Linhas Transmissao - Telecomunicações PDF

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Telecomunicações...

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INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA ENGENHARIA DE SISTEMAS DE TELECOMUNICAÇÕES E ELECTRÓNICA

SECÇÃO DE SISTEMAS DE TELECOMUNICAÇÕES

z

∆z

Vg

ZL

I (z ,t ) L∆z V (z , t )

R∆z

C ∆z

I (z + ∆z ,t )

G ∆z

V (z + ∆z, t)

∆z

PROPAGAÇÃO E RADIAÇÃO

APONTAMENTOS SOBRE

LINHAS DE TRANSMISSÃO

ABRIL - 2007

Linhas de transmissão

1 LINHAS DE TRANSMISSÃO 1.1

Parâmetros distribuídos

Um cabo coaxial ou uma linha bifilar (mostrados na Figura 1 em corte transversal) são dois exemplos de estruturas que permitem guiar energia electromagnética entre dois pontos. A distribuição dos campos nestas estruturas é mostrada na mesma figura.

E

H

2a

2a

d

2b

a)

b)

Figura 1 – Campos em linhas de transmissão: a) linha coaxial b) linha bifilar

Ambas as estruturas suportam modos de propagação TEM – Transverse ElectroMagnetic, isto é, o campo eléctrico e o campo magnético são ortogonais entre si e ambos transversais à direcção de propagação. Quando assim é, torna-se possível o estudo da propagação recorrendo à análise convencional de circuitos não sendo necessário recorrer à teoria electromagnética geral. Associado a um troço de cabo coaxial ou de linha bifilar existe uma determinada capacidade C e uma determinada indutância L . Duplicando o tamanho deste troço então a capacidade e a indutância também duplicam. Isto é verdade porque a capacidade e a indutância estão distribuídas ao longo de todo o comprimento da linha. Assim, conhecendo a capacidade por unidade de comprimento e sabendo o tamanho total do cabo então a capacidade total é obtida pelo produto de ambos. O mesmo se verifica para a indutância. Além da capacidade e da indutância, qualquer linha de transmissão apresenta ainda uma resistência de perdas R , associada às perdas nos condutores, e uma condutância de perdas G , associada a condutividade do

dieléctrico utilizado para separar os dois condutores. Os parâmetros C , L, R,G são denominados de parâmetros distribuídos da linha. A título de exemplo mostram-se na Tabela 1 as expressões de cálculo destes parâmetros, obtidos através da análise electromagnética, para a linha coaxial e para a linha bifilar. Aqui [ ε,µ,σ ] são os parâmetros constitutivos do dieléctrico entre condutores e [ σc , δ ] são, respectivamente, a condutividade dos condutores e profundidade de penetração nos mesmos. 3

Linhas de transmissão Tabela 1 – Parâmetros distribuídos da linha coaxial e linha bifilar

Linha Coaxial C [F/m]

L [H/m] R [Ω/m]

G [ /m]

−1

2πε ln

b a

µ b ln 2π a

1 2πδσc

πε cosh −1

d 2a

µ 1 d cosh − π 2a

⎡ 1 1⎤ ⎢ + ⎥ ⎢⎣a b ⎥⎦

2πσ ln−1

Linha Bifilar

b a

1 πa δσc πσ cosh −1

d 2a

Consideremos então um gerador ligado a uma carga por uma qualquer linha de transmissão, tal como mostrado na Figura 2. De toda a linha concentremo-nos num pequeno troço de tamanho ∆z . Baseado nos parâmetros distribuídos, o circuito eléctrico equivalente deste pequeno troço é o mostrado na mesma Figura 2. Tendo como base este modelo, o primeiro objectivo do nosso estudo prende-se então em descobrir qual o comportamento da tensão e da corrente ao longo da linha e qual a sua relação com os parâmetros distribuídos. z

∆z Vg

I (z ,t ) L ∆z V (z , t )

ZL

R∆ z

I (z + ∆z ,t )

C∆ z

G ∆z

V (z + ∆z ,t )

∆z Figura 2 – Circuito equivalente de um troço de tamanho ∆z de uma linha de transmissão

