La energía de deformación en distintos casos practicos PDF

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE BOCA DEL RIOINGENIERIA MECÁNICA“METODOS DE ENERGIA”ING. RAMON DE JESUS VILLAR HERNANDEZMATERIA: MECANICA DE MATERIALESALUMNO: JUAN ANDRES CORDOVA VALENZUELAMATRICULAS:1899033607/11/LA ENERGÍA DE DEFORMACIÓNLa energía de deformación de un elemento es el incremento de energía ...

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE BOCA DEL RIO

INGENIERIA MECÁNICA

“METODOS DE ENERGIA”

ING. RAMON DE JESUS VILLAR HERNANDEZ

MATERIA: MECANICA DE MATERIALES

ALUMNO: JUAN ANDRES CORDOVA VALENZUELA

MATRICULAS: 18990336 07/11/20

LA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN La energía de deformación de un elemento es el incremento de energía asociado con la deformación del elemento. La energía de deformación es igual al trabajo realizado por una carga que se incrementa lentamente aplicada al elemento. La densidad de energía de deformación de un material es la energía de deformación por unidad de volumen, la cual es igual al área bajo la curva esfuerzodeformación. Según el diagrama de la curva esfuerzo-deformación de un material, dos propiedades adicionales de éste son el módulo de tenacidad y el módulo de resiliencia. se analiza la energía de deformación elástica asociada con esfuerzos normales para elementos sometidos a carga axial y a flexión.se considera la energía de deformación elástica asociada con esfuerzos cortantes (como en las cargas torsionales de flechas y en vigas con cargas transversales.se considera la energía de deformación para un estado general de esfuerzo, donde se deriva el criterio de la energía de distorsión máxima para cedencia o fluencia. El efecto de la carga de impacto. Considere una barra BC de longitud L y área de sección transversal uniforme A empotrada en B y sometida en C a una carga axial P que se incrementa lentamente. Al graficar la magnitud P de la carga contra la deformación x de la barra, se obtiene un diagrama de la curva carga-deformación que es característico de la barra BC. Ahora considere el trabajo dU realizado por la carga P cuando la barra se alarga una pequeña cantidad dx. Este trabajo elemental es igual al producto de la magnitud P de la carga y del pequeño.

El trabajo total U realizado por la carga cuando la barra experimenta una X1

deformación x1 es : U =∫ P dx 0

y es igual al área bajo la curva carga-deformación entre x = 0 y x = x1. El trabajo realizado por la carga P cuando se aplica lentamente a la barra incrementa la energía asociada con la deformación de la barra. Esta energía es la energía de deformación de la barra. Para una deformación elástica lineal, la parte del diagrama de la curva carga-deformación involucrada se puede representar por una línea recta cuya ecuación es P = kx X1

1 Quedando de la siguiente manera U =∫ P dX= k x21 : 2 0 1 U = k x 12 2

DENSIDAD DE ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Una función de densidad de energía de deformación o función de densidad de energía almacenada es una función escalar que relaciona la energía de deformación de un material con el gradiente de deformación y otra medida alternativa de deformación (usualmente algún tipo de tensor de deformación). Deformación U de finida, por consiguiente, también dependerá de las dimensiones de la barra. Para eliminar el efecto del tamaño y de la atención directa a las propiedades del material, se considerará la energía de deformación por unidad de volumen. Al dividir la energía de deformación U entre el volumen V = AL de la barra el cual se tiene: X1

P dx U =∫ V 0 A l

Donde ϵ1 denota el valor de la deformación correspondiente al alargamiento x1. La energía de deformación por unidad de volumen U/V se llama densidad de energía de deformación, denotado por u. Por consiguiente. ϵ1

Densidad de energía de deformación=U =∫ σ x d ϵ x 0

La densidad de energía de deformación u se expresa en unidades de energía divididas entre unidades de volumen. Por lo tanto, cuando se utilizan unidades métricas SI, la densidad de energía de deformación es J/m3 o sus múltiplos kJ/m3 y MJ/m3 . Cuando se utilizan unidades U.S. comunes, se expresa en in · lb/in3 . La densidad de energía de deformación obtenida con ϵ1 = ϵR en la ecuación, donde ϵR es la deformación en el momento de la ruptura, se llama módulo de tenacidad del material. Es igual al área bajo el diagrama de la curva esfuerzo-deformación total y representa la energía por unidad de volumen requerida para que el material se fracture. La tenacidad de un material está relacionada con su ductilidad y también con su resistencia última, y la capacidad de una estructura para resistir una carga de impacto depende de la tenacidad del material utilizado. La densidad de energía de deformación obtenida con σ1 = σY en la ecuación, donde σY es la resistencia a la cadencia, se llama módulo de resiliencia del material, y está denotado por uY. Por lo tanto, 2

UY =σ Y /2 E

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN ELÁSTICA La energía de deformación U de un cuerpo sometido a esfuerzos normales uniaxiales se puede obtener sustituyendo u de la ecuación e integrando ambos miembros. U =∫ ❑

σ X 2 dv 2E

Energía de deformación bajo carga axial. Recuerde que cuando una barra se somete a una carga axial céntrica, se puede suponer que los esfuerzos normales σx están uniformemente distribuidos en cualquier sección transversal dada. Utilizando el área de la sección A localizada a una distancia x del extremo B de la barra y la fuerza interna P en esa sección, se escribe σx = P/A. Al sustituir σx en la ecuación se tiene: U =∫

