KUMPULAN SOAL JAWAB OLIMPIADE MATEMATIKAdaripertemuan Berau DOC

Title	KUMPULAN SOAL JAWAB OLIMPIADE MATEMATIKAdaripertemuan Berau
Author	Hasriani Ani
Pages	24
File Size	838.5 KB
File Type	DOC
Total Downloads	41
Total Views	218

Summary

Description

KUMPULAN SOAL JAWAB OLIMPIADE MATEMATIKA –Oleh Sumber soal : David Santos Catatan : Hasil kegiatan pertemuan guru-guru SMA-SMP Berau, KALTIM 19 Nov-28 N0v 2010. =================================================================== Tema : TEORI BILANGAN 180.) Tentukan semua bilangan bulat positif n sehingga 1 1 2 n n . Jawab : Pernyataan 1 1 2 n n berarti ) 1 ( 1 1 2 n k n , Z k . Sedangkan 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 2 n n n n n n n n n . Jadi agar n +1 membagi 1 2 n maka 1 ) 1 ( n n harus bulat. Sehingga perlu ditulis 1 2 1 1 ) 1 ( n n n n = 1 - 1 2 n . Jadi n + 1 haruslah faktor dari -2 yaitu n +1 = 2 , 1 . Nilai n yang memenuhi adalah n = -3, -2, 1. 181.) Jika 2 3 7 x maka buktikan bahwa 14 11 15 7 2 x x . Jawab : 14 11 15 2 x x = 5x(3x +2) -21x -14 = 7k (karena masing-masing suku dapat habis dibagi 7). 182.) Tunjukkan bahwa kuadrat sembarang bilangan bulat adalah dalam bentuk 3k dan 3k +1. Jawab : Menurut contoh (no 172) maka kuadrat sembarang bilangan bulat dapat ditulis dalam bentuk p x 4 2 atau p x 4 2 +1. Ambil p = 3t maka ) 4 ( 3 12 ) 3 ( 4 2 t t t x . Ambil p = 3t +1 maka . 1 3 1 ) 1 4 ( 3 1 ) 1 3 ( 4 2 k t t x 183.) Tunjukkan bahwa 2 2 3 b a maka a 3 dan b 3 . Jawab : Catatan notasi y x artinya x membagi habis y sehingga dapat ditulis ada bilangan bulat k dan sehingga y = xk. Jika x tidak membagi habis y , pada tulisan ini digunakan notasi x ~" y. Soal dibuktikan dengan kontradiksi yaitu andaikan a ~ 3 dan b ~ 3 dan diketahui 2 2 3 b a . Karena a ~ 3 artinya a = 3p + r , 0 < r < 3 dan b ~ 3 artinya b = 3q + s , 0 < s < 3. Diketahui pula 2 2 3 b a . Sehingga 2 2 b a = 2 3 r p + 2 3 s q = 2 2 2 2 6 6 9 9 s qs r pr q p = 2 2 2 2 ) ( 6 ) ( 9 s r qs pr q p . Karena 2 2 3 b a maka 2 2 3 s r sehingga l s r 3 2 2 , dengan l bulat. Untuk r=1, s = 1, maka 2= 3 l sehingga l = 2/3 (tidak bulat ). Kontradiksi diketahui l bulat. Untuk r =2, s = 2 maka l s r 3 8 2 2 (tidak bulat ). Kontradiksi diketahui l bulat. Jadi pengandaian salah bahwa a ~ 3 dan b ~ 3 dengan diketahui 2 2 3 b a . Jadi haruslah jika 2 2 3 b a maka a 3 dan b 3 . 184. )Tunjukkan bawa jika sisi-sisi suatu segitiga siku-siku semuanya bulat maka 3 membagi salah satu dari ketiga sisi tersebut. Jawab : Sebut panjang sisi-sisi adalah x, y, z dan 2 2 2 z y x dengan x, y dan z bilangan bulat positif. Anggap bahwa 2 2 3 y x maka dengan soal sebelumnya 3"x dan 3"y. Bukti selesai....