜔 𝑒 𝐾𝐵 𝑇

] 𝑑𝜔 −1

Jika diturunkan persamaan yang ada di dalam kotak menjadi: 𝑑 [ 𝑑𝑇

𝜔3

ℏ𝜔 𝑒 𝐾𝐵 𝑇

−1

=0−

=−

−

ℏ𝜔 𝐾 𝑒 𝐵𝑇

]=

ℏ𝜔 𝑑 3 𝐾ℏ𝜔 𝑑 𝜔 (𝑒 𝐵 𝑇 − 1) − (𝑒 𝐾𝐵 𝑇 − 1) 𝜔3 𝑑𝑇 𝑑𝑇

ℏ𝜔 𝑑 (𝑒 𝐾𝐵 𝑇 − 1) 𝜔3 𝑑𝑇

ℏ𝜔

𝑒 𝐾𝐵 𝑇

ℏ𝜔 (𝑒 𝐾𝐵 𝑇

2

− 1)

𝑑 ℏ𝜔 ( ) 𝜔3 𝑑𝑇 𝐾𝐵 𝑇

ℏ𝜔 (𝑒 𝐾𝐵 𝑇

− 1)

2

𝜕 𝜕 ℏ𝜔4 𝜕𝑇 (1)(𝑇) − 𝜕𝑇 (𝑇)(1) 𝐾𝐵 𝑇2 ℏ𝜔 (𝑒 𝐾𝐵 𝑇

− 1)

2

ℏ𝜔 (𝑒 𝐾𝐵 𝑇

=−

=−

=−

− 1)

2

ℏ𝜔 𝑑 (𝑒 𝐾𝐵 𝑇 − 1) 𝜔3 𝑑𝑇 ℏ𝜔 (𝑒 𝐾𝐵 𝑇

− 1)

2

ℏ𝜔 ℏ𝜔 𝑑 1 3 𝑒 𝐾𝐵 𝑇 𝐾 ( )𝜔 𝐵 𝑑𝑇 𝑇

ℏ𝜔 𝐾 𝑒 𝐵𝑇

ℏ𝜔 (𝑒 𝐾𝐵 𝑇

− 1)

1 ℏ𝜔4 (− 2 ) 𝐾𝐵 𝑇

ℏ𝜔 (𝑒 𝐾𝐵 𝑇

− 1)

2

2

=

= ℏ𝜔

𝐾𝐵

𝑒 𝐾𝐵 𝑇 ℏ𝜔4

ℏ𝜔 𝑇 2 (𝑒 𝐾𝐵 𝑇

2

− 1)

Sehingga persamaan kapasitas panas menjadi: 𝜕𝑈 3𝑉ℏ 𝜔𝐷 𝐶𝑣 = = 2 3∫ 𝜕𝑇 2𝜋 𝑣 0 = Misalkan 𝑥 =

ℏ𝜔

𝐾𝐵 𝑇

𝜔𝐷 3𝑉ℏ2 1 ∫ 2𝜋 2 𝑣 3 𝐾𝐵 𝑇 2 0

maka,

ℏ𝜔

𝐾𝐵

𝑒 𝐾𝐵 𝑇 ℏ𝜔4

ℏ𝜔 𝑇 2 (𝑒 𝐾𝐵 𝑇

𝜔4

− 1)

2 𝑑𝜔

ℏ𝜔

𝐾𝐵 𝑇 𝑑𝜔 2𝑒

ℏ𝜔

(𝑒 𝐾𝐵 𝑇 − 1)

𝑥 ℏ 𝑑𝑥 ℏ 𝐾𝐵 𝑇 = ; = ; 𝑑𝜔 = 𝑑𝑥 𝜔 𝐾𝐵 𝑇 𝑑𝜔 𝐾𝐵 𝑇 ℏ

Sehingga persamaan kapasitas panas menjadi:

𝜔𝐷 3𝑉ℏ2 1 𝐶𝑣 = 2 3 ∫ 2𝜋 𝑣 𝐾𝐵 𝑇 2 0

𝜔4

ℏ𝜔 𝐾 (𝑒 𝐵 𝑇

− 1)

