Lapisan Batas Boundary Layer PDF

Preview

Summary

1.1. Sejarah Lapisan Batas Lapisan batas diperkenalkan pertama kali oleh Ludwig Prandtl pada tahun 1904 saat berlangsungnya kongres matematika internasional ketiga (The Thrid International Mathematics Congress) di Jerman. Konsep ini dipresentasikan oleh Prandtl hanya dalam waktu 10 menit, dan mampu ...

Description

1.1.

Sejarah Lapisan Batas Lapisan batas diperkenalkan pertama kali oleh Ludwig Prandtl pada tahun 1904 saat

berlangsungnya kongres matematika internasional ketiga (The Thrid International Mathematics Congress) di Jerman. Konsep ini dipresentasikan oleh Prandtl hanya dalam waktu 10 menit, dan mampu menjawab permasalahan Hidrodinamika yang hingga akhir abad 19 tidak terpecahkan yakni D'Alembert's Paradox. 1.2.

Karakteristik umum Lapisan Batas Lapisan Batas didefinisikan sebagai daerah aliran yang tipis di dekat permukaan

dimana aliran diperlambat oleh pengaruh gesekan antara permukaan dengan aliran. Pengaruh gesekan, dinyatakan oleh tegangan geser (shear stress, τ), tersebut disebabkan adanya velocity gradient yang sangat besar. Sedangkan Velocity gradient muncul akibat adanya kondisi tidak slip (no-slip condition) dimana kecepatan fluida tepat diatas permukaan adalah nol. Dengan demikian tegangan geser mencapai harga maksimumnya pada permukaan dan semakin menjauhnya jarak dari permukaan maka velocity gradient semakin mengecil sehingga pengaruh tegangan geser dapat diabaikan. Hubungan antara tegangan geser dengan velocity gradient secara matematis diberikan oleh persamaan sebagai berikut:

 u    y 

   

(1)

Salah satu parameter lapisan batas yang penting adalah local skin-friction coefficient yang menunjukkan besaran tak berdimensi dari tegangan geser pada permukaan atau secara matematis diberikan oleh persamaan sebagai berikut:

cf 

w 1   u 2  2

(2)

 u  Dimana:  w       y  y 0

Jarak dari permukaan hingga suatu tempat di dalam medan aliran dimana pengaruh tegangan geser dapat diabaikan didefinisikan sebagai tebalan lapisan batas (boundary layer thickness), yang dilambangkan oleh  . Posisi dimana efek tegangan geser dapat diabaikan dinyatakan oleh kondisi kecepatan alirannya yakni telah mencapai 0,99  ue , dimana ue

adalah kecepatan aliran di bagian terluar dari lapisan batas dimana efek viskos sudah tidak berpengaruh lagi. Secara umum, tebal lapisan batas dipengaruhi oleh beberapa parameter yakni sebagai berikut: 

Characteristic Length (L) Tebal lapisan batas di suatu tempat tertentu yang berjarak L dari titik stagnasi dipengaruhi oleh intensitas interaksi antara molekul fluida dengan permukaan benda di bagian hulunya atau dengan kata lain tebal lapisan batas berbanding lurus dengan panjang karakteristik (   L ).



Kinematic Viscosity (   



)

Tebal lapisan batas juga dipengaruhi oleh jenis fluida yang berinteraksi dengan permukaan benda atau dengan kata lain tebal lapisan batas berbanding lurus dengan kinematic viscosity (    ). 

Local Velocity Outside Boundary Layer (Ue) Tebal lapisan batas disuatu tempat tertentu akan semakin kecil dengan bertambahnya kecepatan luar dari lapisan batas. Hal ini disebabkan suku-suku tegangan inersia menjadi semakin besar, sedangkan viskositasnya konstan sehingga profil kecepatan di dalam lapisan batas akan lebih terdorong ke permukaan. Dengan kata lain tebal lapisan batas berbanding terbalik dengan akar kuadrat kecepatan luar dari lapisan batas (   1

ue

).

