Logika - Lecture notes 1-10 PDF

Preview

Summary

LOGIKA Czym jest logika? | ​ Język a świat | ​ Sylogistyka i Klasyczny Rachunek Zdań | Definicje​| ​ KRZ - ujęcie syntaktyczne Zaliczenie - egzamin (1/3 - teoria, 2/3 - zadania). Obecność nie jest obowiązkowa. Czym jest logika? ➤ Nauka formalna, która przedstawia pewne elementarne zależności, występ...

Description

LOGIKA Czym jest logika? |  Język a świat |  Sylogistyka i Klasyczny Rachunek Zdań | Definicje|  KRZ - ujęcie syntaktyczne

Zaliczenie - egzamin (1/3 - teoria, 2/3 - zadania). Obecność nie jest obowiązkowa.

Czym jest logika? ➤ Nauka formalna, która przedstawia pewne elementarne zależności, występujące w każdej dziedzinie wiedzy i ludzkiej działalności. Od gr. "logos" - słowo, rozum, racja. Pierwszy logik - Arystoteles (IV w. p.n.e.). System Arystotelesa - sylogistyka. Pod koniec XIX w. stworzono nowoczesny system logiki matematycznej. Duży wkład w rozwój współczesnej logiki mieli Polacy. Systemy logiki dedukcyjnej są bardziej rozwinięte, niż logiki indukcyjnej. ➤ Logika to nauka o wnioskowaniach ➢ Co to jest wnioskowanie? ➢ Z czego składa się wnioskowanie? ➢ Jakimi aspektami wnioskowań zajmuje się logika? ➢ Jakie rodzaje wnioskowań można wyróżnić? ➤ Z czego składa się wnioskowanie ?  ➢ Wnioskowanie to ciąg, który składa się z: ● przesłanek, ● wniosku, ● ewentualnie z wniosków pośrednich. ➢ Przesłanki - punkt wyjścia, wniosek - punkt dojścia. ➤ Czym są przesłanki i wnioski ? ➢ Przesłanki i wnioski to zdania . ➢ Jakiego typu są to zdania? ➢ Są to zdania oznajmujące, czyli takie, którym można przypisać prawdę bądź fałsz . ➤ Jakimi aspektami wnioskowań zajmuje się logika? ➢ Logika zajmuje się poprawnością wnioskowań . ➢ Wnioskowania nie są ani prawdziwe, ani fałszywe, są natomiast poprawne lub niepoprawne. ➢ Wyróżniamy poprawność formalną i materialną. ➤ Kiedy wnioskowanie jest poprawne formalnie ?  ➢ Wnioskowanie jest poprawne pod względem formalnym, jeśli jest podstawieniem poprawnego schematu wnioskowania.

➢ Wnioskowanie jest poprawne pod względem formalnym, jeśli wniosek wynika logicznie z przesłanek. ➤ Kiedy wnioskowanie jest poprawne materialnie ?  Wnioskowanie jest poprawne materialnie, gdy: ➢ a. jest poprawne formalnie, ➢ b. wszystkie przesłanki są prawdziwe. ➤ Przykład wnioskowania poprawnego formalnie, ale niepoprawnego materialnie ➢ Przesłanki: ● 1. Jeśli słodycze zawierają bardzo małą ilość kalorii, to ich jedzenie nie powoduje nadwagi. ● 2. Jeśli jedzenie czegoś nie powoduje nadwagi, to jedzenie tego czegoś jest zdrowe. ● 3. Słodycze zawierają bardzo małą ilość kalorii. ➢ Wniosek: jedzenie słodyczy jest zdrowe. ➢ Przesłanki 2. i 3. są fałszywe, dlatego jest to rozumowanie materialnie niepoprawne. ➤ Jakie rodzaje wnioskowań można wyróżnić? ➢ Generalnie wnioskowania dzielimy na niezawodne i zawodne. ➢ Wnioskowanie jest niezawodne wtw, gdy jeśli przesłanki są prawdziwe, to wniosek musi być prawdziwy. ➢ W każdym innym przypadku wnioskowanie jest zawodne . ➤ Rodzaje wnioskowań ➢ Wnioskowania dedukcyjne są niezawodne. ➢ Oprócz wnioskowań dedukcyjnych istnieją także m.in.: ● wnioskowania redukcyjne , ● wnioskowania indukcyjne . ➢ Zarówno wnioskowania redukcyjne, jak i indukcyjne, są zawodne. ➤ Przykład wnioskowania redukcyjnego ➢ Przesłanki ● 1. Jeśli pada deszcz, to ulice są mokre. ● 2. Ulice są mokre. ➢ Wniosek: pada deszcz. ➤ Przykład rozumowania indukcyjnego ➢ Przesłanki ● 1. X jest studentem i ma poniżej 40 lat. ● 2. Y jest studentem i ma poniżej 40 lat. ● 3. Z jest studentem i ma poniżej 40 lat. ➢ Wniosek: każdy student ma poniżej 40 lat. Jeśli wyliczone są wszystkie przypadki - indukcja enumeracyjna zupełna (rodzaj dedukcji). ➤ Logika a język