2

ℏ𝜔 𝐾 𝑒 𝐵 𝑇 𝑑𝜔

ℏ𝜔 𝐾𝐵 𝑇 4 𝐾𝐵 𝑇 ( ℏ 𝑥) 3𝑉ℏ2 1 𝐾𝐵 𝑇 = 2 3 ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2 2 (𝑒 − 1) 2𝜋 𝑣 𝐾𝐵 𝑇 0 ℏ

Karena temperatur Debye didefenisikan sebagai 𝜃 = 𝜃

ℏ𝜔 𝐾𝐵

, sehingga:

4 𝑇 𝐾𝐵 𝑇 4 𝑥 4 3𝑉ℏ2 1 𝐾𝐵 𝑇 𝐶𝑣 = 2 3 ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 2 𝑥 4 2 2𝜋 𝑣 𝐾𝐵 𝑇 0 ℏ (𝑒 − 1) ℏ

Karena 𝑁 =

Sehingga:

𝑉𝑘 3 6𝜋 2

maka:

=

3𝑉𝐾𝐵4 𝑇 3 𝜃/𝑇 𝑥 4 𝑒 𝑥 ∫ 𝑑𝑥 2𝜋 2 𝑣 3 ℏ3 0 (𝑒 𝑥 − 1)2

𝜔 3 𝑉𝑘 3 𝑉 ( 𝑣 ) 𝑉𝜔3 𝑁6𝜋 2 𝑣 3 𝑁= = = ; 𝑉 = 6𝜋 2 6𝜋 2 6𝜋 2 𝑣 3 𝜔3

𝑁6𝜋 2 𝑣 3 4 3 𝜃 3( ) 𝐾𝐵 𝑇 𝑇 𝑥 4 𝑒 𝑥 9𝑁𝐾𝐵4 𝑇 3 𝜃/𝑇 𝑥 4 𝑒 𝑥 𝜔3 𝐶𝑣 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 𝑥 2 ℏ3 𝜔 3 0 (𝑒 𝑥 − 1)2 2𝜋 2 𝑣 3 ℏ3 0 (𝑒 − 1) =

9𝑁𝐾𝐵 𝐾𝐵3 𝑇 3 𝜃/𝑇 𝑥 4 𝑒 𝑥 𝑇 3 𝜃/𝑇 𝑥 4 𝑒 𝑥 ∫ 𝑑𝑥 = 9𝑁𝐾 ( ) ∫ 𝑑𝑥 𝐵 (𝑒 𝑥 − 1)2 (𝑒 𝑥 − 1)2 ℏ3 𝜔 3 𝜃 0 0

Persamaan yang ada didalam kotak, bisa kita selesaikan dengan menggunakan ekspansi deret Taylor, menjadi: 𝑥4𝑒 𝑥 𝑥4 𝑥4 = = (𝑒 𝑥 − 1)2 𝑒 −𝑥 (𝑒 𝑥 − 1)2 (𝑒 𝑥 − 1)(𝑒 𝑥 − 1)𝑒 −𝑥

𝑥4 𝑥4 𝑥4 = 2𝑥 = = (𝑒 − 2𝑒 𝑥 + 1) 𝑒 −𝑥 𝑒 𝑥 − 2 + 𝑒 −𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 − 2

Fungsi 𝑒 𝑥 dapat diselesaikan dengan deret taylor, hasilnya: 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) +

𝑓 ′ (0) 𝑓 ′ (0) (𝑥 − 0) + (𝑥 − 0)2 + ⋯ 1! 2!

𝑓(𝑥) = 𝑒 0 +

𝑒0 𝑒0 (𝑥 − 0) + (𝑥 − 0)2 + ⋯ 1! 2!

𝑓(𝑥) = 1 + 𝑥 +

𝑥2 2

Fungsi 𝑒 −𝑥 dapat diselesaikan dengan deret taylor, hasilnya, 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) +

𝑓 ′ (0) 𝑓 ′ (0) (𝑥 − 0) + (𝑥 − 0)2 + ⋯ 1! 2!

𝑓(𝑥) = 𝑒 −0 +

Sehingga,

−𝑒 0 𝑒 −0 (𝑥 − 0) + (𝑥 − 0)2 + ⋯ 1! 2!

𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥 +

𝑥2 2

𝑥4𝑒 𝑥 𝑥4 = = (𝑒 𝑥 − 1)2 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 − 2 (1 + 𝑥 +

𝑥4

𝑥2 𝑥2 ) + (1 − 𝑥 + )−2 2 2

=

Dan persamaan kapasitas kalor menjadi,

𝑥4 = 𝑥2 𝑥2

𝜃

𝑇 3 𝑇 2 𝐶𝑣 = 9𝑁𝐾𝐵 ( ) ∫ 𝑥 𝑑𝑥 𝜃 0 𝑇 31 𝜃 3 = 9𝑁𝐾𝐵 ( ) ( ) 𝜃 3 𝑇 = 3𝑁𝐾𝐵 = 3𝑅

Persamaan di atas adalah persamaan kapasitas kalor Debye pada suhu rendah, dan persis sama dengan persamaan Dulong-Petit. Lalu bagaimana persamaan kapasitas kalor untuk suhu tinggi?

Pada suhu tinggi 𝑇 ≪ 𝜃𝐷 dan 𝑥𝐷 ≫ 1

𝜃

𝑇 3 𝑇 𝑥4𝑒 𝑥 𝐶𝑣 = 9𝑁𝐾𝐵 ( ) ∫ 𝑑𝑥 𝑥 2 𝜃 0 (𝑒 − 1) 𝑇 3 ~ 4 𝑒𝑥 = 9𝑁𝐾𝐵 ( ) ∫ 𝑥 𝑑𝑥 (𝑒 𝑥 − 1)2 𝜃 0

Persamaan yang ada di dalam kotak, kita selesaikan terlebih dahulu menggunakan integral parsial, ~

∫ 𝑥4 0

Misal 𝑢 = 𝑥 4 , maka Misal

𝑑𝑣

𝑑𝑥

=

𝑒𝑥

𝑑𝑢

𝑑( 𝑥 2 ) (𝑒 −1) 𝑑𝑥

𝑑𝑥

= 4𝑥 3 .

𝑒𝑥 𝑑𝑥 (𝑒 𝑥 − 1)2 ~

∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 0

, maka 𝑣 adalah,

𝑒𝑥 𝑑 ( ) 𝑥 𝑑𝑣 (𝑒 − 1)2 = 𝑑𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝑑𝑣 = ∫

𝑒𝑥 𝑑𝑥 (𝑒 𝑥 − 1)2

𝑣 = ∫ 𝑒 𝑥 (𝑒 𝑥 − 1)−2 𝑑𝑥 𝑣=−

𝑒𝑥

1 −1

Maka, hasil dari integral parsial persamaan kapasitas kalor menjadi: ~

~ 𝑒𝑥 𝑥4 4𝑥 3 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = − + ∫ 𝑑𝑥 𝑥 (𝑒 𝑥 − 1)2 𝑒𝑥 − 1 0 0 𝑒 −1 4

Sehingga, persamaan kapasitas kalor untuk suhu rendah menjadi:

~ 𝑇 3 𝑥4 4𝑥 3 𝐶𝑣 = 9𝑁𝐾𝐵 ( ) {− 𝑥 +∫ 𝑥 𝑑𝑥 } 𝜃 𝑒 −1 0 𝑒 −1

Persamaan yang ada di dalam kotak harus diselesaikan dengan metode integral bose:

~

4𝑥 3 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 0 𝑒 −1

4𝑥 3 𝑒 −𝑥 4𝑥 3 𝑒 −𝑥 . = 𝑒 𝑥 − 1 𝑒 −𝑥 1 − 𝑒 −𝑥

Misalkan 𝑎 = 4𝑥 3 𝑒 −𝑥 dan 𝑟 = 𝑒 −𝑥 , jika nilai 𝑛 = 1, maka: ~

∑ 𝑎𝑟

𝑛=1

𝑛−1

~

= ∑ 4𝑥 3 𝑒 −𝑥 (𝑒 −𝑥 )𝑛−1 𝑛=1

~

4𝑥 3 = ∑ 4𝑥 3 𝑒 −𝑥𝑛 𝑒𝑥 − 1 𝑛=1

~

~ 4𝑥 3 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ ∑ 4𝑥 3 𝑒 −𝑥𝑛 𝑑𝑥 0 0 𝑒 −1 ~

