Leccion Sobre Fracciones Parciales ( Larson) PDF

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este un pequeño repaso para los examenes de matemáticas...

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542

Capítulo 8

Técnicas de integración, regla de L’Hôpital e integrales impropias

8.5 Fracciones parciales Entender el concepto de descomposición en fracciones parciales. Utilizar la descomposición en fracciones parciales con factores lineales para integrar funciones racionales. Utilizar la descomposición en fracciones parciales con factores cuadráticos para integrar funciones racionales.

Fracciones parciales En esta sección se examina un procedimiento para descomponer una función racional en funciones racionales sencillas a las que se pueden aplicar las fórmulas básicas de integración. Este procedimiento recibe el nombre de método de fracciones parciales. Para ver el beneficio del método de fracciones parciales, considere la integral 1 dx. x 2 5x 6 Para evaluar esta integral sin fracciones parciales, se puede completar el cuadrado y utilizar la sustitución trigonométrica (vea la figura 8.13) para obtener 2x

−

5 2 x 2 − 5x + 6

1 5x

x2

6

dx x 5 2 2 1 2 1 2 sec tan d 1 4 tan 2

dx

θ

1

sec

2x

2

5

csc

a

2

dx

1 2,

1 2

x

1 2

5 2

sec

sec tan d

d

Figura 8.13

2 ln csc

cot C 2x 5 1 2 ln 2 x2 5x 2 x 2 5x 6 x 3 2 ln C 2 x 5x 6 x 3 2 ln C x 2 x 3 ln C x 2 ln x

3

ln x

2

6

C

C.

Ahora, supongamos que había observado que 1

1 5x

x2

6

x

1 3

2

x

.

Descomposición en fracciones parciales

Entonces, se podría calcular la integral como se muestra. JOHN BERNOULLI (1667-1748) El método de fracciones parciales fue introducido por John Bernoulli, un matemático suizo que fue clave en el desarrollo inicial del cálculo. John Bernoulli fue profesor en la Universidad de Basilea y enseñó a muchos estudiantes sobresalientes, de los cuales el más famoso fue Leonhard Euler. Consulte LarsonCalculus.com para leer más de esta biografía.

x2

1 5x

6

1

dx

x ln x

1 3

3

x ln x

2

dx 2

C

Este método es claramente preferible a la sustitución trigonométrica. Sin embargo, su uso depende de la capacidad para factorizar el denominador, x2 5x 6, y encontrar las fracciones parciales 1 1 . y x 2 x 3 En esta sección estudiará las técnicas para encontrar descomposiciones en fracciones parciales. The Granger Collection

8.5

Fracciones parciales

543

Recuerde del álgebra que todo polinomio con coeficientes reales se puede factorizar en factores lineales y cuadráticos irreducibles.* Por ejemplo, el polinomio x5

x4

1

x

puede ser escrito como x5

x4

1

x

x4 x x

4

x2 x2 x

1 1 x

1

x 1

1 x2 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 2 x2

1

donde (x – 1) es un factor lineal, (x + 1)2 es un factor lineal repetido, y (x2 + 1) es un factor cuadrático irreducible. Usando esta factorización, se puede escribir la descomposición en fracciones parciales de la expresión racional x5

Nx x4 x

1

donde N(x) es un polinomio de grado menor que 5, tal como se muestra. x

1 x

Nx 1

A 2

x2

1

x

B 1

x

C 1

x

1

2

Dx x2

E 1

Descomposición de N(x)/D(x) en fracciones parciales

COMENTARIO

En precálculo, aprendió a combinar funciones tales como 1 x

2

x

1 3

5 2 x

x

3

El método de fracciones parciales le muestra cómo revertir este proceso. 5 x

2 x

? 3

x

? 2

x

3

1. Dividir cuando es impropia: Si N(x)/D(x) es una fracción impropia (es decir, cuando el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador), divida el denominador en el numerador para obtener .

Nx Dx

un polinomio

N1 x Dx

donde el grado de N1(x) es menor que el grado de D(x). Después aplique los pasos 2, 3 y 4 a la expresión racional propia N1(x)/D(x). 2. Factor denominador: Factorice completamente el denominador en factores de forma px

q

donde ax 2

m

y bx

ax 2 bx c n c es irreducible.

