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Sistemas Num´ericos Rafael Camargo, Cristela Causad´ ıas, Diego Vega, y Videl Dom´ınguez FIE, Circuitos l´ogicos y electr´onicos, 1-EE131

Abstract—En este documento discutimos las operaciones funericos de uso damentales que relacionan a los sistemas num´ com´un en sistema digitales. Se presenta una revisi´on concisa de la teor´ıa b´asica del los sistemas num´ericos, conceptos como la notaci´on posicional, la aritm´etica binaria, conversi´on entre bases y complementos a dos son discutidos. Los resultados de los on de problemas propuestos indagan mucho m´as en la aplicaci´ cada uno de los m´etodos. Este trabajo ha sido de gran utilidad para aprender m´as de los fundamentos de los sistemas num´ericos onicos. de mayor uso en circuitos l´ogicos y electr´

´ III. T EOR´IA B ASICA Los sistemas num´ericos se construyen con s´ımbolos llamados d´ıgitos. Cada sistema num´erico estar´a caracterizado por su base r, que nos indica la cantidad d´ıgitos permitidos en el sistema. Los sistemas de uso m´as frecuente se presentan en la tabla I. TABLE I ´ SISTEMA S NUM ERICOS DE U SO

Index Terms—Sistema de numeraci´on, conversi´ on de bases, Complementos a dos, aritm´etica binaria.

Base Decimal Binario Octal Hexadecimal

I. I NTRODUCCI ´O N Los sistemas digitales se fundamentan en el manejo adecuado de operaciones matem´atica que ocurren a muy bajo nivel. Los sistemas num´ericos juegan un papel fundamental en lograr que estas operaciones sean interpretadas de forma asicas es parte esencial precisa, el desarrollo de estas t´ecnicas b´ donde constantedel aprendizaje de los circuitos logicos, ´ mente se estar´a trabajando con representaciones de numeros ´ decimales. En el trabajo desarrolla los fundamentos de los sistemas num´ericos, porqu´e son necesarias las conversiones entre base, c´omo se realiza, que opciones tenemos para trabajar con numeros ´ con signos, c´omo se realiza operaciones an responder en aritm´eticas b´asicas, son preguntas que intentar´ on el desarrollo de la gu´ıa. El trabajo inicia con la discusi´ ericos, de la teor´ıa b´asica para entender los sistemas num´ luego presentamos los resultados de los problemas propuestos, on de cada uno de los conceptos donde probamos la aplicaci´ aprendidos en clase.

´N COM U

Total de d´ıgitos r = 10 r=2 r=8 r = 16

A. Notaci´on Posicional En este sistema la posici´on de cada d´ıgito determina su se pueden representar peso o significado relativo. Los numeros ´ como: N = (an−1 an−2 . . . a1 a0 .a−1 a−2 . . . a−m )r

(1)

donde . = Punto que separa los d´ıgitos enteros y fraccionarios r = base del sistema num´erico que se est´a utilizando n = numero ´ de d´ıgitos enteros a la izquierda del punto m = numero ´ d´ıgitos fraccionarios a la derecha del punto ai = d´ıgito entero i cuando n − 1 ≥ i ≥ 0 ai = d´ıgito fraccionario i cuando −1 ≥ i ≥ −m an−1 = d´ıgito m´as significativo a−m = d´ıgito menos significativo B. Descripci´on de los Sistemas de Numeraci´on

II. OBJETI VOS

•

A. Objetivo general •

Repasar y estudiar los m´etodos de representaci´ on num´erica existentes.

B. Objetivos Espec´ıficos •

erica. Revisar los temas de representaci´on num´ Estudiar y reconocer las generalidades de los diferentes sistemas de numeraci´on.

