Lembar Kerja Responsi Kalkulus I (TA 2015/2016) PDF

Preview

Summary

MODUL LEMBAR KERJA KALKULUS I Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si NIP. 198301202006042002 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 LEMBAR KERJA RESPONSI KALKULUS BAB 0 (PERSIAPAN) 1. Selesaikanlah sistem persamaan berikut i. | + | = ii. ...

Description

MODUL LEMBAR KERJA KALKULUS I Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si NIP. 198301202006042002

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015

LEMBAR KERJA RESPONSI KALKULUS BAB 0 (PERSIAPAN)

1. Selesaikanlah sistem persamaan berikut i. |2𝑥 + 7| = 7 ii. |𝑥 + 1| + |𝑥| = 5 2. Carilah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang diberikan, dan nyatakan penyelesaiannya dalam notasi interval! 𝑥−1 3𝑥+2

i.

2𝑥 + 3 > 9

iv.

ii.

𝑥 2

v. 2|𝑥 − 3| ≤ |𝑥 + 2|

−7≤4

iii. (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) ≤ 5

≥1 𝑥 2

vi. 2 < |2 − | ≤ 3 Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

1

3. Carilah persamaan lingkaran yang memenuhi persyaratan berikut: i. Memiliki titik pusat (2, −6) serta melalui titik (1,2) ii. Memiliki titik pusat (6,8) serta menyinggung sumbu-𝑥 4. Carilah titik pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkaran sebagai berikut: i. 𝑥 2 − 2𝑥 + 𝑦 2 + 4𝑦 − 20 = 0 ii. 𝑥 2 − 10𝑥 + 𝑦 2 + 2𝑦 = −15 5. Tulislah persamaan garis yang melalui titik (2,4), dan tegak lurus dengan garis 𝑦 + 3𝑥 = 9. (Tuliskan persamaan garis tersebut dalam bentuk 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0) 6. Diberikan dua buah persamaan: 𝑦 = −𝑥 dan 𝑦 = 𝑥 2 − 1 Gambarkan kedua persamaan tersebut ke dalam bidang koordinat yang sama, kemudian carilah titik potongnya! Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

2

7. Tentukan daerah asal alami dari fungsi yang diberikan: i.

𝑓(𝑥) = 𝑥 15 − 2𝑥 10 + 1

ii.

𝑓(𝑥) = 2𝑥−3

iv. 𝑓(𝑥) =

1

𝑥+1 √𝑥−10

iii. 𝑓(𝑥) = √100 − 𝑥 2 8. a. Nyatakan apakah fungsi yang diberikan genap atau ganji atau bukan keduanyal i. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5 ii.

𝑥 2 −2

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +18

iii. 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 + 3𝑥 3 + 1 b. Adakah fungsi yang genap sekaligus ganjil? Jelaskan! Jika ada, berikan contohnya! Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

3

9. Untuk 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 1, carilah masing masing nilai dari: i. (𝑓. 𝑔)(2) iv. (𝑔𝑜𝑓)(2) ii. (𝑓 + 𝑔)(10) iii. (𝑓𝑜𝑔)(2) Tentukan, apakah (𝑓𝑜𝑔)(2) sama dengan (𝑔𝑜𝑓)(2) ? 10. Diketahui identitas penjumlahan cos(x + y) = cosxcosy − sinxsiny dan cos(x − y) = cosxcosy + sinxsiny. Gunakan identitas penjumlahan tersebut untuk menunjukkan kedua ruas persamaan berikut ini bernilai sama: 1 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦 = − [cos(𝑥 + 𝑦) − cos(𝑥 − 𝑦)] 2 Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

4

LEMBAR KERJA RESPONSI KALKULUS BAB 1 (LIMIT)

1. Tentukan limit dari fungsi yang diberikan atau nyatakan limit tersebut tidak ada, dan gunakanlah operasi aljabar untuk memudahkan perhitungan! i. ii. iii. iv.

lim 𝑡 3 + 2𝑡 − 10

𝑡→−2 𝜋4 +2𝜋3 +10𝜋2 lim 𝜋2 𝜋→0 𝑥 2 +6𝑥−27 lim 𝑥−3 𝑥→3

√(𝑥−2)2 (2𝑥+3)4 (2𝑥+3)2 𝑥→−

lim3 2

v.

lim

ℎ→0

81−(9+ℎ)2 ℎ

𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜃→𝜋 ∅−𝑠𝑖𝑛∅ vii. lim ∅ ∅→0 (𝑡+1)(𝑡−1) viii. lim sin⁡(𝑡−1) 𝑡→1

vi. lim

1 𝑥

ix. lim 𝑥𝑐𝑜𝑠( ) 𝑥→0

|ℎ| ℎ→0 ℎ

x. lim Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

5

2. Buktikan limit berikut dengan menggunakan definisi limit: i. lim 5𝑥 + 2 = 12 𝑥→2

ii. iii.