➢ Jakie istnieją rodzaje zdań? ➢ Z czego składają się zdania? ➢ Jakie relacje istnieją pomiędzy wyrażeniami językowymi a rzeczywistością? ➤ Rodzaje zdań w sensie logicznym ➢ Zdania proste i złożone. ➢ Przykład zdania prostego: "Piotrek jest zakochany.". ➢ Przykład zdania złożonego: "Piotrek jest zakochany inie ma czasu na naukę.". ➢ "Nieprawda, że pada deszcz" - zdanie złożone z jednego zdania prostego ("pada deszcz"). ➢ "Ala ma kota i psa." - zdanie złożone ("Ala ma kota i Ala ma psa."). ➤ Z czego składają się zdania? ➢ Zdania złożone składają się z innych zdań. ➢ Zdania proste składają się wedle logiki z nazwy i predykatu - takie zdania nazywamy zdaniami elementarnymi. ➢ "Piotrek" (nazwa ) "jest zakochany" (predykat ). ➢ “Piotrek” (nazwa) “lubi” (predykat dwuargumentowy) “Anię” (nazwa). ➤ Język: kwestie syntaktyczne ➢ Zdania proste i złożone. ➢ Zdania złożone składają się ze zdań prostych połączonych spójnikami. ➢ Spójniki logiczne ● negacja (nieprawda, że ); ● koniunkcja (i); ● alternatywa (lub); ● implikacja (jeśli..., to); ● równoważność (wtedy i tylko wtedy, gdy). ➤ Kwantyfikatory ➢ Kwantyfikator ogólny (każdy ) ● "Każdy pies jest ssakiem." ● "Wszyscy ludzie mają płeć". ➢ Kwantyfikator szczegółowy (pewien ) ● "Pewna dziewczyna zapomniała parasola." ● "Niektórzy studenci mieszkają w akademikach." ➤ Kategorie syntaktyczne ➢ Zdania . ➢ Nazwy . ➢ Funktory zdaniotwórcze od argumentów nazwowych - predykaty. ➢ Funktory zdaniotwórcze od argumentów zdaniowych - spójniki. ➢ Funktory nazwotwórcze od argumentów nazwowych (np. "mama Kasi" funktor: "mama", "kolega Marka" - funktor: "kolega", "obecny prezydent USA" funktor: "obecny prezydent").

Język a świat ➤ Rodzaje znaków ➢ Ze względu na charakter związku pomiędzy znakiem a jego przedmiotem można wyróżnić dwa rodzaje znaków ● znaki naturalne (znak jest skutkiem tego, co oznaczane) np. dym (oznacza ogień), ślady zwierząt; ● znaki konwencjonalne (np. znaki językowe). ➤ Znaki językowe ➢ Nośnik znaku. ➢ Przedmiot znaku. ➢ Znaczenie znaku. ➤ Przedmiot znaku ≠ znaczenie znaku. Nie wszystkie znaki mają przedmiot. ➤ Nazwy "Gwiazda poranna", "Gwiazda wieczorna" mają różne znaczenie, ale oznaczają to samo ciało niebieskie - planetę Wenus. ➤ Nazwy ➢ Desygnat nazwy - przedmiot oznaczany przez nazwę. ➢ Nazwy ze względu na liczbę desygnatów dzielą się na: ● puste (nie posiadają desygnatów), ● jednostkowe, ● ogólne. ➤ Zakres (denotacja ) nazwy ➢ Zakresem (denotacją) nazwy jest zbiór jej desygnatów. Na przykład zakresem nazwy "telewizor" jest zbiór telewizorów. ➢ Nie każda nazwa ma desygnaty, ale każda ma denotację. Denotacją nazwy pustej jest zbiór pusty. ➤ Relacje pomiędzy zakresami ➢ Zawieranie ("stół", "mebel"). Relacja zawierania ≠ relacja część-całość. ➢ Krzyżowanie ("student", "mieszkaniec Krakowa"). ➢ Wykluczanie ("pies", "kot"). ➢ Tożsamość ("kawaler", "nieżonaty mężczyzna"). ➤ Kwadrat logiczny