R. C. D. V.

Camargo, 4-808-814, e-mail: [email protected] Causad´ıas, 8-967-1888, e-mail: [email protected] Vega, 4-810-321, e-mail: [email protected] Dom´ınguez, 8-886-255, e-mail: videl.dom´ı[email protected]

•

•

Sistema decimal: Sistema de numeraci´ on de uso habitual, se compone de diez s´ımbolos o d´ıgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 a los que se otorga un valor dependiendo de la posici´on que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc. El valor de cada d´ıgito est´a asociado al de una potencia de base 10, nu´ mero que coincide con la cantidad de s´ımbolos o d´ıgitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posici´on que ocupa el d´ıgito menos uno, con contando desde la derecha. En el caso de numeros ´ decimales, la situaci´on es an´aloga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias ser´ an negativos, concretamente el de los d´ıgitos colocados a la derecha del separador decimal. Sistema binario: El sistema de numeraci´ on binario utiliza s´ olo dos d´ıgitos, el cero (0) y el uno (1). En una cifra

2

•

7, es decir, uno menor que el valor de la base (8). Cuando se cuenta en este sistema, la secuencia es desde 0 hasta 7. Las operaciones aritm´eticas son las mismas de cualquier sistema num´ erico. Los nu´ meros octales se denotan mediante el sub´ındice 8. Sistema hexadecimal: Este sistema es de base 16, lo que significa que para cada columna es posible escoger uno ´ son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, de entre 16 d´ıgitos. Estos A, B, C, D, E y F. Para contar en el sistema hexadecimal se inicia en la primera columna a la izquierda del punto hexadecimal y se cuenta desde 0 hasta F.

Fig. 1.

binaria, cada d´ıgito tiene distinto valor dependiendo de on es el de la posici´on que ocupe. El valor de cada posici´ una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posici´on del d´ıgito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurr´ıa con el sistema decimal, la base de la ıgitos utilizados (2) potencia coincide con la cantidad de d´ para representar los numeros. ´ entero binario el bit a la derecha es el bit En un numero ´ menos significativo (LSB, Least Significant Bit) y tiene un peso de 20 = 1. El bit del extremo izquierdo, es el bit m´as significativo (MSB, Most Significant Bit) y tiene no del numero binario. Los un peso dependiente del tama˜ pesos crecen de derecha a izquierda en potencias de 2. En fraccionarios el bit a la izquierda de la coma es numeros ´ el MSB y su peso es de 2−1 = 0, 5. Los pesos decrecen Fig. 3. D´ıgitos que comprende el sistema hexadecimal. de izquierda a derecha en potencias negativas de 2. En el cual n es el numero ´ de bits a partir de la coma binaria. La siguiente tabla muestra la equivalencia de los numeros ´ C. Conversi´on entre bases decimales del 0 al 15 a su correspondiente binario. En la actividad nos enfocaremos en el cambio de base decimal a los otros sistemas num´ericos. El procedimiento hace ´ entre la base y multiplicacion ´ uso de los m´etodos de division por la base, la aplicaci´ on conjunta de estos m´etodos permite de N de base A a base B. El procedimiento convertir un numero ´ se resumen en el siguiente algoritmo: (a) Usar el m´etodo de la divisi´on para convertir la parte entera del numero ´ en base 10 a la base deseada (b) Usar el m´etodo de la multiplicaci´ on para convertir la en base 10 a la base parte fraccionaria del numero ´ deseada. En el caso de que se desee pasar de una base diferente de la decimal a otra, por ejemplo de base 2 a base 16, primero se a base 10 y luego se aplica el algoritmo convierte el numero ´ descrito anteriormente. Este procedimiento es sencillo ya que toda la aritm´etica se realiza en forma decimal. 1) Divisi´on entre la base: El procedimiento se fundamenta decimal (parte entera) en dividir sucesivamente el numero ´ Fig. 2. Tabla que muestra n ´umeros decimales con sus equivalentes en el entre la base a la que se espera hacer el cambio de base, el sistema binario proceso termina cuando el cociente de la divisi´ on se hace cero. ´ en la nueva base ser´a equivalente a los residuos • Sistema octal: El sistema num´ erico octal o de base ocho El numero es el sistema de numeraci´on que utiliza ocho d´ ıgitos de cada una de las divisiones. En este caso el residuo de la se considera el MSB. o s´ımbolos (0-7), correspondiendo el mayor al numero ´ primera divisi´on es el LSB, el ultimo ´

3

2) Multiplicaci´ on por la base: Este procedimiento se aplica decimal. para transformar la parte fraccionario del numero ´ fraccionario Consiste en multiplicar sucesivamente el numero ´ ıgitos con la prepor la nueva base, hasta que se tengan los d´ on cisi´on esperada, o en el case binario hasta que la multiplicaci´ sea igual a uno. 3) Conversi´on cuando una base es potencia de otra: En la decimal aplicaci´on de este m´etodo primero se lleva el numero ´ ıgitos o de cualquier otra base a binario. Luego se separan los d´ en grupos de a tres para el caso octal y en grupo de a cuatro para la base hexadecimal. Caso octal 001 |{z} 011 |{z} 011 . |{z} 101 |{z} 011 |{z} 100 |{z} 1