𝑥 2 −16 =8 𝑥→4 𝑥−4 lim 𝑡 2 − 2𝑡 + 1 𝑡→0

lim

=1

3. Carilah limit dari: i. lim 𝑥 5 + 10𝑥 4 + 5𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑥→∞

ii. iii. iv. v.

𝑥 2 −1 𝑥→∞ 𝑥 2 +1 𝑥 lim 𝑥−1 𝑥→−∞ lim √𝑥 2 + 4𝑥 𝑥→∞ 𝑥2

lim

−𝑥

lim

𝑥→∞ √𝑥 4 +2𝑥 2 +𝑥+1

Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

6

3𝑥

4. Carilah asimtot datar dan asimtot tegak dari fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥−1, kemudian sketsakanlah grafiknya! 1

5. Perhatikan grafik dari fungsi 𝑓(𝑥) = (𝑥−1)2 berikut ini

1

Apakah lim (𝑥−1)2 ada? Berikan alasannya! 𝑥→1

Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

7

6. Dari grafik fungsi 𝑓(𝑥) berikut, tentukan interval di mana 𝑓(𝑥) kontinu dan diskontinu y f(x) 1 0, ½ -1

0

1

x

-1

7. Nyatakan apakah fungsi yang ditunjukkan berikut ini kontinu atau tidak, berikan alasannya! i. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 9 − 1 ii.

2𝑥

𝑔(𝑥) = 1−𝑥

iii. ℎ(𝑥) =

𝑥 2 −1 𝑥+1

8. Diberikan suatu fungsi yang didefinisikan sebagai berikut: 𝑥 + 1,⁡⁡⁡jika⁡𝑥 < 0 𝑓(𝑥) = { 𝑥 2 ,⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0 ≤ 𝑥 < 1 𝑥,⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡Jika⁡𝑥 ≥ 1 Selidiki interval di mana (jika ada) fungsi tersebut kontinu! Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

8

9. Diketahui dua buah fungsi yang kontinu, 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 dan 𝑔(𝑥) =

𝑥 2 −9 . 𝑥+3

Tentukan apakah (𝑓 +

𝑔)(𝑥) kontinu atau tidak! 10. Sketsakan grafik fungsi yang memenuhi semua persyaratan berikut: a. Daerah asal [−2,2] b. 𝑓(−2) = 𝑓(−1) = 𝑓(1) = 𝑓(2) = 1 c. Diskontinu di -1 dan 1 d. Kontinu kanan di -1 dan kontinu kiri di 1. Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

9

LEMBAR KERJA RESPONSI KALKULUS BAB 2 (TURUNAN)

1. Carilah kemiringan garis singgung dari kurva 𝑦 = 𝑥 2 di titik 𝑥 = −1,0,1 2. Gunakan definisi turunan 𝑓 ′ (𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) 𝑥

untuk mencari turunan terhadap-𝑥 dari

fungsi berikut: i. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 9 ii. 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 2 6 iii. ℎ(𝑥) = 𝑥−1 iv. 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 1 v.

𝑔(𝑥) =

𝑥 2 −9 𝑥−3 ∆𝑦

3. Gunakan definisi turunan ∆𝑥 = i.

𝑦 =6+

ii.

