Lab N°4- Oscilación DE UN Péndulo Simple PDF

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁFACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIALLIC. EN INGENIERÍA INDUSTRIALDINÁMICA APLICADAI SEMESTREINFORME DE LABORATORIO N°OSCILACIÓN DE UN PÉNDULO SIMPLEINSTRUCTOR:CHISHUN HONGGRUPO:IIINTEGRANTES:ALISON PINEDA 4-802-MARIA ISABEL SALAS 5-813-YENY SERRANO 4-788-FECHA DE ENTREG...

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL LIC. EN INGENIERÍA INDUSTRIAL DINÁMICA APLICADA I SEMESTRE

INFORME DE LABORATORIO N°4 OSCILACIÓN DE UN PÉNDULO SIMPLE INSTRUCTOR: CHISHUN HONG GRUPO: II131 INTEGRANTES: ALISON PINEDA

4-802-1095

MARIA ISABEL SALAS 5-813-1963 YENY SERRANO

4-788-1900

FECHA DE ENTREGA DEL INFORME: 31 DE MAYO

INTRODUCCIÓN Un sistema de péndulo simple vibrará libremente al desplazarse de su posición de equilibrio estático y librarse. El sistemas es conservativo, no esta sujeto a fuerzas no-conservativas ni a excitaciones externas. La ecuación gobernante del movimiento oscilatorio es una ecuación diferencial de segundo grado, homogénea con coeficientes constantes. La solución de dicha ecuación corresponde a la solución complementaria en donde las constantes dependen de las condiciones iniciales del sistema. La ecuación diferencias del movimiento puede obtenerse a partir de la energía total del sistema o aplicando la segunda ley de Newton. Para el desarrollo de la experiencia necesitamos trabajar con las siguientes ecuaciones: El periodo experimental: Te =

tpromedio

El periodo teórico:

ciclos

Ecuación 4.1

L

Tt = 2π (√ g) Ecuación 4.2 La frecuencia circular natural experimental: ωn =

2π

Te

Ecuación 4.3

La frecuencia circular natural teórica: ωn = √ La frecuencia natural experimental:

La frecuencia teórica

g

L

Ecuación 4.4

1

Ecuación 4.5

1

Ecuación 4.6

f=

Te

f=

Tt

La ecuación que describe este movimiento está dada por:

𝜃(𝑡)=C1𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡+C2𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 Ecuación 4.7

Las constantes C1 y C2 se determinan a partir de las condiciones iniciales θ(0)y θ󰇗(0)

OBJETIVO GENERAL  Determinar los parámetros principales de un sistema de péndulo simple bajo vibración libre no amortiguada. Desarrollar y analizar el modelo matemático comparar resultados teóricos y experimentales. OBJETIVOS ESPECÍFICOS  Medir la longitud, masa y periodo de oscilación de un péndulo simple.  Determinar la frecuencia natural de oscilación del péndulo  Obtener la ecuación diferencial no lineal del movimiento de un péndulo simple. Considerar la masa esférica como un punto (parámetros concentrados).  Obtener la ecuación diferencial finalizada con respecto a la posición de equilibrio estático.  Encontrar la solución de la ecuación diferencial de movimiento desarrollada para condiciones iniciales dadas.  Calcule de la frecuencia natural, el periodo del movimiento y la frecuencia natural angular de oscilación del modelo matemático.  Comparar los resultados teóricos con los experimentales. Explicar la diferencia,

 Graficar la posición θ(t), la velocidad y la aceleración 𝜃(𝑡) la angular del péndulo. MATERIALES  Simulador PhET Interactive Simulations.  Calculadora  Excel

PROCEDIMIENTO 1) Ajustamos y anotamos la masa y las diferentes longitudes con las que vamos a trabajar. 2) Elegimos un ángulo y soltamos la masa en el simulador, podemos calcular el periodo o utilizar la herramienta que proporciona el simulador. 3) Medimos el tiempo que tarda en cumplir 5 ciclos para llenar nuestra tabla 4.1 con ayuda de las ecuaciones antes planteadas. 4) Calcular la frecuencia natural y circular de la oscilación. 5) Obtener el modelo matemático de un sistema de péndulo simple.

6) Se mantienen las longitudes y la masa, pero los dos pasos anteriores deben realizarse tanto de forma experimental como teórica. 7) Graficar velocidad, aceleración y operación según los datos recabados.

