Loesung 6 - losung für Serie6 PDF

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losung für Serie6...

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Lo ¨sungen der Aufgabenserie 6 Aufgabe 6.1 a) Durch Vertauschung von x und y erh¨alt man x = ln e2x =

4y + 3 3y − 2

⇒

Die inverse Funktion ist also y =

√

4y + 3 . Aus dieser Gleichung folgt 3y − 2

(3y − 2) e2x = 4y + 3

⇒

y(3e2x − 4) = 3 + 2 e2x .

3 + 2e2x . 3e2x − 4

√ 2 ist, ergibt sich nach einem Additionstheorem f¨ur den Sinus: ( √ ( π) √ π ) π + cos x sin = 2 sin x + y = sin x + cos x = 2 sin x cos 4 4 4 ) ( Vertauscht man x und y, so erh¨alt man √x2 = sin y + π4 mit − 43 π ≤ y ≤ π4 . Da dann y + π4 im Intervall [− π2 , π2 ] (dem Wertebereich der arcsin-Funktion) liegt, ergibt sich y + π4 = arcsin √x2 . Die inverse Funktion ist also y = − π4 + arcsin √x . 2

b) Da sin 4π = cos π4 =

1 2

Aufgabe 6.2 x2 + x − 2 x−1 (x − 1)(x + 2) ur x = 0, x = −2. Folglich ist x = 0 eine Polstelle (denn f¨ = = x x(x + 2) x2 + 2x f (x) → ∓∞ f¨ ur x → ±0), w¨ahrend x = −2 eine hebbare Unstetigkeit ist (f (x) → 3/2 f¨ ur x → −2).

a) Es gilt

b) x = 0 ist eine Oszillationsstelle c) Die einzige kritische Stelle von f (x) ist x = 0. Sei (xn ) eine Folge, die gegen 0 strebt, dann gilt wegen |f (xn )| ≤ |xn | auch lim f (xn ) = 0. Folglich ist lim f (x) = 0, der Grenzwert stimmt also mit dem x→0 n→∞ Funktionswert an der Stelle x = 0 u ¨ berein. Dies bedeutet, dass die Funktion an der Stelle x = 0 und damit u ¨ berall stetig ist. Aufgabe 6.3 f (x + h) − f (x) 1 ) x2 − (x + h)2 1 2x + h 1( 2 f (x + h) − f (x) − =− 2 = =− 3 ⇒ lim = h→0 h (x + h)2 x2 h x2 (x + h)2 h h x (x + h)2 x √ √ √ √ √ √ ( x + h − x)( x + h + x) x+h− x f (x + h) − f (x) 1 = √ = b) = √ √ √ h h h( x + h + x) x+h+ x 1 f (x + h) − f (x) ⇒ lim = √ h→0 h 2 x a)

Aufgabe 6.4 a) y′ = b) y′ =

(ex + x1 ) sin x − (ex + ln x) cos x sin2 x ex

1 x (ex/2 + e−x/2 )(ex/2 − e−x/2 ) ex/2 + e−x/2 = coth · (ex − e−x ) = = x/2 −x x/2 −x/2 2 e − e−x/2 +e −2 2 (e −e )

1 1 x √ · c) y′ = √ · 2x = 4 2 4 2 arctan(x ) 1 + x (1 + x ) arctan(x2 ) ) 1( 1 cos x ) 1 ( cos x d) y = = + ln(1 + sin x) − ln(1 − sin x) ⇒ y′ = cos x 1 − sin x 2 1 + sin x 2

1...