Dengan demikian, tebal lapisan batas dapat hubungkan dengan bilangan Reynolds sebagai berikut:



L Re L

Sedangkan bilangan Reynolds sendiri merupakan kuantitas tak berdimensi yang secara fisik dapat didefinisikan sebagai perbandingan antara energi inersia dan energy viskos (gesekan) dari suatu aliran. Secara matematis, bilangan Reynolds dapat didefinisikan dalam persamaan berikut: Re x 

inertia  .V .x V .x   viscous  

Selain boundary layer thickness (  ), terdapat dua definisi lain yang biasa digunakan untuk menyatakan ketebalan lapisan batas yakni sebagai berikut: 

Displacement Thickness (  * ) adalah besaran yang menyatakan terjadinya pengurangan aliran massa (missing mass-flow) akibat kehadiran lapisan batas. Displacement Thickness dinyatakan oleh persamaan berikut: 



 *   1 

(3)  Momentum-Loss Thickness (  ) adalah besaran yang menyatakan terjadinya 0



u  dy ue 

pengurangan momentum akibat kehadiran lapisan batas. Momentum-Loss Thickness dinyatakan oleh persamaan berikut: 

u u 1   dy u ue  0 e 

 

(4)

Kedua definisi diatas, digunakan untuk menganalisis benda dengan persamaan Laplace (inviscid flow) dimana efek viskos telah dimasukkan ke dalamnya. Dengan definisi displacement thickness, distribusi tekanan disekitar benda dapat dihitung, untuk kemudian gaya angkat pada benda tersebut dapat diperoleh. Sedangkan definisi momentum-loss thickness digunakan untuk memperoleh gaya hambat. 1.3.

Klasifikasi Lapisan Batas Lapisan batas terbagi menjadi tiga daerah yakni lapisan batas laminar, daerah transisi

dan lapisan batas turbulen. Fenomena-fenomena aliran di dalam lapisan batas laminar, daerah transisi dan lapisan batas turbulen akan dijelaskan sebagai berikut.

Gambar 1 Lapisan Batas Laminar, Daerah Transisi, dan Lapisan Batas Turbulen di dalam Lapisan Batas

Pada lapisan batas laminar, aliran atau lapisan fluida (fluid layers) bergerak secara halus antara satu sama lainnya atau dengan kata lain lapisan batas laminar memiliki streamline yang saling paralel satu sama lainnya. Pengaruh gesekan yang timbul akibat

velocity gradient diakibatkan oleh viskositas fluida itu sendiri, sehingga perpindahan massa dan momentum antara aliran fluida terjadi dalam tingkat molekular saja. Hal ini juga dapat dilihat dari persamaan (1) dimana tegangan geser diakibatkan oleh velocity gradient dan viskositas fluida. Sedangkan pada lapisan batas turbulen, gerakan molekul fluida yang acak menyebabkan terjadinya fluktuasi kecepatan (baik pada arah paralel maupun tegak lurus terhadap aliran). Fluktuasi kecepatan pada arah tegak lurus aliran menyebabkan perpindahan massa dan momentum terjadi dalam jumlah yang sangat besar antar lapisan fluida. Hal inilah yang menyebabkan tegangan geser pada lapisan batas turbulen lebih besar jika dibandingkan pada lapisan batas laminar. Dengan kata lain tegangan geser di dalam lapisan batas tidak hanya dipengaruhi oleh viskositas fluida itu sendiri, karena viskositas fluida berharga konstan di seluruh medan aliran fluida, melainkan oleh Reynolds Shear Stresses. Reynolds shear stresses atau turbulent stresses sendiri merupakan besaran yang menunjukkan fluktuasi kecepatan molekul fluida. Pada lapisan batas turbulen, efek reynolds stresses terhadap tegangan geser lebih besar jika dibandingkan pada lapisan batas laminar. Akan tetapi terdapat suatu lapisan aliran yang sangat tipis di dekat permukan dimana fluktuasi kecepatan pada arah tegak lurus terhadap permukaan dapat diredam. Lapisan aliran ini disebut Viscous Sublayer. Di dalam viscous sublayer, tegangan geser hanya diakibatkan oleh viskositas aliran saja namun velocity gradient cukup besar yang menyebabkan tegangan geser pada permukaan untuk lapisan batas turbulen lebih besar dibanding lapisan batas laminar. Boussinesq memperkenalkan istilah eddy viscosity (ε) untuk menganalogikan pengaruh antara viskositas dengan reynolds stresses terhadap tegangan geser. Eddy viscosity ini digunakan sebagai dasar bagi metode perhitungan tegangan geser di dalam lapisan batas turbuen. Sehingga persamaan tegangan geser pada lapisan batas turbulen dapat dinyatakan sebagai berikut:

 u    y 

 turbulen        

(5)

