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Informe: Respuesta En Frecuencia y Resonancia1 stDavid Alfonso Beltran Castano ̃[email protected] stJorge Jesus Rico [email protected] stJavier Alberto [email protected] stBrian Trujillo [email protected]—La presente prac...

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Informe: Respuesta En Frecuencia y Resonancia no2st Jorge Jesus Rico Pinto 3st Javier Alberto Rodriguez 4st Brian Trujillo Vargas 1st David Alfonso Beltran Casta˜ [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] 200119880 200124544 200126659 200121746

Resumen—La presente pr´actica se enfoca en comprender la respuesta en frecuencia y en resonancia de circuitos RLC alimentados por una fuente alternante de entrada con una amplitud fija. El objetivo principal de la experiencia es analizar la funci´ on de transferencia de tensi´on y voltaje de un circuito RLC, teniendo en cuenta la frecuencia de resonancia de este mismo. Durante la pr´ actica, se disenaron ˜ circuitos RLC de modo que la tensi´ on del circuito correspondiente, en funci´ on de la frecuencia de resonancia, no excediera el valor de la amplitud de la fuente principal igual a 5V. En consecuencia, se formaron dos tipos de combinaciones para los circuitos RLC (Serie y paralelo) y se tabul´ o cada valor medido de tensi´on y corriente de cada elemento o de la funci´ on de transferencia pedida (De voltaje o corriente) para compararlos con el an´ alisis num´erico o basado en la teor´ıa. o a cabo con el uso del software LTspice, el cual Todo esto se llev´ on de alto rendimiento y enfocado es un programa de simulaci´ en el diseno ˜ de circuitos electr´onicos. El principal resultado del experimento fue que el valor VL+VC era muy dependiente de la frecuencia de resonancia, ya que se “hac´ıa cero” justo cuando se evaluaba en esta ´ y el valor de tensi´on de salida para un elemento era muy alto en condiciones de resonancia. Por tanto, se concluy´ o que la resonancia es un fen´omeno muy imprescindible onicos RLC de analizar cuando se van a plantear circuitos electr´ an a una frecuencia espec´ıfica. que responder´ Index Terms—Tensi´on, Corriente, Frecuencia, Frecuencia de on de Corte/Resonancia, Cero, Polo, Componente reactiva, Funci´ transferencia, Diagrama de Bode, Resonancia.

on, corriente, fasor de entrada. Puede ser de tipo tensi´ impedancia o admitancia. Ceros y Polos: Un cero es el valor de s=jw que hace que la funci´on de transferencia se haga cero, mientras que un polo es el valor de s=jw el cual ocasiona que H(s) sea infinita. Diagrama de Bode: Es una gr´afica semilogar´ıtmica de on de transferencia (en decibeles) la magnitud de la funci´ en depende de la y de su fase (en grados) la cual tambi´ frecuencia. Frecuencia resonante (wr /w0 ): Es el valor de w que satisface la condici´on de resonancia en un circuito electr´onico RLC. Resonancia: Fen´omeno en el cual las componentes reactivas del capacitor e inductor se igualan haciendo que en el circuito RLC tenga una impedancia equivalente de tipo resistiva, es decir s´olamente con componente activa. III.

´ LISIS D E R ESULTADOS AN A

Actividad 1.

Para esta actividad se analiza la respuesta en frecuencia de un circuito RLC serie observando los par´ ametros de tensi´on ´ en el capacitor y corriente en el circuito al realizar cambios I. INTRODUCCI ON en la frecuencia. El estudio de la respuesta en frecuencia y en resonancia ha actica se escogieron valores Para cumplir el objetivo de la pr´ sido un tema fundamental en el dise˜ no de circuitos electr´onicos para los elementos que se encuentran en el laboratorio y fueron desde hace d´ecadas. Un antecedente de ello es el incidente del actica. usados previamente para otra pr´ puente tacoma, el cual se derrumb´ o en el d´ıa 7 de noviembre Para completar esta actividad se dise˜ no´ un circuito RLC o de 1940 por corrientes de viento no muy altas. Esto se debi´ ımites seg´ un las especificaciones y teniendo en cuenta los l´ a que en aquel tiempo la ingenier´ ıa no ten´ıa en cuenta los o e condiciones que pueden soportar los equipos de laboratorios, se conect´ efectos que implicaba la resonancia y en qu´ o a hacer la fuente de acuerdo a los lineamientos y se procedi´ as, cuando estudiamos se presentaba este fen´ omeno. Adem´ on un circuito electr´ onico, lo que m´as interesa es saber si un el an´alisis de frecuencia en el software y realizar la medici´ solicitada. componente est´ a en riesgo de da˜narse por voltajes picos muy altos causados por la resonancia. De ah´ ı que esta pr´actica ELEMENTO VALOR tiene como prop´ osito analizar la funci´on de transferencia para R 246 Ω L 787 mH ıfica en la cual circuitos RLC y encontrar la frecuencia espec´ C 1.6 uF se cumple la condici´ on del fen´omeno resonancia. Cuadro I II.