➢ ➢ ➢ ➢

SaP - każde S jest P, zawieranie. SeP - żadne S nie jest P, wykluczanie. SiP - niektóre S-y są P. SoP - niektóre S-y nie są P.

Sylogistyka i Klasyczny Rachunek Zdań ➤ Sylogizmy ➢ Prawa konwersji ● SiP ≡ PiS ● SeP ≡ PeS ➢ Wnioskowania czyli sylogizmy ● Przesłanki: SaP, PaM. Wniosek: SaM. ● Przesłanki: SaM, MeP. Wniosek: SeP ● Przesłanki: SiP, PaM. Wniosek: SiM.

Klasyczny Rachunek Zdań ➤ Rola KRZ ➢ Najbardziej elementarnym rachunkiem logicznym jest rachunek zdań. ➢ Nie da się w nim ująć wszystkich poprawnych rozumowań, bowiem język tego rachunku nie ujmuje struktury logicznej zdań prostych. ➢ Zapis formalny umożliwia łatwe, wręcz mechaniczne, wykazanie tego, że dane wnioskowanie jest poprawne. ➤ Język KRZ ➢ W języku KRZ wyróżniamy następujące typy wyrażeń ● spójniki logiczne - stałe logiczne, ● zmienne zdaniowe - zmienne, ● nawiasy - wyrażenia pomocnicze. ➤ Spójniki logiczne

➢ Znaczenie spójników logicznych jest określone przez tabelki prawdziwościowe. Jest ono określone poprzez to, jak prawda bądź fałsz (czyli tzw. wartość logiczna) zdania złożonego zależy od wartości logicznych zdań składowych. ➢ Negacja ("nieprawda, że") ~ ➢ Koniunkcja ("i", "oraz") ∧ ➢ Alternatywa ("albo", "lub") ∨ ➢ Implikacja ("jeśli ..., to") → ➢ Równoważność ("wtedy i tylko wtedy, gdy") ≡. Negacja p

~p

1

0

0

1

Koniunkcja, alternatywa, implikacja, równoważność p

q

p∧q

p∨q

p→q

p≡q

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0

1

1

➤ Zmienne zdaniowe ➢ W miejsce zmiennych zdaniowych możemy wstawić dowolne zdanie w sensie logicznym. ➢ Zmienne zapisujemy za pomocą liter: p, q, r, s, itd. ➢ Zmienne zdaniowe nie posiadają wartości logicznej. ➢ Wartość logiczną przypisujemy podstawieniom zmiennych zdaniowych. ➤ Poprawnie zbudowana formuła KRZ Poprawnie zbudowaną formułę w języku KRZ możemy zdefiniować w następujący sposób ➢ Pojedyncze zmienne zdaniowe są poprawnie zbudowanymi formułami. ➢ Jeśli "p" i "q" są poprawnie zbudowanymi formułami, to ● "nieprawda, że p " jest pzf. ● "pi q" jest pzf ● "plub q" jest pzf. ● "jeśli p to q" jest pzf ● "pwtw, gdy q" jest pzf. ➤ Tautologia logiczna ➢ Jest to formuła logiczna, której jedynymi stałymi są stałe logiczne (to znaczy, żadne inne wyrażenia nie mają stałego znaczenia) i która jest prawdziwa przy każdym podstawieniu zmiennych.