Harga ε bervariasi dari satu tempat ke tempat lain di dalam medan aliran. Selain itu harga ε jauh lebih besar dibandingkan dengan harga μ, yakni antara 10-100 kali lebih besar. Perbedaan efek viskositas dan reynolds stresses terhadap tegangan geser juga mempengaruhi profil kecepatan (velocity profile) di dalam lapisan batas. profil kecepatan merupakan variasi kecepatan aliran dari jarak y  0 hingga y   . Profil ini berbeda-beda di tiap titiknya. Pada lapisan batas laminar, perpindahan energi dari luar lapisan batas dialirkan

ke bagian dalam aliran di dekat permukaan melalui medium viskositas saja sehingga menghasilkan penetrasi yang kecil. Konsekuensinya sebagian besar daerah di dalam lapisan batas mengalami pengurangan keceatan. Sedangkan pada lapisan batas turbulen, perpindaan energi yang terjadi lebih mudah karena tidak hanya melalui medium viskositas melainkan juga reynolds stresses. Konsekuensinya velocity profile di dekat permukaan cenderung lebih penuh dan kecepatan aliaran bukan di dekat permukaan lebih dekat dengan kecepatan aliran di luar lapisan batas. Ilustrasi perbedaan velocity profile antara lapisan batas laminar dengan turbulen diberikan pada gambar 2 sebagai berikut.

Gambar 2 Profil Kecepatan di Dalam Lapisan Batas Laminar dan Turbulen

Reynolds Stresses yang menjadi efek utama dalam meningkatkan tegangan geser dalam lapisan batas turbulen mulai muncul pada daerah transisi. Proses transisi dari lapisan batas laminar menjadi turbulen hingga saat ini masih dalam penelitian dan merupakan proses yang sangat kompleks. Proses transisi yang banyak dijadikan dasar pegangan dalam metode analisis lapisan batas adalah Prandtl Hypothesis. Dalam hipotesis ini, lapisan batas dianggap seagai sebuah Complex Non-Linear Oscilator dan memiliki kondisi awal yakni Linear WaveLike Response. Pada kondisi lingkugan tertentu seperti free-flight atau high-quality wind tunnel, proses transisi dapat terjadi dalam beberapa tahapan yakni sebagai berikut: 

Tahap 1: terjadi konversi dari external stimuli atau disturbances menjadi lowamplitude waves yang kemudian merambat ke arah hilir (downstream) di dalam lapisan batas. Low-amplitude waves ini akan bertambah besar untuk kemudian

berubah menjadi turbulen atau bahkan hilang, bergantung dari kondisi lingkungannya. 

Tahap 2: jika gangguan bertambah dan tumbuh secara cepat, maka amplitudo gangguan ini akan meningkatkan respon di dalam lapisan batas sehingga lapisan batas menjadi bersifat non-linear/kompleks.

External stimuli atau disturbances yang menjadi input bagi transisi biasanya berupa freestream turbulence, sound waves, surface roughness dan vibration. Proses konversi pada tahap 1 masih belum dipahami dengan benar. Salah satu kesulitannya adalah panjang gelombang (wave-length) dari external disturbances ini selalu lebih besar dibandingkan dengan panjang gelombang dari respon pada lapisan batas.