´ MARCO T E ORICO

VAL ORES DE

LOS

E LE MENTOS DEL C IRC UITO

II-A. Conceptos b´asicos on Vo Te o´ ricamente la funci´ on de transferencia para la tensi´ Funci´on de transferencia H (jw): Es una herramienta medida en el capacitor dio como resultado: anal´ıtica que permite determinar la respuesta en frecuencia de un circuito. Esta funci´ on refiere a la raz´on Vo 1 H (j ω) = (1) = dependiente en frecuencia de un fasor de salida a un 1,25(j ω)2 + 0,39jω + 1 Vi

Figura 1. Dise n˜ o FRECUENCIA Vo/Vi (d β ) 0,1 ω 0 14.06 0,2 ω 0 14.31 ω0 23.10 2 ω0 4.14 10 ω 0 -25.91 20 ω 0 -38.01 100 ω 0 -65.92 200 ω 0 -78.08 Cuadro II VAL ORES DE C IRCU ITO RC

Figura 3. Tensi´on en el capacitor.

Figura 4. Tensi´on en el inductor.

Figura 2. Gr´afico de la Tabla

on de transferencia de la corriente del circuito se Para la funci´ Figura 5. Tensi´on en el resistor. obtuvo: Io 1,6uF jω H (j ω) = (2) = 1,25(j ω)2 + 0,39jω + 1 Vi calculan las impedancias de los mismos pues sus f´ ormulas son inversas y difieren un poco debido a que los valores Actividad 2 Parte A de inductancia y capacitancia no son proporcionales uno al nar un circuito Para cumplir el objetivos de la practica y dise˜ inverso del otro. RLC serie se escogieron los mismos valores para los elementos PARAMETRO VALOR presentados previamente pues estos valores de los elementos B 203.98 permiten que en condiciones de resonancia no se llegue a Q 4.38 ıticos para los elementos usados, considerando los valores cr´ Cuadro III ´ VAL ORES DE L OS PAR AME TROS S IMUL ADOS limites de los modulos de resistencia, inductancia y capacio que el valor tancia encontrados en el laboratorio, se encontr´ on es 14.25 V y para la corriente 20.32 mA. pico de tensi´ on para todos En cuanto a la respuesta en frecuencia de tensi´ PARAMETRO VALOR fresonante 141.83 HZ aficas. los elementos se hallaron las siguientes gr´ ωr 891.15 rad/s aficas de tensiones para C´omos se puede observar en las gr´ Cuadro IV inductor y capacitor, estas son opuestas esto puede verse mejor ´ ME TROS DE FREC UENC IA VAL ORES DE L OS PAR A omo se matem´ aticamente y se explica a partir de la forma en c´

ICalculada IM edida 20.32 mA 20,27 mA Error 0.24 % Cuadro V VAL ORES DE LA C ORR IENTE

La diferencia entre los valores teoricos y los calculados se debe a las aproximaciones de los valores realizados al momento de hacer la simulacion.

oricos Algunos valores pueden diferir un poco de los te´ debido a las aproximaciones realizadas y las cuales tienen un ametros como las frecuencias de corte, gran impacto en par´ ancho de banda y factor de calidad. Actividad 2 Parte B no un circuito RLC Para esta parte de la actividad se dise˜ Paralelo, de tal manera que en condiciones de resonancia, las tensiones y corrientes no sobrepasen los valores criticos de los elementos, los valores de tension maxima fue 4.2V y 15mA para la corriente. Los valores usados para este circuito son los siguientes

VAL ORES DE

ELEMENTO VALOR R1 100 Ω R2 246 Ω L 787 mH C 1.6 uF Cuadro VI LOS E LE MENTOS DEL C IRC UITO RLC PARA LELO

Figura 7. Diagrama de bode para el RLC paralelo

IV.

P REGUNTAS FINALES

o para obtener los diagramas de 1. ¿Qu´e software emple´ Bode? ¿Por qu´e seleccion´o este software? R/ El software empleado para graficar los diagramas de bode fue Octave online, este software fue seleccionado debido a que ya se tiene experiencia con el, ´ adem´ as ofrece diversas herramientas a la hora de hacer los gr´ aficos los cuales hace que su uso se c´omodo y sencillo. o con las mediciones 2. El diagrama de Bode que se construy´ tomadas, ¿es consistente con el diagrama de Bode te´orico? Indique diferencias y similitudes. R/

Figura 6. Dise ˜no RLC paralelo

La funcion de transferencia de tension del circuito RLC paralelo dio: H (j ω) =

Vo 193,6j w = 0,03(j ω)2 + 272,3jω + 24600 Vi

(3)

y La frecuencia de resonancia esta dada por 1 1 wo = √ =p = 891,15rad/s LC 0,787 ∗ 1,6 ∗ 10−6 =⇒ fo = 141,83H z

f resonancia(Hz) VR2 teorico(V) 3.55 V OLTAJ E

141.83 VR2 medido(V) 3.48 Cuadro VII

error( %) 1.97

EN CON DICION DE RES ONA NCIA

Figura 8. Gr´aficas de la funci´on de transferencia para la actividad 1.

