Lerneinheit 28 - Ortskurven - Bischoff PDF

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Ortskurven - Bischoff...

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OTH Regensburg

Grundlagen der Elektrotechnik 2

Prof. Dr.-Ing. M. Bischoff

Lerneinheit 28: Ortskurven (1) Lernziele: Sie können nach Lerneinheit 28 

die Definition von Ortskurve angeben



einfache Ortskurven konstruieren



einfache Operationen mit Ortskurven durchführen

Lerneinheit 28

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SS 20

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Grundlagen der Elektrotechnik 2

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Bedeutung und Definition Komplexe Rechnung ist der Schlüssel zur Berechnung von Wechselstromnetzwerken. Da komplexe Größen immer aus zwei Komponenten bestehen (Real- und Imaginärteil, bzw. Betrag und Phase) ist die grafische Darstellung funktionaler Abhängigkeiten mit den gewohnten Methoden umständlich, da zwei Diagramme für die Abbildung der gesamten Information erforderlich sind. Gesucht wird daher nach einer grafischen Darstellung der Abhängigkeit einer komplexen Größe von einem reellen Parameter in einem Diagramm. Leisten können das die Parameterkurven, die wir in der GE1 im Zusammenhang mit den Kurvenintegralen bereits kennen gelernt haben. Ihr Zustandekommen bei Fragestellungen zu Netzwerken ist am leichtesten anhand zweier Beispiele zu sehen.

R(α)

L

139

Beispiel 1:

Der veränderliche Widerstand ist ein Drehpotentiometer für den in Abhängigkeit vom Einstellwinkel α gilt R=

 3 R max , 0≤≤  3 2  2

Grafisch dargestellt werden soll der komplexe Widerstand Z = f(α) des Zweipols. Lerneinheit 28

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Z =R j  L=

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R max j L 3  2

Für festes α ist Z ein Punkt in der komplexen Zahlenebene, den wir aber aus Gründen der Übersichtlichkeit als Zeiger einzuzeichnen pflegen, siehe Kapitel Wechselstrom. Variiert nun α, wandert dieser Punkt (= die Pfeilspitze des Zeigers) in der Ebene und beschreibt dabei eine Kurve. Durchläuft der Parameter α seinen gesamten Wertebereich, resultiert die gesuchte Ortskurve, in unserem Beispiel eine Strecke parallel zu reellen Achse.

X α ωL α=0

α=3/2π Z

R

140

Rmax

Neben der Ortskurve wird durch einen Pfeil die Richtung für zunehmenden Parameter sowie dessen Formelsymbol angegeben. Die Zeiger sind hier nur aus didaktischen Gründen dargestellt und gehören nicht zur Ortskurve. Lerneinheit 28

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Beispiel 2:

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I

Uq

C

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G

Es ist die grafische Darstellung von I bei variierender Kreisfrequenz ω gesucht. Die Quellenspanung sei die nullphasige Schwingung. I = G j  C  U q =G U q  j  C U q

Im{I}

ω I ω=0 Re{I}

142

GUq

Die Ortskurve einer komplexen Größe ist die Kurve, die die Spitze ihres Zeigers in der komplexen Ebene beschreibt, wenn ein Parameter variiert wird. Oft werden einzelne Punkte der Ortskurve mit dem Wert des zugehörigen Parameters beziffert. Lerneinheit 28

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Konstruktion von Ortskurven Die Gerade als Ortskurve Geraden tauchen als Ortskurven häufig auf – siehe die Beispiele im letzten Abschnitt – und sind deshalb wert, genauer betrachtet zu werden. Abhängig von der Lage ist ihre algebraische Beschreibung als Parameterkurve unterschiedlich. Der reelle Parameter wird im folgenden mit dem Formelzeichen p versehen, die komplexe Größe mit A(p). Sonstige reelle und komplexen Zahlen mit a, b, ... bzw. a, b, ... Eine Gerade ist durch zwei Punkte festgelegt. Für eine Gerade durch den Ursprung brauchen wir nur noch einen zweiten Punkt, nennen wir ihn a. A p= p a= p a e

j a

Die Phase von A(p) ist von p unabhängig, also konstant. Für p = 1 liegt die Zeigerspitze genau in a. Für p > 1 oberhalb und für p < 1 unterhalb von a. Für negatives p verläuft die Ortskurve bei unserer Wahl von a im dritten Quadranten.

Im{A} a p>

0

...