ANALISIS Y RESULTADOS

L1(500mm) 0.50m L2(700mm) 0.70m L3(900mm) 0.90m

Tabla 4.1. Respuesta de un péndulo simple Experimental 𝑀(𝑔) = 770 𝐼(𝑘𝑔 ∗ 𝑚2 ) = 0.1925 𝜏 = 1.4443 𝜔 = 4.3543 2) 𝐼(𝑘𝑔 ∗ 𝑚 = 0.3773 𝜏 = 1.7067 𝜔 = 3.6814 𝐼(𝑘𝑔 ∗ 𝑚2 ) = 0.6237 𝜏 = 1.9273 𝜔 = 3.2601

ILUSTRACIONES

Ilustración1. Simulación para una longitud de 0.50m

Teórica 𝑀(𝑔) = 𝐼(𝑘𝑔 ∗ 𝑚2 ) = 𝜏= 𝜔= 2) 𝐼(𝑘𝑔 ∗ 𝑚 = 𝜏= 𝜔= 𝐼(𝑘𝑔 ∗ 𝑚2 ) = 𝜏= 𝜔=

770 0.1925 1.4188 4.4285 0.3773 1.6787 3.7428 0.6237 1.9035 3.3008

Ilustración 2. Simulación para una longitud de 0.70m

Ilustración 3. Simulación para una longitud de 0.90m ANÁLISIS 1. Encuentre la solución de la ecuación diferencial de movimiento, linealizada para θ(0) = θ0 y θ’(0)=0. Asuma parámetros concentrados. Obtenga expresiones para la posición θ(t), la velocidad θ(t) y la aceleración θ(t). Grafique resultados, utilice EXCEL. Para dos ciclos de movimiento. Respuesta: Para θ(0) = θ0 y θ’(0)=0: θ0 = 30° = 0.5236 rad Según nuestras condiciones iniciales resolvemos la siguiente ecuación: 𝜃(𝑡) = 𝐶1 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝑡 0.5236 = 𝐶2 cos(0)

𝐶2 = 0.5236 𝐶1 = 0

Entonces tenemos: 𝜃(𝑡) = 0.5236 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝑡 Con esta ecuación sustituimos para las diferentes longitudes y llevamos a la segunda derivada así: Si L=0.50m 𝜃(𝑡) = 0.5236 𝑐𝑜𝑠 4.3543𝑡

𝜃´(𝑡) = −2.2799 𝑠𝑖𝑛 4.3543𝑡

𝜃´´(𝑡) = −9.9274 𝑐𝑜𝑠 4.3543𝑡 Tabla 4.2. POSICIÓN x y 0 0.52 1 -0.18 2 -0.39 3 0.46 4 0.07

Tabla 4.3. VELOCIDAD x y 0 0 1 2.14 2 -1.5 3 -1.09 4 2.26

Tabla 4.4. ACELERACIÓN x y 0 9.93 1 -3.48 2 -7.49 3 8.73 4 1.37

Grafico 4.1- Longitud de 0.50m 12 10 8 6 4 2 0 -2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-4 -6 -8 -10 Posición

Velocidad

Aceleración

3.5

4

4.5

Si L=0.60m

𝜃(𝑡) = 0.5236 𝑐𝑜𝑠 3.6814t

𝜃´(𝑡) = −1.9276 𝑠𝑖𝑛 3.6814𝑡

𝜃´´(𝑡) = −7.0963 𝑐𝑜𝑠 3.6814𝑡 Tabla 4.5. POSICIÓN x y 0 0.52 1 -0.45 2 0.24 3 0.03 4 0.29

Tabla4.6. VELOCIDAD x y 0 0 1 0.99 2 -1.7 3 1.93 4 -1.6

Tabla 4.7. ACELERACIÓN x y 0 -7.09 1 6.08 2 -3.35 3 -0.34 4 3.94

Grafico 4.2- Longitud de 0.70m 8 6 4 2 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-2 -4 -6 -8 Posición

Si L=0.90m

Velocidad

Aceleración

𝜃(𝑡) = 0.5236 𝑐𝑜𝑠 3.2601𝑡

𝜃´(𝑡) = −1.7069 𝑠𝑖𝑛 3.2601𝑡

𝜃´´(𝑡) = −5.5645 𝑐𝑜𝑠 3.2601𝑡

3.5

4

4.5

Tabla 4.8. POSICIÓN x y 0 0.52 1 -0.52 2 0.51 3 -0.49 4 0.47

Tabla 4.9. VELOCIDAD x y 0 0 1 0.2 2 -0.4 3 0.59 4 -0.78

Tabla 4.10. ACELERACIÓN x y 0 -5.56 1 5.53 2 -5.41 3 5.22 4 -4.95

Grafico 4.3- Longitud de 0.90m 8 6 4 2 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