𝑦 = 𝑥−1

𝑥

1 𝑥

𝑓(𝑥+∆𝑦)−𝑓(𝑥) ∆𝑥

dimana ∆𝑥 → 0 untuk mencari turunan dari:

Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

10

4. Carilah 𝐷𝑥 𝑦 dengan menggunakan aturan turunan untuk: i. 𝑦 = 3𝑥 2 ii. 𝑦 = 10𝑥 3 − 𝑥(1 − 𝑥) 1 1 iii. 𝑦 = 𝑥 − 𝑥−1 + 2 iv. 𝑦 = 4𝑥 2 − (2𝑥 + 1)2 v. 𝑦 = (𝑥 2 − 1)2 (𝑥 − 9)2

5. Tentukan 𝐷𝑥 𝑦 dengan menggunakan aturan turunan untuk fungsi trigonometri berikut: i. 𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝑥 1 ii. 𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥 2 iii. 𝑦 =

𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 2

iv. 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 2𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 + 2(𝑥 − 1) v. 𝑦 = 1 − 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

11

6. Gunakan aturan rantai untuk mencari 𝐷𝑥 𝑦 dari fungsi berikut ini: i. 𝑦 = (3𝑥 + 9)4 ii. 𝑦 = (𝑥 3 + 2𝑥 2 − 𝑥 + 1)4 1

iii. 𝑦 = (𝑥 2 −1)3 + (𝑥 − 1)2 iv. 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛2 (𝑐𝑜𝑠𝑥) v. 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠 2 (sin(2𝑥 + 1)) 7. Sebuah kaset anime Shinchan dilemparkan dari permukaan tanah dengan ketinggian sekitar 𝑠 = 24 − 8𝑡 2 pada akhir 𝑡 detik, dan kecepatan awalnya adalah 24𝑚/𝑠. Tentukan: i. Berapa ketinggian maksimum yang dicapai? ii. Seberapa cepat kaset anime Shinchan bergerak? Ke arah mana pada akhir 1 detik? iii. Berapa lama waktu yang diperlukan untuk sampai ke posisi semula? Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

12

8. Carilah persamaan garis singgung di titik (2,3) dari persamaan: 2𝑥 2 𝑦 2 + 12𝑥𝑦 = 48𝑦 (Gunakan diferensiasi implisit!) 9. Naruto Uzumaki menggunakan sedotan untuk meminum adem sari dari gelas yang berbentuk kerucut yang sumbunya tegak, dengan laju 3𝑐𝑚3 /𝑠. Jika tinggi gelas 3𝑐𝑚 dan diameter gelasnya 6𝑐𝑚, seberapa cepat menurunnya permukaan air adem sari pada saat kedalaman air 5𝑐𝑚? 10. Perlihatkan bahwa garis singgung pada kurva 𝑦 2 = 4𝑥 3 dan 2𝑥 2 + 3𝑦 2 = 14 di titik (1,2) saling tegak lurus! (Gunakan diferensiasi implisit) Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

13

LEMBAR KERJA RESPONSI KALKULUS BAB 3 (APLIKASI TURUNAN)

1. Carilah semua titik kritis dan tentukan nilai maksimum dan minimum dari grafik fungsi 𝑓(𝑥) = 3𝑥 3 − 3 pada interval [−1,1] berikut ini:

Gambar 3.1 2. Tentukan semua titik kritis dan carilah nilai minimum dan maksimum dari fungsi berikut sesuai dengan interval yang diberikan i. 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 2; 𝐼 = [−4,4] ii.

1

𝑓(𝑥) = 𝑥−1; 5

𝐼 = [−2,0] 3

iii. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3𝑥 + 𝑥 − 3; 𝐼 = [−3,2] iv. 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛2𝑡; 𝐼 = [0,8𝜋] v. 𝑓(𝑠) = |3𝑠 − 2|; 𝐼 = [−1,4] Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

14

3. Gunakan teorema kemonotonan untuk mencari dimana fungsi berikut menaik dan menurun i. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2, Selidiki juga apakah fungsi kuadrat tersebut memiliki titik belok?Jelaskan! ii.

𝑓(𝑥) =

𝑥9 3

− 27𝑥

iii. 𝑓(𝑥) = 𝑥√1 − 𝑥 2 4. Carilah semua titik kritis dan gunakan uji turunan pertama (jika mungkin) dan uji turunan kedua untuk menentukan minimum lokal dan maksimum lokal dari fungsi berikut: i. ∅(𝑥) = (𝑥 − 3)3 ii.

𝜑(𝑡) =

𝑥4 √𝑥 2 +16

5. Carilah dua buah bilangan yang hasil kalinya -12 dan jumlah kuadratnya minimum! Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

15

6. Lakukan analisis (prakalkulus dan kalkulus) untuk menggambarkan grafik fungsi i. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 (𝑥 3 − 5) ii.