3

3

5

3

F

1

6

C

Multiplicacion ´ La operaci´on sigue un procedimiento on decimal. El trabajo se reduce similar a la multiplicaci´ on por ceros, en en gran manera, al tener la multiplicaci´ on 0 del este caso se puede optar solo por colocar la posici´ producto parcial, y continuar con el siguiente producto parcial. TABLE IV E JEMPLO

1 1

4

El numero ´ octal resultante (133.534)8 Caso Hexadecimal 1010 | {z }0110 | {z } . 0001 | {z } 1100 | {z } | {z } 1111 A

•

•

1 0

1 1

1 0 1

1 1

´ DE M ULTIPLI CACION

1 0 0

producto parcial de ceros

0

4 bits

Division ´ La divisi´on hace uso extensivo de las ideas presentadas para la resta, en si el procedimiento es similar a la divisi´on decimal. El procedimiento se discute en on IV-E de resultados. forma de ejemplo en la secci´

El numero ´ en hexadecimal resultante (AF.16C)16 E. Complemento a dos D. Aritm´etica binaria La aritm´etica binaria es de gran relevancia para entender de forma b´asica como los circuitos digitales realizan las operaciones matem´aticas. Al igual que en el sistema decimal se tendr´an las operaciones elementales de suma, resta, multiplicaci´on y divisi´on. Se presentar´a una breve descripci´ on de cada una de las operaciones; el procedimiento se explora de on de resultados IV-E. forma detallada en la secci´ • Suma La suma binaria es una operaci´ on sencilla, su on procedimiento se describe en la tabla II. La operaci´ destacada es: 1 + 1 = 10, donde se tendr´a como suma el 0 y el uno es pasado como un acarreo a la siguiente columna. TABLE II SUMA BINARIA + 1 1

•

0 0 1

1 1 10

omo repreEn los sistemas digitales surge el problema de c´ negativo, para este problema discutimos sentamos un numero ´ la soluci´ on m´as aceptada que es el complemento a dos. Aquı´ se sigue la formula general del complemento a una base: [N ]r = rn − (N )r

(2)

El complemento a dos ser´ıa: [N ]r = 2n − (N )2

(3)

Ejemplo: n es la cantidad de d´ıgitos del numero. ´ [N ]2 = [01100101]2

(4)

= 28 − (01100101)2 = (100000000)2 − (01100101)2 = (10011011)2

Un segundo m´etodo para encontrar el complemento a dos, Resta Esta es la operaci´on inversa a la suma. La op- implica la aplicaci´ on previas del complemento a uno, donde eraci´on destacada aqu´ı es: 0 - 1 = 1, despu´es de pedir el cada todo los d´ıgitos de N son complementados, y luego se pr´estamo, 10 - 1 = 1. Como el minuendo es menor que el suma 1 al LSB del complemento. Ejemplo: de sustraendo, lo que se hace es pedir prestado al numero ´ la izquierda, en caso de que no pueda prestar se continua [N ] = 01100101 pasando hasta la columna m´ as significativa, y se har´an los = 10011010 prestamos sucesivos hacia la derecha, siempre realizando la operaci´on 10 - 1 = 1, cada vez que se preste. = +1 TABLE III E JEMPLO D E 0 1 0 0

1 10 0 1 0

10 0 1 1

[N ]2 = (10011011)2

RE STA

pr´estamo pr´estamo Diferencia

IV. R ESULTADOS A. Conversi´on de un n´ umero decimal a binario on: Resuelva los problemas mostrados a continuaci´ Las figuras 5 a la 9 muestran la soluci´ on para la conversi´ on de decimal a binario, aqu´ı se aplicaron lo m´etodos de la

4

Fig. 4.

Tabla 1

on entre la base. El proceddivisi´on entre base y multiplicaci´ imiento es bastante simple, consisti´o de divisiones sucesivas on a entre la base dos. En la soluci´ on deb´ıamos prestar atenci´ era el LSB y el MSB, aprendimos que en el caso cu´al numero ´ de la parte fraccionaria este orden se invert´ ıa.