Gambar 3 Proses Terjadinya Transisi di Dalam Lapisan Batas Pada Pelat Data

Hipotesis Prandtl ini kemudian diformulasikan oleh Tollmien dan Schlichting yang dikenal dengan Tollmien-Schlichting Waves. Asumsi-asumsi yang digunakan yakni amplitudo gelombang sangat rendah sehingga dapat dianggap sebagai gelombang linear, dan terjadi pada 80% dari total daerah transisi di dalam lapisan batas. Dengan asumsi-asumsi ini tahap 1 dapat dianggap sebagai tollmien-schlichting waves. Dalam tollmien-schlichting waves ini, viskositas berpengaruh secara halus namun memiliki peran dalam meningkatkan pertumbuhan bahkan menghilangkan disturbance. Pertumbuhan disturbance dikarenakan terjadinya perpindahan energi dari aliran sekitar ke dalam disturbance atau yang dikenal dengan proses energy production by the reynolds stress. Sedangkan viskositas juga dapat menyebabkan teredamnya disturbance yakni melalui efek dari viskositas yang lain yakni dissipative dimana energi di dalam disturbance dibuang.

Teori mengenai tollmien-schlichting waves ini dibuktikan oleh hasil eksperimental dari schubauer dan skramstadt. eksperimen ini menggunakan vibating ribbon sebagai external disturbances dan dihasilkan beberapa kesimpulan sebagai berikut:



Untuk getaran dengan frekuensi rendah, wave response merambat dan tumbuh menjadi turbulence atau dengan kata lain Reynolds Stresses yang muncul lebih besar dibandingkan Viscous Dissipation



Untuk getaran dengan frekuansi tinggi, wave response teredam atau dengan kata lain Reynolds Stresses yang muncul lebih kecil dibandingkan Viscous Dissipation.



Tollmien-Schlichting waves tidak dapat dihasilkan dari natural disturbances. hal ini dikarenakan natural disturbances memiliki sifat yang sulit diprediksi dan berubah-ubah tiap waktunya.

Gambar 3 Hasil dari Schubauer and Skramstadt Experiment

1.4.

Pertumbuhan Lapisan Batas Pada Pelat Datar Untuk aliran yang melewati pelat datar, maka lapisan batas tumbuh dari ketebalan nol

pada Leading Edge hingga pada daerah tertentu dimana transisi dengan cepat ke lapisan batas turbulen terjadi. Daerah transisi ini diikuti dengan penebalan lapisan batas secara cepat. Proses penebalan ini berlanjut pada lapisan batas turbulen hingga Trailing Edge. Seperti telah disebutkan diatas bahwa tegangan geser mencapai harga maksimumnya pada permukaan benda dan memperlambat lapisan atau aliran fluida di dekat permukaan.

Aliran fluida ini lebih lambat dibandingkan dengan aliran diatasnya dan akan mempengaruhi aliran fluida di atasnya, dan seterusnya. Dengan demikian, makin membesarnya jarak dari leading edge pelat, aksi saling memperlambat aliran fluida akan bertambah. Hal ini disebabkan lapisan atau aliran fluida di dekat permukaan telah lebih dahulu "lelah", sedangkan pada arah tegak lurus terhadap permukaan, aksi ini berkurang akibat pengaruh tegangan geser yang semakin berkurang. Sehingga gradien kecepatan pada arah tegak lurus berkurang dan tebal lapisan batas makin meningkat. Dalam menganalisis lapisan batas sepanjang pelat datar beberapa penyederhanaan dilakukan yakni sebagai berikut: 

Sepanjang pelat datar berlaku zero pressure gradient.



Kecepatan terluar dari lapisan batas sama dengan kecepatan aliran tak terganggu (freestream velocity)

Penyederhanaan tersebut menjadikan lapisan batas sepanjang pelat datar lebih mudah dipelajari baik secara eksperimental maupun teoritik. Hasil penelitian berkaitan dengan lapisan batas sepanjang pelat datar banyak digunakan untuk memprediksi gaya gesek pada benda sembarang. Solusi pendekatan dari persamaan lapisan batas ntuk kasus pelat datar telah dikembangkan oleh Prandtl dan Blasius. Blasius memecahkan persamaan lapisan batas laminar pada pelat datar dengan asumsi-asumsi yakni aliran stasioner (steady) dan inkompresibel. Penurunan secara rinci dapat dilihat pada referensi 1 dan 2.