1.2 Equações gerais de tensão e corrente

4

Linhas de transmissão

Circulando na malha do circuito equivalente podemos escrever

V (z , t ) = L∆z

∂ I (z, t ) + R∆zI (z , t ) + V ( z + ∆z, t) ∂t

Arranjando os vários termos, a equação anterior é equivalente a

V (z + ∆ z, t ) − V (z, t) ∂ − = L I(z, t) + RI ( z, t) ∆z ∂t

Se agora reduzirmos o tamanho do troço a uma dimensão elementar, isto é, se fizermos ∆z tender para 0, então a equação anterior toma a seguinte forma

−

∂ ∂ V (z , t ) = L I (z, t ) + RI (z, t ) ∂z ∂t

(1.1)

Temos assim uma primeira equação diferencial extraída do circuito em estudo e que relaciona a tensão com a corrente num determinado ponto da linha. O objectivo que pretendemos atingir é o de descobrir equações que separadamente traduzam o comportamento da tensão e da corrente na linha. No entanto a equação (1.1) tem duas incógnitas ( I e V ) pelo que é necessário arranjar outra equação de modo a que tenhamos um sistema de duas equações e duas incógnitas. Analisando então o nó do mesmo circuito podemos escrever

I (z, t ) = G ∆zV (z + ∆z, t) + C ∆z

∂ V (z + ∆ z, t) + I (z + ∆ z, t) ∂t

Arranjando novamente os vários termos desta equação resulta

−

∂ I (z + ∆z , t ) − I (z ,t ) = GV (z + ∆z , t ) + C ∆ z V (z + ∆ z , t ) ∆z ∂t

Mais uma vez, fazendo ∆z tender para 0, chega-se a que

−

∂ ∂ I (z , t ) = GV (z, t ) + C V (z, t ) ∂z ∂t

(1.2)

Temos agora uma segunda equação diferencial que também relaciona a tensão com a corrente no circuito. As equações (1.1) e (1.2) são as equações que regem todo o comportamento eléctrico da linha. Note--se que elas 5

Linhas de transmissão

nada nos dizem sobre a forma da corrente e da tensão mas sim apenas a relação entre ambas e a dependência destas com os parâmetros distribuídos. Apesar da forma da tensão ou da corrente poder ser qualquer, admitamos que o gerador impõe um regime sinusoidal, isto é, o sinal do gerador é do tipo Vg = V cos (ωt )

Nestas condições a corrente e a tensão podem ser escritas na forma fasorial. Relembre-se que a obtenção da tensão ou da corrente a partir do respectivo fasor é feita como se segue V (z, t) = ℜ {V (z ) ej ω t} I (z ,t ) = ℜ {I (z )e j ωt }

onde V (z ) e I (z ) são os fasores da tensão e corrente, respectivamente. Notando que

∂ ∂ = jω V (z )e jω t = j ωV (z ) e jω t ⇒ ∂t ∂t

então as equações (1.1) e (1.2) podem ser escritas, respectivamente, na seguinte forma

−

∂ V (z ) = (R + jω L)I (z ) ∂z

(1.3)

−

∂ I (z ) = (G + j ωC )V (z ) ∂z

(1.4)

O objectivo que pretendemos atingir é o de descobrir equações que separadamente traduzam o comportamento da tensão e da corrente na linha. Para obtermos equações apenas em função da tensão ou da corrente podemos começar por derivar (1.3) e (1.4) em ordem a z obtendo-se, respectivamente

−

∂2 ∂ V (z ) = (R + jω L) I (z ) 2 ∂z ∂z

6

(1.5)

Linhas de transmissão −

∂2 ∂ I (z ) = (G + jωC ) V (z ) 2 ∂z ∂z

(1.6)

Utilizando (1.6) com (1.3) e (1.5) com (1.4) resulta finalmente 2

∂ V (z) = (R + j ω L)(G + j ωC )V (z ) ∂z 2

(1.7)

2

∂ I (z ) = (R + j ω L)(G + j ωC )I (z ) ∂z 2

(1.8)

Agora sim, dispomos de uma equação só com termos de tensão e outra só com termos de corrente. Estas são equações diferenciais triviais e cuja solução é amplamente conhecida. Particularizando para a equação da tensão, temos que a solução desta é da seguinte forma V (z ) = Vi e−γ z +Vr e+γ z