P2 dx 2 E A2

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN PARA UN ESTADO GENERAL DE ESFUERZO En las secciones anteriores se determinó la energía de deformación de un cuerpo en un estado de esfuerzo uniaxial y en un estado de esfuerzo cortante plano. En un cuerpo en un estado general de esfuerzo caracterizado por los seis componentes de esfuerzo σx, σy, σz, τxy, τyz y τzx, la densidad de energía de deformación se obtiene sumando las expresiones dadas en las ecuaciones, además de las otras cuatro expresiones obtenidas al permutar los subíndices. En la deformación elástica de un cuerpo isotrópico, cada de las seis relaciones de esfuerzo-deformación involucradas es lineal, y la densidad de energía de deformación es: u = 1/2 (σ xϵ x + σ yϵ y + σ zϵ z + τxy γxy + τyzγ yz + τzx γzx ) Si se utilizan los ejes principales en el punto dado como ejes de coordenadas, los esfuerzos cortantes se vuelven cero y la ecuación se reduce a: u = 1/2E [σ 2 a + σ 2 b + σ 2 c – 2ν(σa σ b + σ bσ c + σc σa ) ]

En este ejemplo vemos Elemento sometido a un estado de esfuerzo multiaxial expresado como la superposición de b) esfuerzos que tienden a provocar un cambio de volumen, c) esfuerzos que tienden a provocar distorsión

CARGAS DE IMPACTO En este caso analizaremos un ejemplo muy corto sobre lo que es las cargas de impacto el cual es el siguiente: Considere una barra BD de sección transversal uniforme que es golpeada en el extremo B por un cuerpo de masa m que se mueve con una velocidad v0. Conforme la barra se deforma por el impacto, dentro de ella se desarrollan esfuerzos que alcanzan un valor máximo σm. Después de vibrar durante un tiempo, la barra se detiene y todos los esfuerzos desaparecen.Tal secuencia de eventos se conoce como carga de impacto. Por lo tanto, la energía de deformación Um correspondiente a la 1 2 deformación máxima xm es: Um= m v 0 2 Esta suposición conduce a los siguientes requisitos.  No se disipa energía durante el impacto.  El cuerpo que golpea no debe rebotar de la estructura y retener una parte de su energía. Esto, a su vez, requiere que la inercia de la estructura será insignificante, comparada con la inercia del cuerpo que golpea. En la práctica, ninguno de estos requisitos se satisface, y solo una parte de la energía cinética del cuerpo que golpea se transfiere realmente a la estructura. Por lo tanto, suponer que toda la energía cinética se transfiere a la estructura conduce a un diseño conservador. TRABAJO Y ENERGÍA BAJO VARIAS CARGAS En esta sección, la energía de deformación de una estructura sometida a varias cargas se considera y expresa en función de las mismas y de las deflexiones resultantes. Considere una viga elástica AB sometida a dos cargas concentradas P1 y P2. La energía de deformación de la viga es igual al trabajo P1 y P2 cuando se aplican lentamente a la viga en C1 y C2, respectivamente. Sin embargo, para evaluar este trabajo, las deflexiones x1 y x2 deben expresarse en función de las cargas P1 y P2. Suponga que solo P1 se aplica a la viga (figura 11.32). Tanto C1 y C2 se deflexionan, y sus deflexiones son proporcionales a la carga P1. Al denotar estas deflexiones por x11 y x21, respectivamente: X 11=a 11 P 1 X 21=a 21 P 1

donde α11 y α21 son constantes llamadas coeficientes de influencia. Estas constantes representan las deflexiones de C1 y C2 cuando se aplica una carga unitaria en C1 y son características de la viga.

TEOREMA DE CASTIGLIANO El teorema de Catigliano, establece que cuando actúan fuerzas sobre sistemas elásticos, el desplazamiento correspondiente a cualquier fuerza, puede encontrarse obteniendo la derivada parcial de la energía de deformación respecto a esta fuerza. Los términos “Fuerza” y “Desplazamiento” han de interpretarse con amplitud, ya que se aplican igualmente a momentos y a los desplazamientos angulares. El teorema de Castigliano es una herramienta grandiosa para la determinación de deformaciones de estructuras complejas. Se ha visto que la energía de deformación

El

teorema

de

Castigliano

puede

es

establecerse

matemáticamente ,

Δn=desplazamiento del punto de aplicación de Fn en la dirección Fn. Puede aplicarse una fuerza imaginaria Q, si no existe realmente ninguna fuerza en este punto. Después que se haya obtenido la expresión de δn, la fuerza Q se hace igual a cero; la expresión resultante es el desplazamiento en el punto de aplicación de la fuerza imaginaria Q y en la dirección en la que se imaginó que actuaba Q. ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS Las reacciones en los apoyos de una estructura elástica estáticamente indeterminada se pueden determinar con el teorema de Castigliano. Por ejemplo, en una estructura indeterminada de primer grado, designe una de las reacciones como redundante y elimine o modifique como deba ser el apoyo correspondiente. La reacción redundante se trata como una carga desconocida que, junto con las demás cargas, debe producir deformaciones compatibles con los apoyos originales. Primero calcule la energía de deformación U de la estructura producida por la acción combinada de las cargas y la reacción redundante. Al observar que la derivada parcial U con respecto a la reacción redundante representa la deflexión (o pendiente) en el apoyo que se eliminó o modificó,

entonces se iguala la derivada a cero y se resuelve la reacción redundante.Las reacciones restantes se determinan con las ecuaciones de estática....