𝑔(𝑥) =

𝑥 2 +3𝑥−3 𝑥−3

𝑥

7. Tentukan nilai 𝑐 yang dijamin berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata untuk fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥−6 pada interval [0,4] 8. Gunakan metode Newton untuk mengaproksimasi akar dari persamaan berikut (dengan keakuratan hingga lima angka di belakang koma) 𝑥 4 + 6𝑥 3 + 2𝑥 2 + 24𝑥 − 8 = 0 Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

16

9. Tentukan hasil dari integral tak tentu berikut ini: 1

i.

∫(𝑥 2 − 21𝑥 3 ) 𝑑𝑥

ii.

∫ (𝑥 3 − 3𝑥 2 ) 𝑑𝑥

6

iii. ∫(𝑥√2𝑥)𝑑𝑥 5 iv. ∫( √𝑥 − 3𝑡𝑎𝑛𝑥) 𝑑𝑥 v. ∫(6𝑥 2 − 3𝑥 + 1)(√4𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2𝑥 − 100)𝑑𝑥 10. Carilah solusi umum dari persamaan diferensial yang diberikan, kemudian cari juga solusi khususnya jika diberikan 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= (2𝑥 + 1)4 ; untuk 𝑦 = 6 ketika 𝑥 = 0 Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

17

LEMBAR KERJA RESPONSI KALKULUS BAB 4 (INTEGRAL TENTU)

1. a. Carilah nilai dari jumlah i. ∑5𝑘=1 𝑘 2 + 1 ii. ∑6𝑘=1(−1)𝑘 2𝑘 b. Gunakanlah rumus jumlah khusus untuk menentukan masing-masing jumlah dari: 2 i. ∑50 𝑖=1 2𝑖 ii. ∑𝑛𝑖=1 𝑖 2 − 3𝑖 3 2. Hitunglah jumlah Riemann ∑𝑛𝑖=1 𝑓( 𝑥̅𝑖 )∆𝑥𝑖 untuk data yang diberikan sebagai berikut: 𝑓(𝑥) = 10𝑥 + 2 𝑃: 2 < 2,5 < 2,75 < 3,25 < 4 < 4,5 < 5 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 3, 𝑥3 = 3,5, 𝑥4 = 4,25, 𝑥5 = 4,8, 𝑥6 = 5 Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

18

3. Hitung luas daerah dari grafik fungsi pada Gambar 4.1 berdasarkan rumus luas segitiga

Gambar 4.1 7 ∫2 (2𝑥

Kemudian tentukan nilai dari − 8)𝑑𝑥 berdasarkan definisi jumlah Riemann, analisis hasil kedua perhitungan tersebut! 4. Tentukan masing-masing nilai integral tentu berikut jika didefinisikan fungsi 𝑓(𝑥) dimana 2𝑥,⁡⁡⁡𝑥 ≤ 1 𝑓(𝑥) = { 2,⁡⁡⁡⁡⁡𝑥 > 1 1 i. ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ii.

1

∫−1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 10

iii. ∫1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

19

5. Carilah 𝐺′(𝑥) jika diketahui: 𝑥 i. 𝐺(𝑥) = ∫1 10𝑡𝑑𝑡 ii.

𝑥

𝐺(𝑥) = ∫0 (2𝑡 2 + √𝑡)𝑑𝑡 𝑥

iii. 𝐺(𝑥) = ∫1

1 𝑑𝑡 𝑡 2 +1

6. Gunakan Teorema Dasar Kalkulus Kedua dan metode substitusi untuk menghitung masingmasing integral tentu 1

i.

∫0 (𝑥 3 + 5𝑥)𝑑𝑥

ii.

∫−1 4𝑥(1 − 𝑥 2 )𝑑𝑥

4

𝜋

iii. ∫0 10𝑥 6 sin(2𝑥 7 ) 𝑑𝑥 4 𝑥 2 +1

iv. ∫2

𝑑𝑥

v.

