LAIT303 Valeria Camargo U3A2 PDF

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Calculo vectorial en la actualidad...

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Cálculo de VECTORES

Alumna: Valeria Magaly Camargo Cantú

Docente: Leonor García Martínez Cálculo de Vectores LAIT303 Unidad 3

Presentación del Incidente crítico En varias áreas del conocimiento es necesario plantear como cambia una cantidad en relación a otra, de manera formal se llama la razón de cambio y esto se plantea a través de derivadas. En esta tarea debes revisar profundamente que es el gradiente para después poder plantear este en un problema sobre la vida media del radio. La solución a este ejercicio, lo podrás aplicar en la solución del problema final de la materia. Propósito Aplicar los conceptos funciones reales de varias variables para resolver diversos problemas sobre continuidad de funciones y derivadas. Indicaciones En un archivo de Word, responde a las siguientes preguntas. I. Describe el concepto de gradiente como razón de cambio y mencione un ejemplo en tres áreas del conocimiento.

Gradiente es la generalización de derivada a funciones de más de una variable. Es útil en física e ingeniería. También lo es la derivada direccional, con la que el gradiente está relacionado. Para facilitar la comprensión de ambos conceptos, nos ocupamos de ellos aquí pensando principalmente en sus aplicaciones. Se llama gradiente en un punto de una función real de varias variables reales al conjunto ordenado de las derivadas parciales de esa función en ese punto. Por tanto, el gradiente de una función f x ( ), y, z en el punto x0, y0, z ( ) 0 es

Se denota por ∇f. Es decir,

Cada derivada parcial en el punto (X 0, Y0, Z0) se llama componente del gradiente en ese punto. La derivada en un punto de una función real de variable real informa de lo que varía la función por cada unidad que varía la variable independiente en ese punto. La misma información da el gradiente con cada una de sus componentes: informa de lo que varía la función por cada unidad que varía cada variable en el punto que se considere. Así, que el gradiente de una función f (x, y, z), en el punto (3, -2, 4) sea (2, 0, -1) significa que, por cada unidad que varía x

en los entornos más pequeños de 3 manteniéndose y, z en los valores y = −2 y z = 4 , f varía 2; que f no varía si y varía en pequeños entornos de -2 con x y z constantes en 3 y 4; y que f disminuye 1 por cada unidad que se incrementa z en pequeños entornos de 4 con x e y en 3 y 2.

Ejemplos: 1.

2. Hallar la derivada direccional de Solución: Como las derivadas de f son continuas, f es diferenciable, hallamos el vector PQ de la siguiente manera:

Y un vector unitario en esta dirección es:

3. Determine la derivada direccional de en la dirección del vector unitario cuyo ángulo con el eje x positivo sea π6. Solución Hallamos las derivadas parciales respectivas:

II. Calcule el gradiente de la función 1

𝑣(𝑟) = (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) 2 1

Aplicando derivación parcial con respecto a x Aplicamos la regla de la cadena para 1

Entonces

𝜕𝑣(𝑟)=(𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2 ) 2 𝜕𝑥

𝜕𝑣(𝑟)=(𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2 ) 2 𝜕𝑥 1

𝑣(𝑟) = (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )2

𝜕𝑣(𝑟)

Se tiene

𝜕𝑥

1 2

1

= (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) (

𝜕𝑥 2

2

𝑥

+

𝜕𝑦2 𝑥

+

𝜕𝑧 2 ) 𝑥

La derivada parcial de las constantes es igual a cero, por lo tanto 1 𝜕𝑣(𝑟) 1 2 = (𝑥 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) 2 (2𝑥 + 0 + 0) 𝜕𝑥 2

Simplificando

𝜕𝑣(𝑟) 𝜕𝑥

=

1 (𝑥 2 2

1

𝜕𝑣(𝑟) 𝜕𝑥

+ 𝑦 2 + 𝑧 2 ) 2 (2𝑥)

Por lo tanto, la derivada parcial con respecto a X es

= (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )

𝜕𝑣(𝑟) 𝜕𝑥

=

1 2

(𝑥)

𝑥 √𝑥 2 +𝑦2 +𝑧 2

Observando que las derivadas parciales son con respecto a 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 entonces cada derivada queda como: Para x: Para y: Para z:

𝜕𝑣(𝑟) 𝜕𝑥 𝜕𝑣(𝑟) 𝜕𝑥 𝜕𝑣(𝑟) 𝜕𝑥

= = =

𝑥 √𝑥 2 +𝑦2 +𝑧 2 𝑦 √𝑥 2 +𝑦2 +𝑧 2 𝑧 √𝑥 2 +𝑦2 +𝑧 2

Entonces el resultado correspondiente para el gradiente de la función mencionado anteriormente es ∇v(r)=∇ ∇v(r) f(x, y, z)=

𝝏𝒗(𝒓) 𝝏𝒙

=

𝒙 √𝒙𝟐 +𝒚𝟐 +𝒛𝟐

i+

𝝏𝒗(𝒓) 𝝏𝒙

=

𝒚 √𝒙𝟐 +𝒚𝟐 +𝒛𝟐

𝝏𝒗(𝒓)

j+

𝝏𝒙

=

𝒛 √𝒙𝟐 +𝒚𝟐 +𝒛𝟐

k

Dibuje la función “V” y su gradiente. Describa el significado del gradiente en este ejemplo. Representación del gradiente El gradiente nos va a representar la pendiente de la línea tangente a la gráfica de una función. Más precisamente, el gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento. En este caso se toman los puntos i, j, k de la derivada parcial que se realizó anteriormente.

III. Se ha encontrado que el 0.5% del radio desaparece en 12 años. Determine qué porcentaje desaparece en 1000 años. Determine cuál es la vida media del radio. Para resolver este problema considere que, si A es la cantidad de radio en gramos, presentes después de “t” años, entonces dA/dt representa la tasa de desintegración del radio, por lo cual, se puede expresar que: dA/dt=αA Donde α es una constante de proporcionalidad. Puesto que A>0 y decreciente, entonces se debe cumplir que dA/dt...