Sehingga

menurut Blasius, parameter-parameter pada lapisan batas laminar dapat di dekati dengan persamaan sebagai berikut:

5, 2  x Re x

(6)

* 

1, 7208  x Re x

(7)



0, 664  x Re x

(8)

cf 

0, 664 Re x

(9)

Cf 

1,328 Re L

(10)



Sedangkan untuk pendekatan bagi lapisan batas turbulen, Prandtl mengasumsikan bahwa distribusi kecepatan di dalam lapisan batas pada pelat datar identik dengan lapisan

batas pada pipa sirkular (circular pipe). Asumsi ini tidak pasti benar karena distribusi kecepatan di dalam sebuah pipa dibentuk akibat pengaruh gradient tekanan (pressure gradient), sedangkan pada pelat datar pressure gradient adalah nol. Akan tetapi hasil eksperimen oleh Hansen dan Burgers menunjukkan bahwa asumsi ini sesuai pada rentang moderat dari bilangan Reynolds yang besar (ReL < 106) dan berlaku bahwa profil kecepatan dari lapisan batas pada pelat datar dinyatakan oleh power law formula. Untuk profil kecepatan pada pelat datar berlaku 1/7-th-power law yang merupakan distribusi kecepatan di dalam sebuah pipa atau dapat dinyatakan sebagai berikut 1

u  y 7 (11)   ue    Demikian pula dengan shearing-stress equation pada permukaan diambil dari circular pipe sebagai berikut: 1

  4 0  0, 0255      ue2  ue   

(12)

Penurunan secara rinci dapat dilihat pada referensi 2. Dengan demikian parameter-parameter pada lapisan batas turbulen dapat di peroleh dengan persamaan-persamaan sebagai berikut: u x   x   0,37  x   e    



1 5

u x  *  x   0, 04625  x   e     u x   x   0, 036  x   e     C f  0, 074   Re L 



c f  0, 0592   Re X 

1 5



1 5



1 5

(13) 

1 5

(14) (15) (16) (17)

Persamaan-persamaan diatas hanya berlaku untuk rentang moderat dari bilangan Reynolds yang besar yakni 5x105 < ReL < 107. Hal ini dikarenakan adanya batasan pada Blasius’ pipe resistance formula dimana pada ReL < 5x105, lapisan batas di pelat datar adalah fully laminar. Sedangkan untuk memprediksi daerah transisi pada pelat datar dapat digunakan beberapa hasil eksperimen sebagai berikut:

 Michels Criteria (ref. 1), untuk permukaan pelat datar yang halus, dengan

p

x

 0 di dalam aliran dengan turbulensi rendah, transisi mulai terjadi pada

bilangan Reynolds sekitar ReX = 2,8x106.  Hansen Experiment (ref. 2), untuk pelat datar yang halus dengan sudut 00, transisi mulai terjadi pada bilangan Reynolds sekitar ReX = 3,2x105.  Secara rule of thumb (ref. 3), suatu daerah lapisan batas dapat ditentukan dari bilangan Reynolds dari aliran tersebut. Untuk aliran dengan bilangan Reynolds kurang dari 500.000 (Re < 500.000) maka lapisan batas tersebut adalah lapisan batas laminar. Untuk aliran dengan bilangan Reynolds lebih dari 500.000 (Re > 500.000) maka lapisan batas tersebut adalah lapisan batas turbulen. Sehingga daerah transisi adalah daerah dimana aliran memiliki bilangan Reynolds sekitar 500.000 (ReX = 5x105).

DAFTAR PUSTAKA 1.

Sardjadi, Djoko. Mekanika Fluida. Bandung: Art Pro Bandung, 2003.

2.

Schlichting, H. Boundary Layer Theory 4th edition. New York: McGraw-Hill, 1960.

3.

Jenie, Said, D. Diktat Kuliah Pengantar Teknik Penerbangan. Bandung: Institut Teknologi, Bandung, 2004.

4.

Gemba, K. Measurement of Boundary Layer on a Flat Plate. Long Beach: California State University: California, 2007.

5.

Anderson Jr, John D , Fundamentals of Aerodynamics 4th edition. New York: McGrawHill, 2007.

6.

th

Houghton, E.L., Carpenter, P.W. Aerodynamics for Engineering Students 5 Edition. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2002....