1)10

√𝑥 3 +3𝑥 1 ∫0 (2𝑥 4 −

𝑥3 𝑑𝑥 2

7. Carilah rata-rata nilai fungsi pada interval yang diberikan sebagai berikut: i. 𝑓(𝑥) = 6𝑥 3 ; [1,3] ii. 𝑔(𝑥) = 𝑥(1 + 𝑥)2 ; [1,2] iii. ℎ(𝑥) = 𝑥 + |𝑥|; [−3,2] Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

20

8. Carilah semua nilai c yang memenuhi Teorema Nilai Rata-Rata untuk integral pada interval yang diberikan sebagai berikut i. 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 2; [0,4] ii. 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛2𝑡; [0, 𝜋] 9. Gunakan metode jumlah Riemann kiri dan jumlah Riemann kanan dengan 𝑛 = 4 untuk mengaproksimasikan integral tentu dari 2

∫ √𝑥 2 + 1⁡𝑑𝑥 0

Apakah integral tersebut dapat diselesaikan dengan Teorema Dasar Kalkulus Kedua?Jelaskan! 10. Gunakan aturan trapesium dan aturan parabolik dengan 𝑛 = 8 untuk mengaproksimasi integral tentu dari 2

∫ √𝑥 0

Kemudian gunakan Teorema Dasar Kalkulus Kedua untuk mencari nilai eksaknya, lalu bandingkanlah hasilnya! Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

21

LEMBAR KERJA RESPONSI KALKULUS BAB 5 (APLIKASI INTEGRAL)

1. Tentukan luas wilayah yang dibatasi oleh garis 𝑦 = 𝑥 + 4 dan kurva 𝑦 = 𝑥 2 + 2 (Carilah nilai dari 𝑎 dan 𝑏 terlebih dahulu yang merupakan titik potong)

Gambar 5.1 2. Hitunglah luas wilayah yang dibatasi oleh grafik 𝑦 = 𝑥 2 , dan garis 𝑦 = 𝑥 + 6 dengan prosedur 3 langkah (iris,aproksimasikan, integrasikan), sketsakan grafiknya! 3. Hitunglah luas wilayah yang dibatasi oleh kurva 𝑥 = 𝑦 2 dan garis 𝑦 = 𝑥 − 2. Bandingkan pencarian luas wilayah tersebut jika diiris secara horizontal dan vertikal! Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

22

4. Carilah volume benda yang dibentuk jika daerah yang diberikan oleh Gambar 5.2 diputar mengelilingi sumbu-𝑥 dan sumbu-𝑦

Gambar 5.2 5. Sketsakan wilayah 𝐴 yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = √9 − 𝑥 2 , 𝑦 = 0, serta di antara 𝑥 = −2 dan 𝑥 = 3. Dan perlihatkan suatu irisan tegak tertentu, kemudian tentukan volume benda yang terbentuk jika 𝐴 diputar mengelilingi sumbu-𝑥. 6. Carilah volume benda pejal yang terbentuk dengan memutar mengelilingi sumbu-𝑥 daerah yang dibatasi oleh garis 𝑥 − 2𝑦 = 0 dan parabola 𝑦 2 = 4𝑥 Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

23

7. Tentukan panjang kurva yang diberikan: i. 𝑦 = 5𝑥 2 antara 𝑥 = 1 dan 𝑥 = 3 ii.

𝑦=

𝑥 4 +3 6𝑥

antara 𝑥 = 1 dan 𝑥 = 3

8. Tentukan centroid dari daerah yang dibatasi oleh kurva/garis berikut ini 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 𝑥 + 3 9. Tentukan 𝑚, 𝑀𝑦 , 𝑀𝑥 , 𝑥̅ dan 𝑦̅ dari lamina homogen berikut

Gambar 5.3 10. 𝑃𝐷𝐹 dari variabel acak kontinu 𝑋 diberikan sebagai berikut 𝑥 (30 − 𝑥),⁡⁡⁡jika⁡0 ≤ 𝑥 ≤ 30 𝑓(𝑥) = {2 0,⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡Lainnya Gunakan 𝑃𝐷𝐹 tersebut untuk menentukan: i. 𝐸(𝑥) ii. 𝐶𝐷𝐹 Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

24

LEMBAR KERJA RESPONSI KALKULUS BAB 6 (FUNGSI TRANSENDEN)

1. Carilah semua turunan dari fungsi logaritma alami jika diasumsikan 𝑥 dibatasi sehingga 𝑙𝑛 terdefinisi i.

𝑥2

𝐷𝑥 ln (2 + 2𝑥 + 1) 3

ii. 𝐷𝑥 ln(√𝑥 3 + 3𝑥 ) iii. 𝐷𝑥 (√𝑥 ln(2𝑥 3 − 𝑥) + 𝑙𝑛𝑥) iv. v.