Fig. 5.

Fig. 7.

Parte 1.3

Fig. 8.

Parte 1.4

Parte 1.1

B. Conversi´on de un n´ umero decimal a octal on Las figuras 11 hasta la 14 muestran la transformaci´ decimal a octal, el procedimiento es similar al caso anterior, aqu´ı se continua dividiendo entre ocho hasta que la parte entera del cociente sea igual a cero. El residuo de las divisiones sucesivas entre ocho representa el numero ´ en octal. Resuelva los problemas mostrados en la figura 10:

Fig. 6.

Parte 1.2

5

Fig. 9.

Parte 1.5

Fig. 12. Parte 2.2

Fig. 10.

Tabla 2

Fig. 13. Parte 2.3

Fig. 11. Parte 2.1

C. Conversi´on de un n´umero decimal a hexadecimal El procedimiento continua siendo el mismo que el de los etodo III-C1, para la parte casos anteriores. Se aplica el m´ on entera, dividimos entre 16, donde el residuo de cada divisi´ representa el numero ´ en hexadecimal, mientras que la parte fraccionaria requiere de la aplicaci´ on del m´etodo III-C2.Al igual que en los sistemas anteriores, el numero equivalente se forma, de la uni´ on de los dos numeros ´ equivalentes, tanto entero como fraccionario, separados por un punto que

establece la diferencia entre ellos. Las figuras 16 a 19 muestran los procedimientos para los problemas asignados en la figura 15.

6

Fig. 14. Parte 2.4

Fig. 17. Parte 3.2

Fig. 15.

Tabla 3

Fig. 18. Parte 3.3

El n ´umero octal resultante (3746)8 En Hexadecimal 0111 | {z }1110 | {z } | {z } 0110

Fig. 16. Parte 3.1

E

7

D. Conversi´on entre bases usando el sistema binario etodo Los siguientes problemas muestran la aplicaci´ on del m´ discutido en la secci´on III-C3, la soluci´on es bastante directa cuando se pasa de binario a octal o hexadecimal. Ambos sistemas son potencias de 2, donde 23 = 8 y 24 = 16. 1) Transformar (11111100110)2 En Octal 011 |{z} 111 |{z} 100 |{z} 110 |{z} 3

7

4

6

6

El n ´umero en hexadecimal resultante (7E 6)16 2) Transformar (110101)2 En Octal 110 |{z} 101 |{z} 6

5

El n ´umero octal resultante (65)8 En Hexadecimal |0011 {z } |0101 {z } 3

5

7

En Hexadecimal 0001 | {z } 0100 | {z } . |0010 {z } 1

4

2

El n ´umero en hexadecimal resultante (14.2)16 7) Transformar (10000111.1011)2 En Octal 010 |{z} 000 |{z} 111 . |{z} 101 |{z} 100 |{z} 2

0

7

5

4

El n ´umero octal resultante (207.54)8 En Hexadecimal 1000 | {z } 0111 | {z } . |1011 {z } 8

7

11

El numero ´ en hexadecimal resultante (87.B)16 8) Transformar (1010011.1101)2 En Octal 001 |{z} 010 |{z} 011 . |{z} 110 |{z} 100 |{z}

Fig. 19. Parte 2.4

1

El n u´ mero en hexadecimal resultante (35)16 3) Transformar (1011100)2 En Octal 001 |{z} 011 |{z} 100 |{z} 1

3

4

El n u´ mero octal resultante (134)8 En Hexadecimal 0101 | {z } 1100 | {z } 5

12

El n u´ mero en hexadecimal resultante (5C)16 4) Transformar (110100000)2 En Octal 110 |{z} 100 |{z} 000 |{z} 6

4

0

El n u´ mero octal resultante (640)8 En Hexadecimal 0001 | {z } | {z } 0000 | {z } 1010 0

10

1

El n u´ mero en hexadecimal resultante (1A0)16 5) Transformar (1101)2 En Octal 001 |{z} 101 |{z} 1

3

6

4

3

5

13

El numero ´ en hexadecimal resultante (53.D)16 9) Transformar (1010.01)2 En Octal 001 |{z} 010 . |{z} 010 |{z} 1