(4) Como se puede observar en la figura No. 8, los dos diagramas son muy similares y los picos de H(dB) son on original aunque tienen un margen de cercanos a la funci´ error diferentes (Aproximadamente 8dB para el diagrama orico). Esto tomado por tabla, mientras que de 3dB para el te´ on de transferencia ya que es igual se debe al zita de la funci´ orico a 0.17, por tanto la gr´ afica del diagrama de Bode te´ on original (en la se ver´a un poco por debajo de la funci´

frecuencia de resonancia), mientras que la funci´ on tomada por a un poco por arriba ya que considera tabla de valores se ver´ as un zita diferente y aproximado a 0.02, lo cual ocasiona m´ as cercano a 0. error de decibeles al tener zita m´

ısticas observadas de 3. ¿Cu´ales son las principales caracter´ la respuesta en frecuencia del circuito estudiado? R/ Al ser un circuito RLC serie observamos que la respuesta en frecuencia para la corriente de cada elemento es on VL+VC es la misma, a la frecuencia de resonancia la tensi´ 0V, a la frecuencia de resonancia al no haber componentes reactivos en el circuito toda la potencia (potencia pariente) se convierte en potencia activa (potencia consumida por el resistor) y se obtiene un factor de potencia unitario, actica? 4. ¿Cu´ al es valor de la tensi´ on VL + VC en la pr´ ¿Concuerda con la teor´ıa? Explique. R/ Este valor es constante durante el tiempo en que se encuentre en frecuencias alejadas a la de resonancia, cuando se acerca a la frecuencia de resonancia va decreciendo y finalmente cuando se llega a la frecuencia de resonancia este valor es de 0 V tanto en la pr´ actica como en la teor´ıa esto on de capacitor e inductor en serie debido a que la combinaci´ tiene un comportamiento de cortocircuito y como es sabido la oricamente 0 V, debido a que tensi´ on de un cortocircuito es te´ actica estamos trabajando en un medio simulado y no en la pr´ oricos en este caso se cumplen real las valores medidos y te´ exactamente arrojando un valor de 0 V a la frecuencia de resonancia. 5. ¿Qu´e efecto tiene la frecuencia de la fuente de on? alimentaci´ on sobre la corriente y la tensi´

esto puede deberse a las aproximaciones realizadas al realizar los c´alculos. V.

A partir de los datos obtenidos en ambas actividades, se consiguieron los objetivos planteados de conocer la respuesta asico y el comportamiento en frecuencia de un circuito b´ durante la resonancia de un circuito Entre las diferentes metas alcanzadas, se destaca en gran medida la de comprobar a trav´es de las simulaciones de los circuitos los modelos aticos que planteamos para el estudio de los mismos. matem´ omo es la respuesta en frecuencia de M´as espec´ıficamente, c´ en fue posible, a partir de un circuito. Por otro lado, tambi´ las pruebas realizadas, reconocer y explorar mucho mejor los omenos muy importantes tales como el de resonancia de fen´ omo se visualiza este un circuito y cuando este se produce, c´ e aplicaciones se se usa este fen´ omeno en el circuito y en qu´ fen´ omeno y los par´ametros que los acompa˜ nan como el ancho de banda, factor de calidad y frecuencias de corte. Dentro de los objetivos menores y secundarios de la pr´ actica, se resalta el correcto uso del software para las simulaciones, el cual on de los diagramas de Bode, pues el facilita la observaci´ mismo software entrega el diagrama real y se puede analizar la realidad del circuito sin recurrir a aproximaciones que on, la actividad puedan generar peque˜ nos errores. En conclusi´ se realiz´o de forma satisfactoria, en donde se cumplieron los objetivos, se aclararon conceptos y se estudiaron mejor los fen´omenos implicados en estos, se aclararon dudas y se as en el uso de las herramientas dispuestas como profundizo m´ el software de simulaci´on. R EFEREN CIAS [1] C. Alexander. y M. Sadiku. Fundamentos De circuitos el´ectricos (5a. Ed.). M´exico: McGraw-Hill Interamericana, 2013. [2] J. E. Kemmerly, S. M. Durbin y W. H. Hayt, Engineering Circuit Analisys (8a. Ed. ), New York: McGraw-Hill, 2012.

R/ Si la frecuencia de la fuente es la frecuencia de resonancia del circuito las corrientes y tensiones de los elementos alcanzan valores pico muy altos, que generalmente son m´as altos que la alimentaci´on y esto puede conllevar a no del circuito si no se tienen en cuenta este caso o no un da˜ ımites de los componentes. se tienen en cuenta los l´ 6. Compare los valores te´ oricos con los pr´acticos. ¿Son consistentes? R/ RLC Serie fresonancia V(t) I(t)

Ecuaci o´ n 14.25V 20.32mA

Simulaci´on 14.41V 20.22mA

RLC Paralelo t=39.8s Ecuaci´on V(t) -1.25mV

Simulaci´on -1.75mV

Cuadro VIII PRUE BA DE VAL ORES

Los valores analizados en resonancia son consistentes con oricos, si bien algunos valores difieren un poco los valores te´

DISCUSIONES...