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥

jika 𝑦 =

ln⁡(𝑥 6 +

𝑥4 ) 4

𝑥 3

jika 𝑧 = √ln⁡(𝑥 2 + 1) 1 𝑥

2. Carilah nilai dari integral-integral berikut ini (Note: ingat bahwa ∫ 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 + 𝐶) 5

i.

∫ 5𝑥+1 𝑑𝑥

ii.

∫(𝑥+1 + √𝑥 )𝑑𝑥

1

3

𝑥5

iii. ∫ 2𝑥6 +2𝜋 𝑑𝑥 𝑥 2 +𝑥

iv. ∫ 2𝑥−1 𝑑𝑥 v.

𝑥4

∫ 2𝑥+1 𝑑𝑥 Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

25

3. Perhatikan grafik fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dari Gambar 6.1 di bawah ini a. Berdasarkan grafik, jelaskan mengapa fungsi 𝑓(𝑥) tidak memiliki invers di daerah asal −3 ≤ 𝑥 ≤ 4 ? b. Tentukan interval nilai 𝑥 agar fungsi 𝑓(𝑥) memiliki invers pada interval tersebut!

Gambar 6.1 4. Tentukan 𝑓 (𝑥) dari fungsi berikut, kemudian periksa kebenaran bahwa 𝑓 −1 (𝑓(𝑥)) = 𝑥 dan 𝑓(𝑓 −1 (𝑥)) = 𝑥 i. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5 1 ii. 𝑓(𝑥) = − 𝑥+5 −1

iii. 𝑓(𝑥) =

𝑥+5 𝑥−3

Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

26

5. Carilah 𝐷𝑥 𝑦 dari fungsi eksponen alami jika diketahui 𝑥

i. ii.

𝑦 = 2𝑒 2 2 𝑦 = 𝑒 𝑥 −2𝑥+6 3

iii. 𝑦 = 𝑥𝑒 √𝑥 𝑥 𝑙𝑛𝑥

2 3

iv. 𝑦 = 𝑒 + 𝑒 𝑥 2 v. 𝑦 = √𝑥𝑒 𝑙𝑛𝑥 +

1 𝑥+𝑒 𝑥

6. Tentukan hasil dari masing-masing integral fungsi eksponen alami berikut (gunakan metode substitusi) i. ∫ 𝑒 5𝑥+2 𝑑𝑥 ii. ∫(𝑒 10𝑥 + √𝑥)𝑑𝑥 2 iii. ∫ 𝑥𝑒 𝑥 +1 𝑑𝑥 −

iv.

1

𝑒 𝑥 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 2𝑥+𝑒 2𝑥

v. ∫ 𝑒 𝑑𝑥 7. Carilah volume benda pejal yang terjadi dari daerah yang dibatasi oleh 𝑦 = 𝑒 𝑥 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 𝑙𝑛3 jika diputar mengelilingi sumbu-𝑥! Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

27

8. Tentukan turunan atau integral dari fungsi logaritma umum dan eksponensial berikut ini: i. 𝐷𝑥 (23𝑥 ) ii. 𝐷𝑥 (log 5(𝑥 2 + 3𝑥 − 1)) iii. 𝐷𝜋 √log 6(3𝜋

2 −𝜋

)

𝑥 2 +1

iv. ∫ 𝑥10 𝑑𝑥 1 v. ∫0 (103𝑥 + 10−3𝑥 )𝑑𝑥 9. Gunakan metode substitusi invers trigonometri untuk menyelesaikan masalah integral di bawah ini 2

i.

∫ 1+𝑥2 𝑑𝑥

ii.

∫1

iii.

𝑒𝑥 𝑑𝑥 1+𝑒 2𝑥 1 1 ∫0 𝑥 2 −2𝑥+12 𝑑𝑥 2

10. Periksa kebenaran bahwa persamaan yang diberikan merupakan identitas 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛ℎ2 𝑥 (Gunakan definisi fungsi hiperbolik) Jawaban

Modul Lembar Kerja Kalkulus 1

28...