(1.9)

onde γ é a denominada constante de propagação e é dada por

(1.10)

γ = (R + j ωL)(G + j ωC )

Facilmente se infere que γ é complexa e portanto pode ser posta na seguinte forma

γ = α + jβ

(1.11)

V (z ) = Vie −αze −j β z +Vr e αze jβz

(1.12)

Utilizando (1.11) em (1.9) resulta

Poderia ainda ser demonstrado que

α=

RG − ω2 LC +

(R2 + ω2 L2 )(G2 + ω2C 2 ) 2

7

[ Np/m ]

(1.13)

Linhas de transmissão

1Np = 8.686dB

β=

ω 2LC − RG +

(R 2 + ω 2L2 )(G 2 + ω 2C 2 ) 2

[ rad/m ]

(1.14)

Analisemos agora com atenção os resultados obtidos. A análise da equação da tensão fica facilitada se recuperarmos a dependência temporal em (1.12). Para tal fazemos

V (z ,t ) = ℜ {V (z )e jωt } = ℜ {Vie− αz e− βz e j ωt + Vreαze βze j ωt } = Vie−α z cos ( ωt − β z ) + Vreα z cos (ωt + β z) Podemos agora claramente ver que na linha podem existir simultaneamente duas ondas: uma que se propaga do gerador para a carga (associada à exponencial negativa) e à qual chamaremos de onda incidente e outra que se propaga da carga para o gerador (associada à exponencial positiva) e à qual chamaremos de onda reflectida. Note-se que a equação não obriga a que existam as duas ondas mas apenas admite essa possibilidade. Se a constante Vr for nula então a onda reflectida não existirá. Mais à frente veremos que condições levam a que esta onda exista ou não. Antes de continuarmos, vejamos que mais informação se pode ainda extrair destes resultados. Para tal, admitamos que apenas existe onda incidente, de modo a que a tensão ao longo da linha é dada simplesmente por V (z ) =Vie −αze −j βz Verifica-se que esta é dada pelo produto de 3 parcelas: uma constante Vi , uma exponencial negativa e uma exponencial imaginária. A exponencial negativa vai tendo uma amplitude cada vez menor à medida que z aumenta, ou seja, à medida que nos deslocamos ao longo da linha. Quer isto dizer que esta parcela é responsável por uma atenuação da tensão à medida que a onda se vai propagando. Como no modelo eléctrico utilizado eram R e G os responsáveis pelas perdas, é expectável que se estes forem nulos então as perdas também o serão e a onda não se atenuará. De facto, mais à frente iremos confirmar este raciocínio. A exponencial imaginária tem módulo unitário e portanto não introduz qualquer variação na amplitude da tensão sendo apenas responsável pela variação da fase à medida que o sinal se vai propagando. Estas mesmas conclusões podem ser retidas analisando a onda incidente com dependência temporal incluída V (z, t ) = ℜ {V ( z)e j ωt } = ℜ{Vi e−αz e− j βz e j ωt} = Vi e−αz cos ( ω t − β z)

8

Linhas de transmissão

Confirma-se aqui que a exponencial negativa é responsável pela atenuação do sinal e que βz é responsável pela variação da fase. Se fixarmos o tempo num determinado instante e fizermos um gráfico com a evolução da amplitude da onda incidente em cada ponto da linha obteríamos os resultados mostrado na Figura 3. Aqui são mostrados 3 exemplos para 3 valores diferentes de α , onde se pode verificar que quanto maior for α mais rapidamente o sinal se atenua.