➢ Przykłady tautologii ● ~(p∧~p) - zasada niesprzeczności p

~p

p∧~p

~(p∧~p)

1

0

0

1

0

1

0

1

● p∨ ~p - zasada wyłączonego środka p

~p

p∨~p

1

0

1

0

1

1

➤ Tautologia, wynikanie logiczne, wnioskowanie ➢ Niezawodne wnioskowanie jest poprawne wtw, gdy wniosek wynika logicznie z przesłanek. ➢ Wniosek wynika logicznie z przesłanek wtw, gdy implikacja, której poprzednikiem jest koniunkcja przesłanek a następnikiem jest wniosek, jest podstawieniem formuły będącej tautologią logiczną. (A∧B∧C) - koniunkcja przesłanek A∧B∧C → D - tautologia. ➤ Siła wiązania spójników ➢ Uporządkowanie spójników od najmocniej do najsłabiej wiążących: ● negacja, ● koniunkcja, ● alternatywa, ● implikacja, ● równoważność. ➢ Przykłady ● p∧q → rczytamy: (p∧q) → r ● r → p∨qczytamy: r → (p∨q) ● p∧q ∨ r∧sczytamy: (p∧q) ∨ (r∧s) ● r → p∧qczytamy: r → (p∧q) ● ~(r → ~p)- negacja neguje implikację, a nie r ● (p∧(p → q)) → s- nawias wewnętrzny jest konieczny ● (~p∨~q) → ~(p∧q)- drugi nawias jest konieczny ➤ Główny spójnik ➢ Spójnik w danym wyrażeniu α jest główny wtedy i tylko wtedy, gdy wyrażenia połączone tym spójnikiem stanowią (całe) wyrażenie α. ➤ Metoda skrócona nie wprost ➢ Zakładamy, że badane wyrażenie jest fałszywe. Jeśli to założenie prowadzi do sprzeczności, to badane wyrażenie musi być prawdziwe. ➢ Metoda ta opiera się na zasadzie redukcji do absurdu: (p→q∧~q)→~p.

➢ To znaczy, jeśli pewne założenie prowadzi do sprzeczności, to musimy przyjąć jego negację. Zatem jeśli założenie o fałszywości jakiejś formuły prowadzi do sprzeczności, to musimy przyjąć negację tego założenia: “Nieprawda, że ta formuła jest fałszywa”. Ta negacja sprowadza się zaś do stwierdzenia “Ta formuła jest prawdziwa”. ➢ Jak przebiega procedura ● Poszukujemy głównego spójnika. Pod nim zapisujemy “0”. ● Następnie zapisujemy jedynki i zera w taki sposób, by było to zgodne z założeniem o fałszywości całej formuły. ● Jeśli nasza procedura nie prowadzi do sprzeczności, to znaczy, że możemy w taki sposób przypisać prawdę i fałsz zdaniom składowym, by całość była fałszywa. ● Natomiast jeśli ta procedura zawsze prowadzi do sprzeczności, to rozpatrywana formuła jest tautologią. Nie da się przypisać w ten sposób wartości logicznych zdaniom elementarnym, by cała formuła była fałszywa. ● Sprzeczność polega na tym, że temu samemu wyrażeniu przypisujemy zarówno 0 jak i 1. ➢ Przykłady ● 1)

(p 1

→ 1

∧ 1

(q 1

~ 1

q)) 0

→ 0

~ 0

p 1

● 2)

(~ 1

∧ 1

p 0

~ 1

q) 0

→ 0

~ 0

∨ 1

(p 0

q) 0

● 3)

(p 0

→ 1

q) 1

→ 0

(~ 1

p 0

→ 0

~ 0

q) 1

brak sprzeczności - to nie jest tautologia

Definicje ➤ Definicje nominalne i realne ➢ Definicja nominalna podaje znaczenie (def. treściowa) lub zakres (def. zakresowa) definiowanego wyrażenia. Np. Słowo “kwadrat” znaczy to samo co wyrażenie “prostokąt równoboczny”. ➢ Definicja realna jednoznacznie charakteryzuje definiowany przedmiot. Np. Kwadrat to prostokąt równoboczny. ➤ Definicje nominalne ➢ Definicja nominalna wyrażenia W na gruncie słownika S jest to wypowiedź pozwalająca każde zdanie złożone z wyrażeń słownika S+W przetłumaczyć na jakieś zdanie zbudowane wyłącznie z wyrażeń słownika S.