3. Factores lineales: Para cada factor de la forma (px + q)m, la descomposición en fracciones parciales debe incluir la siguiente suma de m fracciones. Am A2 A1 . . . px q px q 2 px q m 4. Factores cuadráticos: Para cada factor de la forma (ax2 + bx + c)n, la descomposición en fracciones parciales debe incluir la siguiente suma de n fracciones. Bn x C n B 2x C2 B1x C 1 . . . ax2 bx c ax 2 bx c 2 ax 2 bx c n

* Para una revisión de técnicas de factorización, vea Precalculus, 9a. edición, o Precalculus: Real Mathematics by Real People, 6a. edición, ambos por Ron Larson (Boston, Massachusetts: BrooksCole, Cengage Learning, 2014 y 2012, respectivamente).

544

Capítulo 8

Técnicas de integración, regla de L’Hôpital e integrales impropias

Factores lineales Las técnicas algebraicas para la determinación de las constantes en los numeradores de una descomposición en fracciones parciales con factores lineales o repetidos se muestran en los ejemplos 1 y 2.

Factores lineales diferentes

EJEMPLO 1

Escriba la descomposición en fracciones parciales para 1 . x 2 5x 6 x Solución Como x2 5x 6 por cada factor y escribir A B 1 x 2 5x 6 x 3 x 2

2 , podría incluir una fracción parcial

3 x

donde deben determinarse A y B. Multiplicando esta ecuación por el mínimo común denominador (x – 3)(x – 2) obtiene la ecuación básica 1

Ax

2

3.

Bx

Ecuación básica

Debido a que esta ecuación es verdadera para todas las x, puede sustituir los valores convenientes para x para obtener ecuaciones en A y B. Los valores más convenientes son los que hacen que determinados factores sean iguales a 0. Para resolver para A, sea x = 3

COMENTARIO

Observe que las sustituciones para x en el ejemplo 1 se eligen por su conveniencia en la determinación de los valores de A y B; x = 3 se elige para eliminar el término B(x – 3) y x = 2 se elige para eliminar el término A(x – 2). El objetivo es hacer sustituciones convenientes siempre que sea posible.

1

A3

1

A1

1

A

2

B3

3

Haga x

3 en la ecuación básica.

Haga x

2 en la ecuación básica.

B0

Para resolver para B, sea x = 2 1 1

A2 A0

1

B

2 B

B2 1

3

Por tanto, la descomposición es 1 1 1 x 2 5x 6 x 3 x 2 como se demostró al inicio de esta sección.

PARA INFORMACIÓN ADICIONAL

Para aprender un método diferente para encontrar descomposiciones en fracciones parciales, llamado el método Heavyside, consulte el artículo “Calculus to Algebra Connections in Partial Fraction Decomposition”, por Joseph Wiener y Will Watkins, en The AMATYC Review.

Asegúrese de ver que el método de fracciones parciales es práctico sólo para las integrales de funciones racionales cuyos denominadores se factorizan “perfectamente”. Por ejemplo, cuando el denominador en el ejemplo 1 se cambia a x 2 5x 5 su descomposición en factores es x2

5x

5

x

5

5 2

x

5

5 2

sería demasiado complicado usarla con fracciones parciales. En estos casos, se debe completar el cuadrado o utilizar un sistema de álgebra computacional para realizar la integración. Al hacer esto, se debe obtener x2

1 5x

5

dx

5 5

ln 2x

5

5

5 5

ln 2x

5

5

C.

8.5

5x 2 x3

Solución x

3

545

Factores lineales repetidos

EJEMPLO 2 Encuentre

Fracciones parciales

20x 2x 2

6 dx. x

Como

2x

2

x(x2

x

2x

1

12

xx

debe incluir una fracción para cada potencia de x y (x + 1) y escribir 5x 2 20x xx 1 PARA INFORMACIÓN ADICIONAL

Para una aproximación alternativa al uso de fracciones parciales, vea el artículo “A Shortcut in Partial Fractions”, por Xun-Cheng Huang, en The College Mathematics Journal.

A x

6 2

B

C 1

x

1

x

2

.

Multiplicando por el mínimo común denominador x(x + 1)2 obtiene la ecuación básica 5x 2

20x

6

Ax

12

1

Bx x

Cx.