2

2

El n ´umero octal resultante (12.2)8 En Hexadecimal 1010 | {z } . |0100 {z } 10

4

El n ´umero en hexadecimal resultante (A.4)16 10) Transformar (111.1)2 En Octal 100 111 . |{z} |{z} 7

4

El n ´umero octal resultante (7.4)8 En Hexadecimal 0111 | {z } . |1000 {z } 7

8

El n ´umero en hexadecimal resultante (7.8)16

5

El n u´ mero octal resultante (15)8 En Hexadecimal 1101 | {z } 13

El n u´ mero en hexadecimal resultante (D)16 6) Transformar (10100.001)2 En Octal 010 |{z} 100 . |{z} 001 |{z} 2

2

El n ´umero octal resultante (123.64)8 En Hexadecimal 0101 | {z } . |1101 {z } | {z } 0011

4

1

El n u´ mero octal resultante (24.1)8

E. Aritm´etica Binaria En esta parte seguimos los procedimientos discutidos en la secci´on III-D. En las soluciones quiz´ as el procedimiento m´as on, requiere de uno pasos extras, pero intrincado es el de divisi´ on de la resta binaria. Las figuras en s´ı se basa en la aplicaci´ 20 a 23 muestran las soluciones a los problemas propuestos en la gu´ıa.

8

Fig. 20. Parte 5.1

Fig. 22. Parte 5.3

Fig. 21. Parte 5.2

Fig. 23. Parte 5.4

F. Complemento a dos En el complemento a dos tratamos de aplicar los dos on III-E, en las figuras 24 y m´etodos discutidos en la secci´ on del procedimiento 2, para las 25 se puede ver la aplicaci´ operaciones restantes, figuras 26 hasta la 33 aplicamos el procedimiento descrito en 4.

Fig. 24. Parte 6.1

9

Fig. 30. Parte 6.7 Fig. 25. Parte 6.2

Fig. 26. Parte 6.3

Fig. 31. Parte 6.8

Fig. 27. Parte 6.4

Fig. 32. Parte 6.9

Fig. 28. Parte 6.5

Fig. 33. Parte 6.10 Fig. 29. Parte 6.6

10

´ V. C ONCLUSION o comprobar nuestras habilidades en La experiencia permiti´ el manejo de los sistemas num´ericos, el desarrollo de la parte te´orica ha servido como refuerzo a los conocimientos aprendidos durante clase. En la pr´ actica comprobamos los m´etodos on de los problemas, en algunos m´as usuales para la soluci´ casos pudimos combinar m´etodos, por ejemplo en el caso de on entre sistemas, y aunque usamos mayormente los conversi´ m´etodos de la divisi´on y la multiplicaci´ on, tambi´en pudimos comparar con el m´etodo de sustituci´on por una serie. Otro caso donde se presentaba m´as de un m´etodo de soluci´on, fue el de complemento a dos, aqu´ ı adem´as de la formula 2 tambi´en pod´ıamos aplicar el procedimiento de complementos a unos. La soluci´on de la gu´ıa a sido resultado del trabajo en equipo de cada uno de los miembros, pudimos resolver dudas, y encontrar soluciones de la forma m´ as eficiente. R EF ERENCES [1] Gonz´alez, L. (2018, 20 agosto). Sistemas binarios: sistemas de numeraci´on. Platea.pntic. http://platea.pntic.mec.es/%7Elgonzale/tic/ binarios/numeracion.html#Sistema de numeraci%F3n decimal [2] SISTEMAS NUMERICOS. (2013, 10 mayo). UACJ. http://www3.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sistemas numericos/conversiones/sistemas-numericos.html. on. (2019, 20 marzo). [3] Conversiones de sistemas de numeraci´ Ladelec. https://www.ladelec.com/teoria/electronica-digital/ 343-conversiones-de- sistemas-de-numeracion. y Diseno ˜ [4] V.P.Nelson, H.T.Nagle, B.D. Carrol and J.D. Irwin, Analisis ´ de Circuitos L´ogicos Digitales,USA: Pearson Education, 1996.

Rafael Camargo Conversi´ on Decimal Octal, teor´ıa b´asica y presentaci´on power point

ıas Teor´ıa b´asica, Conversi´ Cristela Causad´ on decimal binario y edici´on de latex

Diego Vega Conversi´on hexad...