➢ To znaczy, dzięki definicji nominalnej jesteśmy w stanie poznać znaczenie lub zakres jakiegoś wyrażenia, którego zakres lub znaczenie nie było nam wcześniej znane. ➤ Definicje nominalne: stylizacje ➢ Definicje nominalne mogą być sformułowane w stylizacji semantycznej lub przedmiotowej. ➢ Stylizacja semantyczna : S łowo “centymetr” oznacza to samo co wyrażenie “jedna setna metra”. ➢ Stylizacja przedmiotowa : Centymetr to jedna setna metra. ➤ Definicje nominalne dzielą się na wyraźne i kontekstowe ➢ Definicje wyraźne podają równoważnik definiowanego wyrażenia. Np. Dziadek to ojciec matki lub ojciec ojca. ➢ Definicje kontekstowe podają równoważnik pewnego wyrażenia, którego składnikiem jest definiowane wyrażenie. Np. A okłamuje B wtedy i tylko wtedy, gdy A przekazuje B informację, co do której jest przekonany, że jest fałszywa. ➤ Definicje nominalne: składniki ➢ Definiendum to człon definiowany. ➢ Definiens to wyrażenie podające znaczenie lub zakres definiendum ➢ Spójnik definicyjny to wyrażenie łączące definiendum z definiensem. Gdy definiendum i definiens są nazwami, to jest to znak identyczności; gdy są one zdaniami to jest to znak równoważności. ➢ Kwadrat (definiendum) to(spójnik definicyjny) prostokąt równoboczny(definiens) ➢ A okłamuje B (definiendum) wtedy i tylko wtedy, gdy (spójnik definicyjny) A przekazuje B informacje, co do której jest przekonany, że jest fałszywa(definiens) ➤ Definicje nominalne: kontekstowe przez abstrakcję ➢ Specjalnym rodzajem definicji kontekstowych są definicje przez abstrakcję. Definicje te wyjaśniają znaczenie nazw rodzajów cech poprzez odwołanie do pewnych specyficznych relacji. ➢ Możemy w ten sposób np. zdefiniować ciężar: Ciężar ciała A jest taki sam jak ciężar ciała B wtw. gdy ciało A równoważy się na rzetelnej wadze z ciałem B. ➢ Relacje, do których odwołujemy się w tego typu definicjach, to tzw. relacje równościowe , czyli zwrotne, symetryczne i przechodnie ● Załóżmy, że “R” oznacza relację. ● Zwrotność : dla każdego przedmiotu a, aRa. ● Symetryczność : dla wszystkich przedmiotów a i b, jeśli aRb, to bRa. ● Przechodniość : dla wszystkich przedmiotów a, b i c, jeśli aRb i bRc, to aRc. ➤ Definicje nominalne: projektujące, regulujące, sprawozdawcze ➢ Definicja projektująca nadaje znaczenie nowemu wyrażeniu lub przypisuje nowe znaczenie wyrażeniu funkcjonującemu już w języku. ➢ Definicja regulująca doprecyzowuje i uściśla znaczenie wyrażenia, które posiada nieostre znaczenie.

➢ Definicja sprawozdawcza podaje znaczenie wyrażenia, które funkcjonuje w języku. ➢ Przykłady ● Gdy po raz pierwszy użyto nazwy “mikron”, następująca wypowiedż pełniła funkcję definicji projektującej: Mikron to jedna tysięczna milimetra. ● Gdy do prawa wprowadzono pojęcie osoby pełnoletniej, następująca wypowiedź pełniła funkcję definicji regulującej: Osoba pełnoletnia to osoba, która ukończyła 18 lat. ● Definicja sprawozdawcza: X jest bratem, gdy X jest rodzeństwem płci męskiej. ➤ Błędy w definiowaniu ➢ Ignotum per ignotum (nieznane przez nieznane). Np. kwantyfikator to predykat drugiego rzędu. ➢ Błędne koło. Np. prezydent to głowa państwa nie będącego monarchią. Głowa państwa to albo prezydent albo monarcha. ➢ Nieadekwatność definicji ● Zbyt szeroka: kwadrat to każda figura, która ma cztery równe boki. ● Zbyt wąska: pracownik uczelni to wykładowca akademicki. ● O krzyżujących się zakresach: teoria naukowa to zbiór prawdziwych i uzasadnionych twierdzeń .