Ecuación básica

Para despejar a A, se hace x = 0. Esto elimina los términos B y C y produce 6

A1

6

A.

0

0

Para despejar a C, se hace x = –1. Esto elimina los términos A y B y produce 5

20

6

0

9

C.

0

C

Se han utilizado las opciones más convenientes para x, por lo que para encontrar el valor de B puede utilizar cualquier otro valor de x, junto con los valores calculados de A y C. Utilizando x = 1, A = 6 y C = 9 produce 5

20

6

A4

B2

31 2

64 2B

2B

1

B.

C 9

Por tanto, tiene que 5x2 20x xx 1

6 2

6 x

dx

1 x

6 ln x ln

9 1

x

ln x

x6

9

9 1

x

1

x

1

2

dx

x

1 1

1

C

C.

1

Intente comprobar este resultado mediante la derivación. Incluya álgebra en su comprobación, simplificando la derivada hasta que haya obtenido el integrando original. Es necesario hacer tantas sustituciones como incógnitas (A, B, C, ...) haya que determinar. Por ejemplo, en el ejemplo 2 se han hecho tres sustituciones (x = 0, x = –1 y x = 1) para resolver para A, B y C.

TECNOLOGÍA Se pueden utilizar la mayoría de los sistemas de álgebra computacional, como Maple, Mathematica y la TI-nSpire, para convertir una función racional a su descomposición en fracciones parciales. Por ejemplo, usando Mathematica, se obtiene lo siguiente. Apart 5 * x 2 20 * x 1 6 9 x 1 x 2 1 x

6

x* x

1

2 ,x

546

Capítulo 8

Técnicas de integración, regla de L’Hôpital e integrales impropias

Factores cuadráticos Al utilizar el método de fracciones parciales con factores lineales, una elección conveniente de x inmediatamente produce un valor para uno de los coeficientes. Con los factores cuadráticos, por lo general un sistema de ecuaciones lineales tiene que ser resuelto, independientemente de la elección de x.

Factores lineales distintos y factores cuadráticos

EJEMPLO 3

Consulte LarsonCalculus.com para una versión interactiva de este tipo de ejemplo.

2x3 4x x 2 x x2

Encuentre Solución x2

8 dx. 4

Como x x2

4

1 x2

xx

4

puede incluir una fracción parcial para cada factor y escribir 2x 3 4x x x 1 x2

A x

8 4

B

Cx x2

1

x

D . 4

Multiplicando por el mínimo común denominador 1 x2

xx

4

obtiene la ecuación básica 2x 3

4x

8

Ax

1 x2

Bx x 2

4

4

Cx

D x x

1.

Para resolver para A, haga x = 0 para obtener 8

A

2

A.

1 4

0

0

Para despejar a B, haga x = 1 para obtener 10

0

2

B.

B5

0

Hasta este punto, C y D están aún por determinarse. Puede encontrar estas constantes eligiendo otros dos valores de x y resolviendo el sistema resultante de ecuaciones lineales. Usando x = –1, A = 2 y B = –2, puede escribir 6

2

2

2 5

2

1 5

C

1

D

2

D.

C

Para x = 2, tiene 0

2 1 8

8

2C

2 2 8

2C

D 2 1

D.

Resolviendo el sistema lineal restando la primera ecuación de la segunda C

D

2

2C

D

8

obtiene C = 2. En consecuencia, D = 4 y tiene que 2x3 4x x x 1 x2

8 dx 4

2 x 2 ln x

2 x

4

2x 1

2 ln x

x2 1

4

x2 ln x2

4 4

dx 2 arctan

x 2

C.

8.5

Fracciones parciales

547

En los ejemplos 1, 2 y 3, la solución de la ecuación básica comenzó con la sustitución de los valores de x, lo que hizo los factores lineales iguales a 0. Este método funciona bien cuando la descomposición en fracciones parciales implica factores lineales. Sin embargo, cuando la descomposición implica sólo factores cuadráticos, a menudo es más conveniente un procedimiento alternativo. Por ejemplo, trate de escribir el lado derecho de la ecuación básica en forma polinómica e iguale los coeficientes de los términos semejantes. Este método se muestra en el ejemplo 4.