-2 -4 -6 -8 Posición

Velocidad

Aceleración

2. Calcule la frecuencia natural, el periodo del movimiento y la frecuencia natural angular de oscilación. Respuesta: A partir de estas ecuaciones resolvemos: 𝜔𝑛 = √

𝑔 𝐿

𝐿 𝑇(𝑠) = 2𝜋√ 𝑔 𝑓=

1 𝑔 √ 2𝜋 𝐿

𝜔𝑛 (𝑟𝑎𝑑/𝑠) 𝑇(𝑠) 𝑓(𝐻𝑧)

Tabla 4.11 -Datos sobre frecuencia periodo y frecuencia angular L=500mm=0.50m L=700mm=0.70m L=900mm=0.90m 4.4285 3.7428 3.3008 1.4188 1.6787 1.9035 0.7048 0,5956 0.5253

3. Compare los resultados teóricos con los experimentales. Explique la diferencia

𝜔𝑛 (𝑟𝑎𝑑/𝑠) 𝑇(𝑠) 𝑓(𝐻𝑧)

Tabla 4.12. - Comparación entre resultados Experimental Teórica L=500mm L=700mm L=900mm L=500mm 0.50m 0.70m 0.90m 0.50m 4.3543 3.6814 3.2601 4.4285 1.4443 1.7067 1.9273 1.4188 0.7049 0.5958 0.5254 0.7048

L=700mm 0.70m 3.7428 1.6787 0.5956

L=900mm 0.90m 3.3008 1.9035 0.5253

La diferencia puede estar en la naturaleza del simulador, desconocemos algunas cosas como formas de redondeo, como plantea las ecuaciones, y que estos datos no han podido ser sometidos a un experimento real donde hay otras variables que pueden afectar aún más la obtención de la información es por lo que las similitud es enorme entre los datos experimentales y los teóricos. 4. Analice la posición, velocidad y aceleración de la masa m. ¿Qué puede concluir respecto a la amplitud y Angulo de cada movimiento? Respuesta: Concluimos que el comportamiento del movimiento va a depender del largo de la cuerda, la masa y el ángulo con la que se deje ir el péndulo. Es importante destacar que cuando hablamos de movimiento englobamos la frecuencia, el periodo etc. y que esto va a aumentar o a disminuir según como sean los factores antes mencionados. 5. Comparando las frecuencias naturales ¿Qué comportamiento observa? Respuesta: La frecuencia natural para los datos teóricos y experimentales va en disminución mientras que la masa aumenta, las diferencias pueden darse porque la forma de calcularlas es distinta. 6. ¿Cómo se comparan los resultados teóricos con los experimentales? Respuesta: La diferencia entre los valores obtenidos de forma teórica y experimental es mínima, esto nos ayuda a corroboran nuestros resultados, podemos compararlos por medio del error que hay a partir del

teórico al experimental, también podemos descartar los posibles factores de error que estamos evitando por trabajar con un simulador y por medio de fórmulas. CONCLUSIONES De esta experiencia adquirimos conocimientos sobre el péndulo y diferentes factores a estudiar en él, como lo es el periodo, la frecuencia, que depende de la longitud de la cuerda, pero que son independientes a la masa, un péndulo simple es accesible a la teoría no a la práctica. De forma gráfica se puede ver cómo se comporta según las distintas longitudes utilizadas para esta experiencia, pues según estas varíen se disminuyen los periodos aumentan las frecuencias o viceversa como ya se hizo mención dependerá de la longitud y el comportamiento de la velocidad, posición y aceleración son graficados para cada una de las diferentes extensiones. Comprender el comportamiento de un péndulo simple a través de un simulador tiene sus ventajas y desventajas, te permite una variedad x de cambios tanto para la masa como la longitud y observar de diferentes formar un mismo experimento todo a la mano sin mayores problemas es muy interesante, sin embargo es importante destacar que hay detalles que no nos permite cumplir, que tiene limitantes y a la hora de desarrollar una experiencia como esta se queda un poco rezagado a otros software, sin embargo lo hemos elegido por ser el mas amigable para trabajar y comprender los puntos básicos de la experiencia que consideramos que es la finalidad de el curso. BIBLIOGRAFÍA Lab de Péndulo. (2021). Colorado.edu. https://phet.colorado.edu/sims/html/pendulumlab/latest/pendulum-lab_es.html -5 - PÉNDULO SIMPLE. (2015). https://fisicas.ucm.es/data/cont/media/www/pag103480/Guiones/Pendulo%20simple.pdf Colaboradores de los proyectos Wikimedia. (2009, August 16). sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo. Wikipedia.org; Wikimedia Foundation, Inc. https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_simple...