Lista zadań nr 5 PDF

Preview

Summary

Lista zadań z Matematyki dyskretnej...

Description

Lista nr 5/Matematyka dyskretna/J.Pozorska/WIMiI/2018

Zadanie 1 Zapisz ogólną postać liczby całkowitej, która: (a) jest nieparzysta; (b) jest parzysta; (c) jest podzielna przez 5; (d) nie dzieli się przez 7. Zadanie 2 Wykaż, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych z dzielenia przez 3 daje resztę 2. Zadanie 3 Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3. Zadanie 4 Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez 3, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. (CKE 2014) Zadanie 5 Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k6-2k4+k 2 jest podzielna przez 36. (matura maj 2011) Zadanie 6 Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k(k+1)(k+9)(k2 +1) jest podzielna przez 5. (Informator maturalny od roku szkolnego 2014/2015) Zadanie 7 Znajdź dwie liczby naturalne, których suma wynosi 750, zaś iloraz z dzielenia ich najmniejszej wspólnej wielokrotności przez ich największy wspólny dzielnik jest równy 1196. Zadanie 8 Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru p tak, by pierwiastkiem równania x3+px2=18 była liczba pierwsza. Zadanie 9 Oblicz NWW(72,180)+NWD(154,210,350). Zadanie 10 Wyznacz wszystkie pary (x,y) liczb całkowitych spełniających równanie xy+y=5x+2008. Zadanie 11 Liczby a i b są takimi liczbami całkowitymi, że a2+119ab+b2 dzieli się przez 11. Wykaż, że a3-b 3 też dzieli się przez 11. Zadanie 12 Liczbę 2007 przedstaw w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych. Ile rozwiązań ma to zadanie? Odpowiedź uzasadnij. Zadanie 13 Wykaż, że jeżeli p jest liczbą pierwszą oraz p>3, to liczba p2 -1 dzieli się przez 24. Zadanie 14 k5 k 3 k C. Wykaż, że jeśli k C , to 120 24 30

Dr inż. Jolanta Pozorska

Instytut Matematyki, Politechnika Częstochowska

Zadanie 15 Znajdź takie dwie liczby naturalne x,y, których: a) NWD(x,y)=3, NWW(x,y)=30 b) NWD(x,y)=6, NWW(x,y)=60 Zadanie 16 Wyznacz wszystkie takie pary (a,b) dodatnich liczb całkowitych, że liczba a+b jest liczbą pierwszą oraz liczba a3+b3 jest podzielna przez 3 ( IV Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów 2008/2009). Zadanie 17 Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych p,q,r spełniające układ równań q=p 2+6 i r=q2+6 ( II Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów 2006/2007). Zadanie 18 Dana jest liczba 1+23456789. Rozstrzygnąć, czy jest to liczba pierwsza. Zadanie 19 Wyznaczyć wszystkie całkowite dodatnie liczby n, dla których liczba n5+n+1 jest liczbą pierwszą. Zadanie 20 Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną n taką, że n-1 dzieli się przez 200, a n+1 dzieli się przez 9....