Factores cuadráticos repetidos

EJEMPLO 4 Encuentre

8x 3 x2

Solución

Incluya una fracción parcial por cada potencia de (x2 + 2) y escriba

3

13x dx. 22

Ax x2

13x 22

8x x2

B 2

Cx x2

D . 2 2

Multiplique por el mínimo común denominador (x2 + 2)2 para obtener la ecuación básica 8x 3

13x

B x2

Ax

2

Cx

D.

Desarrolle la ecuación básica y agrupe términos semejantes para obtener 8x 3 8x 3

13x

Ax 3

13x

3

Ax

2Ax Bx 2

Bx 2

2B

2A

Cx

Cx 2B

D D.

Ahora, puede igualar los coeficientes de los términos semejantes en los lados opuestos de la ecuación. 8

8x 3

0x 2

0

A

13x

Ax3

0 0

2B

Bx 2

D

2A

Cx

2B

D

B 13

2A

C

Utilizando los valores conocidos A = 8 y B = 0, puede escribir 13 0

2A 2B

13 0

C D

28 20

C D

3 0

C D.

Finalmente, puede concluir que 8x3 x2

8x x2 2

13x dx 22

4 ln x2

2

3x dx 22 3 C. 2 x2 2

x2

TECNOLOGÍA

Puede utilizar una herramienta de graficación para confirmar la descomposición encontrada en el ejemplo 4. Para ello, grafique y1

8x 3 x2

13x 2 2

6

Las gráficas de y1 y y2 son iguales.

y y2

8x x2

2

x2

3x 2

10

−10 2

en la misma ventana de visualización. Las gráficas deben ser idénticas, como se muestra a la derecha.

−6

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Capítulo 8

Técnicas de integración, regla de L’Hôpital e integrales impropias

Cuando integre expresiones racionales, considere que para las expresiones racionales impropias como 2x 3

Nx Dx

x2 x2

7x 2

x

7

primero debe dividir para obtener Nx Dx

2x

2x

1

x2

5 2

x

.

Después descomponga la expresión racional propia en sus fracciones parciales por los métodos habituales. Aquí hay algunas directrices para la solución de la ecuación básica que se obtiene en una fracción parcial.

DIRECTRICES PARA SOLUCIONAR LA ECUACIÓN BÁSICA Factores lineales 1. Sustituir las raíces de los factores lineales distintos en la ecuación básica. 2. Para factores lineales repetidos, utilizar los coeficientes determinados en la primera directriz para volver a escribir la ecuación básica. A continuación, sustituir otros valores propios de x y resolver los coeficientes restantes. Factores cuadráticos 1. Desarrollar la ecuación básica. 2. Agrupar términos de acuerdo con las potencias de x. 3. Igualar los coeficientes de las potencias para obtener un sistema de ecuaciones lineales que impliquen A, B, C y así sucesivamente. 4. Resolver el sistema de ecuaciones lineales.

PARA INFORMACIÓN ADICIONAL

Para leer acerca de otro método de evaluación de las integrales de funciones racionales, consulte el artículo “Alternate Approach to Partial Fractions to Evaluate Integrals of Rational Functions”, por NR Nandakumar y Michael J. Bossé, en The Pi Mu Epsilon Journal. Para ver este artículo, visite MathArticles.com.

Antes de concluir esta sección, se presentan algunas cosas que se deben recordar. En primer lugar, no es necesario utilizar la técnica de fracciones parciales en todas las funciones racionales. Por ejemplo, la siguiente integral se evalúa con mayor facilidad por la regla del logaritmo. x2 x

3

1 3x

4

1 3x 2 3 dx 3 3x 4 3 x 1 C ln x3 3x 4 3

dx

En segundo lugar, cuando el integrando no está en forma reducida, la reducción puede eliminar la necesidad de fracciones parciales, como se muestra en la siguiente integral. x2 x3

x 2x

2 dx 4

1 x 2 dx 2 x 2 2x 2 x 1 dx x2 2x 2 x

x

1 ln x2 2

2x

2

C

Finalmente, las fracciones parciales se pueden utilizar con algunos cocientes que implican funciones trascendentes. Por ejemplo, la sustitución le permite escribir cos x sen x sen x

1

dx

du . uu 1

u

sen x, du

cos x d x...