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Integración por sustitución trigonométrica ydescomposición en fracciones parciales Módulo 12Cálculo 1 2021 -Videoconferencia 13Cuál es la equivalencia de la expresión:3 2𝑥−+2 2𝑥+Saberes previosa)10 (2𝑥−1)( 2𝑥+1) b) 6 (2𝑥−1)( 2𝑥+1) c) 10𝑥+ (2𝑥−1)( 2𝑥+1) d) 5𝑥 (2𝑥−1)( 2𝑥+1)SITUACIÓN PROBLEMÁTICAPlanta...

Description

Integración por sustitución trigonométrica y descomposición en fracciones parciales Módulo 12

Cálculo 1 2021-1

Videoconferencia 13

Saberes previos

Cuál es la equivalencia de la expresión:

3

+ 2𝑥−1

2 2𝑥+1 10

a) (2𝑥−1)(2𝑥+1) 6

b) (2𝑥−1)(2𝑥 +1) 10𝑥+1

c) (2𝑥−1)(2𝑥+1) 5𝑥

d) (2𝑥−1)(2𝑥+1)

Saberes previos

Determinar el valor de A y B en la expresión: 5𝑥 + 3 = 𝐴 𝑥 − 3 + 𝐵(𝑥 + 3)

a) 𝐴 = 1, b) 𝐴 = 2, c) 𝐴 = 3, d) 𝐴 = 2,

𝐵=2 𝐵=3 𝐵=2 𝐵=1

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Planta eléctrica. Dos poblados 𝑃𝑎 𝑦 𝑃𝑏 están a 2km y 3km respectivamente, de un puntos más cercanos A y B sobre una línea de trasmisión, los cuales están a 4 Km uno del otro. Si los poblados se van conectar con un cable a una mismo punto C de la línea 𝐴𝐵. (Ver figura) La razón de cambio de la longitud del cable que une los dos poblados con el punto C con respecto al punto A está dado por: 𝑥 4−𝑥 𝐼′(𝑥) = − 2 𝑥 +4 (4 − 𝑥)2 + 9 ¿Cómo determinar la longitud del cable, que describe el movimiento del punto C sobre la línea?

Problematización La autoridad autónoma del proyecto de irrigación OLMOS, estima que dentro de x años, el valor de una hectárea de tierra cultivable aumentará a razón de: V ' ( x) = 2 x + 1 3x 2 − 27 dólares por año. En la actualidad la hectárea de tierra cuesta $500. Una empresa agroindustrial desea estimar el precio de hectárea dentro de 10 años. si la empresa te contrata para que realices la estimación. a) ¿Qué herramientas utilizarías para encontrar el precio de hectárea dentro de 10 años? b) ¿Cuál es la descomposición del integrando? c) ¿Cuál será el valor de la hectárea?

Saberes previos

1) Factorización 2) Descomposición en fracciones parciales

3) Algoritmo de la división 4) Identidades trigonométricas 5) Derivada de una función.

LOGRO Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante haciendo uso del método de sustitución trigonométrica e integración por fracciones parciales, resuelve e interpreta problemas de ingeniería y gestión, siguiendo un proceso lógico fundamentado en la obtención de la solución y muestra sus cálculos con orden y pertinencia.

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Este método se usa generalmente para las integrales que tienen en su formulación expresiones como éstas, ya sea en el numerador o en el denominador

El objetivo es eliminar el radical, haciendo que la parte subradical sea una función trigonométrica elevada al cuadrado. Nota : En casos donde las integrales presentan expresiones como : ( x2n + a2n ) , ( x2n - a2n ), ó (a2n - x2n ) ; en el denominador también son útiles éstas sustituciones.

EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN DE SUSTITUCION TRIGONOMÉTRICA Ejemplo 1: Hallar la integral:

I =

x x +8 2

dx

Solución:

Si : tgθ =

x 8

 x = 8tgθ  dx = 8 Sec 2θdθ Reemplazando en I tenemos:

I =

8tgθ 8Sec 2θdθ 8 + 8tg2 θ

=

8tgθ 8Sec 2θdθ 8 Sec2 θ

=  8 tg  Sec d  = 8  Sec + C

EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN DE SUSTITUCION TRIGONOMÉTRICA Ejemplo 3: Hallar la integral:

I =

1 x x − 16 2

Solución:

Sea: x = 4Secθ  dx = 4Sec Tg d x = Secθ 4 Reemplazando en I tenemos:

x

dx x 2 − 16

=

4SecθTgθ 1 1 dθ =  dθ = θ 4Secθ4Tgθ 4 4

Del triángulo:

x

1 x = arcSec   + C  4 x2 − 16 4 dx

dx

EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN DE SUSTITUCION TRIGONOMÉTRICA Ejemplo 2: Hallar la integral:

 Solución:

x 2

x + 2x + 5

dx

න

25 − 𝑥 2 𝑥

𝑑𝑥

න

𝑥2

𝑑𝑥 1 2 9−𝑥

EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN DE SUSTITUCION TRIGONOMÉTRICA Hallar la integral:

𝑥 2 − 100 𝑑𝑥 න 𝑥

EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN DE SUSTITUCION TRIGONOMÉTRICA Ejemplo 5: Hallar la integral: Solución:



x2 4 − x2

dx

Integración de funciones racionales Dada una función racional 𝑓 𝑥 =

𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)

el método de fracciones parciales consiste en

factorizar el polinomio 𝑄(𝑥) y separar en fracciones simples cuyo denominador sean los factores de 𝑄 𝑥 . Antes de comenzar a integrar funciones racionales recordemos también que

Es evidente que, por la estructura de la fracción, el proceso inverso tiene que ser de la siguiente manera

De acuerdo con los factores se pueden presentar algunos casos.

Integración de funciones racionales

Caso I.

grad( P( x ))  grad( Q( x ))

1.1.- Denominador con factores lineales P( x ) P( x ) =  Q( x ) ( x  b1 )( x  b2 ).....( x  bn )

P( x ) A1 A2 An = + + .... + Q( x ) x  b1 x  b2 x  bn P( x ) dx dx dx = + + + dx A A .... A 1 2 n  Q( x ) x  b1 x  b2 x  bn

Ejemplo 5𝑥 − 3 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ∫ (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) 𝒹𝓍

Solución

Descomponer la función en fracciones parciales ℬ 𝒜 5𝑥 − 3 + = (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) (𝑥 + 1) (𝑥 − 3)

5𝑥 − 3 𝒜 𝑥 − 3 + ℬ(𝑥 + 1) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) 5𝑥 − 3 = 𝒜 𝑥 − 3 + ℬ 𝑥 + 1

Determinamos los valores de 𝒜 y ℬ 𝑥=3 15 − 3 = 4ℬ 12 = 4ℬ 3=ℬ

𝑥 = −1 − 5 − 3 = −4𝒜 − 8 = −4𝒜 2= 𝒜

3 2 5𝑥 − 3 + = 𝑥+1 𝑥−3 (𝑥 + 1)(𝑥 − 3)

Integramos ambos lados ∫

5𝑥 − 3 𝒹𝓍 𝒹𝓍 + 3∫ 𝒹𝓍 = 2∫ 𝑥+1 (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) 𝑥−3 = 2 ln |𝑥 + 1| + 3 ln |𝑥 − 3| + 𝐶

Integración de funciones racionales

1.2.- Denominador con factores lineales repetidos P( x ) P( x ) A1 A2 An = = + + + .... Q( x ) ( x  b )n x  b ( x  b )2 ( x  b )n

P( x ) dx dx dx .... dx A A A = + + + n 1 2  Q( x ) x b ( x  b )2 ( x  b )n

Ejemplo 2𝑥 + 5 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ∫ (𝑥 + 1)2 𝒹𝓍

Solución

Descomponer la función en fracciones parciales ℬ 𝒜 2𝑥 + 5 + = (𝑥 + 1)2 (𝑥 + 1) (𝑥 + 1)2 2𝑥 + 5 𝒜 𝑥+1 +ℬ = 2 (𝑥 + 1) (𝑥 + 1)2