KRZ - ujęcie syntaktyczne ➤ Tezy a tautologie ➢ Tautologie to takie schematy, które są zawsze prawdziwe. Pojęcie tautologii jest pojęciem semantycznym , bowiem wyjaśniamy je, odwołując się do pojęcia prawdy , które ma charakter semantyczny. ➢ Tezy systemu to takie formuły, które możemy udowodnić przy pomocy reguł tego systemu. Pojęcie dowodu jest pojęciem syntaktycznym, a zatem i pojęcie tezy jest pojęciem syntaktycznym . ➢ Twierdzenie o pełności dla KRZ: każda tautologia KRZ jest tezą KRZ. ➢ Zachodzi twierdzenie odwrotne: każda teza KRZ jest tautologią KRZ. ➢ Dowolna formuła KRZ jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy jest tezą KRZ. ➤ Dowód ➢ Dowód to dowolny skończony ciąg formuł, którego początkowymi elementami są założenia, kolejnymi są formuły będące wynikiem zastosowania reguł dowodzenia do poprzednich formuł, ostatnim elementem jest wniosek. ➢ To znaczy, by coś udowodnić, musimy się odwołać do założeń oraz reguł wnioskowania. ➤ Dowód założeniowy wprost ➢ Dowody założeniowe dzielimy na dowody wprost i nie wprost.

➢ Gdy mamy do czynienia z wyrażeniem o następującej formie: i chcemy to wyrażenie udowodnić Φ1→(Φ →…(Φ →Φn))…)) 2→(Φ 3 n-2→( Φ n-1  wprost, to jako założenia wypisujemy wyrażenia od Φ1do Φ n-1. ➢ Naszym celem jest uzyskanie wyrażenia Φn z wyrażenia Φ n-1 poprzez 1…Φ zastosowanie do tych wyrażeń pierwotnych lub wtórnych reguł wnioskowania. ➤ Dowód założeniowy nie wprost ➢ Gdy mamy do czynienia z wyrażeniem o następującej formie: i chcemy to wyrażenie udowodnić nie Φ1→(Φ →…(Φ →Φn))…)) 2→(Φ 3 n-2→( Φ n-1  wprost, to jako założenie wypisujemy wyrażenie od Φ1do Φ . n-1 oraz ~Φ n ➢ Naszym celem jest uzyskanie wyrażeń α oraz ~α z wyrażenia Φ …Φ 1 n n-1 oraz ~Φ poprzez zastosowanie do tych wyrażeń pierwotnych lub wtórnych reguł wnioskowania. ➤ Reguły pierwotne ➢ Reguła odrywania (R.O.) α→β α ____ β ➢ Reguła dołączania koniunkcji (R.D.K.) α β ____ α ∧ β ➢ Reguła opuszczania koniunkcji (R.O.K.) 1) α∧β ____ α 2)

α ∧ β ____

β ➢ Reguła dołączania alternatywy (R.D.A.) α ____ α ∨ β ➢ Reguła opuszczania alternatywy (R.O.A.) 1) α∨β ~β ____

α 2) α∨β ~α ____ β ➢ Reguła dołączania równoważności (R.D.R.) α→β β→α ____ α≡β ➢ Reguła opuszczania równoważności (R.O.R.) 1) α≡β ____ α→β 2) α≡β ____ β→α ➤ Przykład ➢ (p→q)→(p∧ r→q∧ r) 1) p→q z. 2) p∧ r z. 3) p R.O.K. 2 4) r R.O.K. 2 5) q R.O. 1, 3 6) q∧ r R.D.K. 4, 5 ➤ Reguły wtórne ➢ Reguła opuszczania podwójnej negacji ~~α ____ α Dowód: ~~p → p 1) ~~p z. 2) ~p z.d.n. ➢ Reguła tollens α→β ~β

____ ~α Dowód: [(p→q) ∧ ~q] → ~p 1) 2) 3) 4) 5) 6)

(p→q)∧~qz. ~~p z.d.n. p→q R.O.K. 1 ~q R.O.K. 1 p R.O.N. 2 q R.O. 3, 5...