α

α

α

Figura 3 - Evolução da amplitude da onda incidente ao longo da linha

Conhecida a forma da tensão ao longo da linha podemos interrogarmo-nos sobre a forma da corrente que lhe está associada. Para responder a esta pergunta comecemos por relembrar que a tensão e a corrente não são independentes uma vez que ambas estão relacionadas entre si pelas equações (1.3) e (1.4). Para obter a solução para a corrente podemos então derivar (1.9) em ordem a z e substituir em (1.3). Manipulando os termos chegaríamos a

(G + j ωC ) (Vie −γ z −Vre +γz ) (R + jω L)

(1.15)

(G + j ωC ) (Vie− αze− j βz −Vre αze j βz ) (R + j ωL )

(1.16)

I (z ) =

Utilizando (1.11) pode-se ainda escrever

I (z ) =

9

Linhas de transmissão

Analisando (1.16) com atenção podemos retirar as mesmas conclusões da análise de (1.12). Existem no entanto duas grandes diferenças relativamente à equação da tensão. A primeira diferença está no sinal da corrente da onda reflectida, uma vez que este é negativo. Isto acontece porque na análise do circuito eléctrico equivalente da linha convencionamos que a corrente é positiva quando se desloca do gerador para a carga. Por consequência, a corrente terá sinal negativo quando se deslocar da carga para o gerador. Outra diferença reside num factor multiplicativo comum às ondas incidente e reflectida. Para o estudar admitamos que não existe onda reflectida e concentremo-nos apenas na onda incidente. Se dividirmos a tensão pela corrente associadas a esta onda obteremos algo que tem as mesma unidades que uma impedância. Facilmente se conclui que o resultado desta divisão é

Z0 =

(R + j ω L ) (G + j ωC )

(1.17)

e portanto podemos escrever

I (z ) =

(Vi e−αz e−j βz

− Vr eαz ej βz )

Z0

(1.18)

Note-se que esta impedância é independente da posição da linha e é apenas função dos seus parâmetros distribuídos, ou seja, depende unicamente da geometria da linha de transmissão e do tipo de materiais utilizados no seu fabrico. Por este motivo esta impedância é denominada de impedância característica da linha.

1.3 Equações de tensão e corrente para linhas sem perdas No caso particular duma linha sem perdas verifica-se que R =G = 0

Nestas condições resulta que a constante de propagação passa a ser dada simplesmente por

γ = j ω LC resultando também

10

(1.19)

Linhas de transmissão

α=0

(1.20)

β = ω LC

(1.21)

e

Como se verifica

γ = jβ em linhas sem perdas é usual chamar-se constante de propagação a β em vez de γ . Podemos agora confirmar algo que já esperávamos por intuição: a onda incidente e reflectida propagam-se sem se atenuar, uma vez que α = 0.

Se pegarmos nas expressões de L e C da Tabela 1, quer para o cabo coaxial quer para a linha bifilar, e substituirmos em

LC chegaríamos a LC = µε . Relembrando que a velocidade de propagação de uma

onda electromagnética num meio sem perdas é dada por

v=

1 = µε

1 c = µr µ0εr ε0 εr

assumindo µr = 1

(1.22)

e então 1 LC

v=

(1.23)

representa a velocidade de propagação na linha. A equação (1.21) pode então ser posta na forma

β=

2π ω 2π f = = λ v v

(1.24)

v f

(1.25)

uma vez que é também sabido que

λ=

11

Linhas de transmissão

Para o caso particular de um linha sem perdas, a tensão e corrente ao longo da linha passam agora a ser dadas simplesmente por V (z ) = Vi e − jβ z + Vr e + jβ z

I (z )

(1.26)

Vie −j βz −Vr e +j βz ) ( =

(1.27)

Z0

onde

L C

Z0 =

(1.28)

1.3.1 Impedância ao longo da linha e Coeficiente de Reflexão y z

l

Vg

ZL

Figura 4 – Coordenadas da linha de transmissão

A dimensão z é medida do gerador para a carga. No entanto, no estudo de problemas associados às linhas de transmissão, é preferível estudar o problema da carga para o gerador. Definamos então

y = l −z onde l é a dimensão total da linha de transmissão e y passa a ser medido da carga para o gerador, tal como mostrado na Figura 4. Assim, a equação da tensão passa a ser dada por V (y ) = Vie −γ ( l−y) + Vre +γ ( l−y) = Vie −γ leγ y + Vreγ le −γ y Fazendo a seguinte substituição 12

(1.29)

Linhas de transmissão

Vi 2 =Vie −γl Vr 2 = Vre γl resulta que

V (y ) = Vi 2e γ y +Vr 2e −γ y

(1.30)