Misalkan 𝑡 = 𝑥𝑛 ; 𝑑𝑡 = 𝑛 𝑑𝑥 ; 𝑑𝑥 =

𝑑𝑡 𝑛

𝑛=1

, sehingga:

~ ~

∫ ∑ 4𝑥 3 𝑒 −𝑥𝑛 𝑑𝑥 0 𝑛=1 ~ ~

𝑡 3 1 = ∑ ∫ 4 ( ) 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 𝑛 𝑛 0 𝑛=1 ~

~

𝑡 3 −𝑡 = ∑∫ 4 4 𝑒 𝑑𝑡 𝑛 0 𝑛=1 ~

=∑

𝑛=1

4 ~ 3 −𝑡 ∫ 𝑡 𝑒 𝑑𝑡 𝑛4 0

Kalau diperhatikan, persamaan yang didalam kotak merupakan fungsi gamma dari 4{Γ(4)}, maka, ~

4 ~ 3 −𝑡 ∑ 4∫ 𝑡 𝑒 𝑑𝑡 𝑛 0

𝑛=1

~

=∑

𝑛=1 ~

=∑

𝑛=1

4 Γ(4) 𝑛4

4 (4 − 1)! 𝑛4 ~

= 24 ∑

𝑛=1

1 𝑛4

Persamaan yang ada didalam kotak merupakan fungsi zeta dari 4 {𝜁(4)}, maka: ~

= 24 ∑

𝑛=1

1 𝑛4

= 24 𝜁(4)

𝜋4 = 24 ( ) 90

Sehingga persaman kapasitas kalor untuk suhu rendah Debye menjadi: ~ 𝑇 3 𝑥4 4𝑥 3 𝐶𝑣 = 9𝑁𝐾𝐵 ( ) {− 𝑥 +∫ 𝑥 𝑑𝑥 } 𝜃 𝑒 −1 0 𝑒 −1

𝜃 4 ~ ( 𝐷) 4𝑥 3 𝑇 3 𝑇 +∫ 𝑥 𝑑𝑥} 𝐶𝑣 = 9𝑁𝐾𝐵 ( ) {− 𝜃 𝐷 𝑒 −1 𝜃 0 𝑇 𝑒 −1 𝜋4 𝑇 3 𝐶𝑣 = 9𝑁𝐾𝐵 ( ) {0 + 24 ( )} 90 𝜃 12 4 𝑇 3 𝐶𝑣 = 𝜋 𝑁𝐾𝐵 ( ) 5 𝜃

𝑇 3 12 4 (3,14) 𝑁𝐾𝐵 ( ) 𝐶𝑣 = 𝜃 5 𝑇 3 𝐶𝑣 = 234 𝑁𝐾𝐵 ( ) 𝜃

Persamaan diatas adalah persamaan akhir dari kapasitas kalor model Debye untuk suhu tinggi. Perbandingan antara fungsi Einstein dan Debye berdasarkan grafik seperti gambar berikut:

Pada grafik diatas tampak bahwa ramalan Debye tentang, kebergantungan kapasitas kalor pada pangkat tiga suhu sangat sesuai dengan hasil pengamatan. Teori Debye dan Einstein hanya berbeda pada suhu rendah. Pada suhu agak tinggi, kedua teori tersebut memprediksikan hasil yang sangat mirip dan pada suhu yang sangat tinggi kedua teori ini memberikan prediksi yang persis sama dengan hukum Dulong Petit.

C. Kesimpulan Kapasitas kalor bahan pada volume tetap berbanding lurus dengan temperatur pangkat tiga yang nilainya jauh di bawah suhu Debye. Model Debye merupakan model yang lebih sesuai dengan eksperimen dibandingkan dengan model-model sebelumnya, dimana model Einstein terdapat penyimpangan yang besar dari hasil eksperimen. Perbedaan tersebut dikarenakan asumsi yang digunakan oleh Einstein dan Debye jauh berbeda dalam memandang gerak partikel. Dengan kata lain, Debye menyempurnakan model kapasitas panas milik Dulong-Petit dan juga milik Einstein....