2𝑥 + 5 = 𝒜 𝑥 + 1 + ℬ

Determinamos los valores de 𝒜 y ℬ 𝑥 = −1: −2 + 5 = ℬ 3=ℬ

𝑥 = 0:

5=𝒜+ℬ 2=𝒜

3 2 2𝑥 + 5 + = (𝑥 + 1)2 (𝑥 + 1) (𝑥 + 1)2

Integramos ambos lados ∫

2𝑥 + 5 𝒹𝓍 𝒹𝓍 + 3∫ 𝒹𝓍 = 2∫ (𝑥 + 1)2 𝑥+1 (𝑥 + 1)2 = 2 ln |𝑥 + 1| − 3(𝑥 + 1)−1 +𝐶

Integración de funciones racionales

Caso II.

grad( P( x ))  grad( Q( x ))

Se realiza la división

P( x )  Q( x ) P( x ) R( x ) = C( x ) + Q( x ) Q( x )



P( x ) R( x ) = + dx C( x )dx  Q( x )   Q( x ) dx

Ejemplo 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ∫

Solución

6𝑥 3 − 8𝑥 2 + 6𝑥 𝒹𝓍 𝑥2 + 1

Realizamos la división

6𝑥 3 − 8𝑥 2 + 6𝑥 𝑥2 + 1 -6𝑥 3 −6𝑥 6𝑥 − 8 2 0 −8𝑥 0 2 8𝑥 8 0 0 8 D= 6𝑥 3 − 8𝑥 2 + 6𝑥 𝑐=6𝑥 − 8 Reemplazamos en

𝑑=𝑥 2 + 1 𝑟=8

𝐷 𝑟 =𝑐+ 𝑑 𝑑

6𝑥 3 − 8𝑥 2 + 6𝑥 𝑥2

+1

= 6𝑥 − 8 +

𝑥2

8 +1

Integramos ambos lados 6𝑥 3 − 8𝑥 2 + 6𝑥 𝒹𝓍 ∫ 𝒹𝓍 = ∫ (6𝑥 − 8)𝒹𝓍 + 8∫ 𝑥2 + 1 𝑥2 + 1 = 3𝑥 2 − 8𝑥 + 8𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝐶

Problematización La autoridad autónoma del proyecto de irrigación OLMOS, estima que dentro de x años, el valor de una hectárea de tierra cultivable aumentará a razón de: V ' ( x) = 22x + 1 3x − 27 dólares por año. En la actualidad la hectárea de tierra cuesta $500. Una empresa agroindustrial desea estimar el precio de hectárea dentro de 10 años. Si la empresa te contrata para que realices la estimación:

a)

b)

c)

¿Qué herramientas utilizarías para encontrar el precio de hectárea dentro de 10 años? ¿Cuál es la descomposición del integrando? ¿Cuál será el valor de la hectárea?

Conclusiones

El método de fracciones parciales para integrar funciones racionales, consiste en expresar una fracción compleja en fracciones simples que puedan ser integradas fácilmente.

Existen cuatro casos que se pueden presentar cuando se factoriza el denominador de la función racional: a) Factores lineales diferentes b) Factores lineales repetidos c) Factores cuadráticos irreducibles d) Factores cuadráticos irreducibles repetido

Metacognición 1) ¿Qué he aprendido en esta sesión? 2) ¿Qué dificultades se presentaron en la solución de los ejercicios? 3) ¿Qué tipo de problemas cotidianos se podrían resolver con la antiderivada y el método de integración por descomposición en fracciones parciales? 4) ¿Alcanzaste el logro de la sesión?

Referencias bibliográficas

• Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. CENGAGE Learning. • Larson, R., Edwards, B. (2011). Cálculo I de una variable. McGRAW-HILL. • Zill, D. G., & Wright, W. S. (2011). Cálculo de una variables: Trascendentes tempranas/ Dennis G. Zill y Warren S. Wright (4a. ed.). : McGraw-Hill.

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Tema: Integración por descomposición en fracciones parciales

Material producido por: Universidad Privada del Norte

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