De igual modo, a equação da corrente toma a forma

I (y ) =

Vi 2e γy −Vr 2e −γy Z0

(1.31)

Para o caso particular de linhas sem perdas vem simplesmente V (y ) = Vi 2e jβy + Vr 2e −j βy

(1.32)

Vi2ej βy − Vr 2e− j βy Z0

(1.33)

I( y) =

Já vimos anteriormente que, como resposta ao sinal introduzido por um gerador, podem existir simultaneamente duas ondas na linha: a onda incidente e a onda reflectida. Procuremos agora a condição que leva a que exista a onda reflectida. Das equações (1.30) e (1.31) resulta que na carga ( y = 0 ) a tensão e a corrente valem ⎧Vy= 0 =Vi2 +Vr 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ V −Vr 2 ⎪ Iy= 0 = i 2 ⎪ Z0 ⎪ ⎩ ⎪

Por outro lado, aplicando a lei de Ohm na carga, temos também Vy= 0 = Z LI y= 0 Utilizando estes dois resultados podemos escrever 13

Linhas de transmissão

Vi2 +Vr2 =

ZL (Vi2 −Vr2 ) Z0

(1.34)

Definamos então coeficiente de reflexão de tensão na carga como sendo a relação entre a tensão da onda reflectida e a tensão da onda incidente na carga

KVL =

Vr 2 Vi 2

Manipulando (1.34) pode-se chegar a

KVL =

ZL − Z0 ZL +Z 0

(1.35)

Da definição de KVL resulta que se este for nulo obviamente não existirá onda reflectida. Analisando (1.35) facilmente se infere que para que tal aconteça é necessário que a impedância da carga e a impedância da linha sejam iguais. Então a grande conclusão a que chegamos é que sempre que uma carga é ligada a uma linha de transmissão e ambas apresentam impedâncias diferentes existirá uma onda reflectida. Nesta condições diz-se que existe uma desadaptação. Existindo desadaptação parte da energia associada à onda incidente é transmitida à carga e outra parte é reflectida. Obviamente isto corresponde a uma perda de sinal na carga e portanto é uma situação que se deve evitar. No caso oposto, isto é, sempre que a impedância característica da linha e a impedância de carga forem iguais, não existe onda reflectida e diz-se que existe adaptação de impedâncias. Adiante veremos que técnicas podemos utilizar para transformar ums sistema desadaptado num sistema adaptado. Utilizando (1.35) em (1.30) e (1.31) vem V( y) = Vi2 eγy (1 + KVLe−2 γy )

(1.36)

Vi2e γy − 2γy 1 − KVLe ( ) Z0

(1.37)

I (y ) =

Do mesmo modo, utilizando (1.35) em (1.32) e (1.33) resulta para as linhas sem perdas

V (y) = Vi 2e j βy (1 + KVLe −j 2 βy ) 14

(1.38)

Linhas de transmissão

I( y) =

Vi 2e jβ y (1 − KVL e− j 2βy ) Z0

(1.39)

Admitamos então que existe onda incidente e onda reflectida. Dividindo a tensão ao longo da linha pela corrente ao longo da linha obtém-se novamente uma impedância. No caso geral duma linha com perdas esta impedância vale

Z (y ) =

−2 y V (y) 1 + KVLe γ = Z0 1 − K VLe −2 γy I (y )

(1.40)

e para o caso particular duma linha sem perdas vale

Z ( y) =

V ( y) 1+ KVLe−j 2βy Z = 0 1− KVLe −j 2β y I (y )

(1.41)

Manipulando (1.40) e (1.41), estas podem-se escrever, respectivamente, na seguinte forma

Z (y ) = Z 0

Z L + Z 0 tanh ( γy ) Z 0 + Z L tanh ( γy )

(1.42)

Z (y ) = Z 0

Z L + jZ 0 tan (βy ) Z 0 + jZ L tan ( βy )

(1.43)

Analisemos com atenção estas equações. Podemos verificar que num sistema desadaptado a impedância depende de y , ou seja, a diferentes distâncias da carga obteremos impedâncias distintas. Aparece portanto aqui uma dependência entre a impedância nos terminais da linha e o seu comprimento. Por outro lado a impedância depende de KVL , ou se...