LOGIKA MATEMATIKA PDF

Preview

Summary

KUANT OR KUANTOR SMTS 1101 / 3SKS LOGIKA MATEMATIKA Disusun Oleh : Dra. Noeryanti, M.Si ___ ____ ____________ _________________ ____ ______ 31 MODUL LOGI KA MATEMATI KA KUAN TOR DAFTAR ISI Cover pokok bahasan .............................................................. 31 Daftar isi . ...............

Description

KUANT OR

KUANTOR SMTS 1101 / 3SKS

LOGIKA MATEMATIKA

Disusun Oleh :

Dra. Noeryanti, M.Si ___ ____ ____________ _________________ ____ ______ 31 MODUL LOGI KA MATEMATI KA

KUAN TOR

DAFTAR ISI

Cover pokok bahasan

..............................................................

31

Daftar isi . ...................................................................................

32

Judul Pokok Bahasan .................................................................

33

2.1.

Pengantar

......................................................................

33

2.2.

Kompetensi

.....................................................................

33

2.3

Uraian Materi

.................................................................

33

2.3.1 Semesta Pembicaraan 2.3.2 Variabel dan Konstanta

............................................

33

............................................

34

2.3.3. Pernyataan Terbuka ...................................................

36

2.3.4 Kuantor Universal dan Ekstensial................................

37

2.3.5 Negasi suatu pernyataan .........................................

40

2.3.6 Fungsi Pernyataan

..................................................

41

............................................................................

44

Rangkuman

Soal-soal Latihan

.................................................................

46

___ ________ ____ _________ ____ ____ ____________ __ 32 MODUL LOGI KA MATEMATI KA

Dra. Noeryanti, M.Si

KUANTOR

2.1

Pengantar Dalam modul ini akan mempelajari konsep dasar tentang semesta pembicaraan, kalimat terbuka, kuantor universal dan kuantor eksistensial, sebagai konsep penalaran dalam logika matematika.

2.2

Kompetensi Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan: a. Terampil dalam menggunakan konsep dasar semesta pembicaraan, kalimat terbuka, penggunaan kuantor. b. Terampil dalam membedakan kuantor universal dan kuantor eksistensial. c. Terampil dalam mengerjakan contoh soal kuis / latihan

2.3

Uraian Materi

Pentingnya persiapan sebelum mempelajari pokok bahasan ini merupakan langkah awal keberhasilan kompetensi yang diharapkan. Kuantor yang akan dibahas disini hanya salah satu cara dalam merubah suatu pernyataan terbuka (yang belum punya

nilai

kebenaran)

menjadi

suatu

pernyataan

yang

mempunyai

nilai

kebenaranya. Dalam logika matematika, ada beberapa hal yang perlu kita ketahui sebelum membahas kuantor, misalnya perlunya pergertian semesta pembicaraan, variabel, konstanta dan pernyataan/kalimat terbuka.

2.3.1.

Semesta Pembicaraan Semesta pembicara itu menguraikan sifat-sifat dari, dan hubungan antara

obyek-obyek. Obyek-obyek ini dapat berupa apa saja, seperti orang-orang, bendabenda, binatang, bilangan dan lain sebagainya. Keseluruhan obyek-obyek yang dibicarakan disebut “semesta pembicara” disingkat semesta saja.

___ ____ ____________ _________ ____ ____________ __ 33 MODUL LOGI KA MATEMATI KA

KUAN TOR

Pada setiap pembicaraan matematika, orang selalu mulai dengan menetapkan lebih dahulu semesta pembicara nya. Sebab benar atau salahnya suatu ucapan tergantung pada semesta pembicara nya.

Contoh(2.1): Suatu pernyataan x2 + 1 = 0 mempunyai penyelesaian” tidak mempunyai nilai benar atau salah sebelum terlebih dahulu ditentukan semesta pembicara nya. Jika semesta pembicaranya himpunan bilangan-bilangan riil (nyata), maka pernyataan di atas bernilai salah. Tetapi jika semesta pembicaranya himpunan bilangan-bilangan kompleks, maka pernyataan bernilai benar.

2.3.2.

Variabel dan Konstanta

Definisi (2.1): Variabel adalah simbol yang menunjukan suatu anggota yang belum spesifik dalam semesta pembicaraan. Sedangkan konstanta adalah simbol yang menunjukan suatu anggota tertentu (yang sudah spesifik) dalam semesta pembicaraan Untuk dapat berbicara tentang anggota tertentu dari semestanya, diperlukan suatu simbol atau tanda yaitu suatu nama dari anggota tersebut.

Contoh(2.1): Misalnya ada pernyataan “Niken”, “Ais”, “Aji” adalah nama orang, dimana semestanya adalah himpunan orang-orang. Jika semestanya himpunan bilangan-bilangan, maka angka 5, angka 211 adalah suatu simbol untuk bilangan-bilangan yang disajikan.

Simbol seperti itu disebut Konstanta. Jadi konstanta adalah suatu simbol atau tanda yang diucapkan atau ditulis untuk menunjukkan tentang anggota tertentu dari semestanya.

___ ________ ____ _________ ____ ____ ____________ __ 34 MODUL LOGI KA MATEMATI KA

Dra. Noeryanti, M.Si

Jika hendak berbicara tentang anggota sembarang dari semestanya, maka diperlukan suatu tanda-tanda lain dari konstanta. Tanda demikian yang dimaksud adalah variabel (atau perubah). Jadi variabel adalah suatu simbol atau tanda yang digunakan untuk menunjuk pada anggota sembarang dari semesta pembicaranya.

Contoh (2.2): Misalnya semesta pembicaranya terdiri atas mereka yang kuliah pada sebuah universitas (perguruan tinggi) maka kata “mahasiswa” menunjuk pada anggota sembarang dari semesta pembicaranya.

Contoh (2.3): Pehatikan beberapa pernyataan berikut: (a). Manusia makan nasi (b). Manusia memakai sepatu (c). 4 + x = 7 (d). p < 5 Suatu pernyataan mempunyai nilai benar atau salah tergantung pada kesesuaian kalimat tersebut dengan keadaan sesungguhnya. Bernilai benar jika keadaan sesungguhnya sesuai dengan realita yang ada, jika sebaliknya bernilai salah. Pernyataan seperti ini biasanya disebut pernyataan faktual. Jika pernyataan (a) manusia diganti Tony, maka pernyataannya menjadi “Toni makan nasi”. Pernyataan ini jelas bernilai benar saja atau salah saja, tergantung realitasnya. Demikian juga untuk pernyataan (b) akan menjadi pernyataan “Tony memakai sepatu” pernyataan ini akan menjadi jelas nilainya, yaitu benar atau salah tergantung realitasnya. Pada pernyataan (c) jika x diganti 3, akan bernilai benar. tetapi jika x diganti 4 akan bernilai salah. Demikian juga untuk pernyataan (d) jika p diganti “0 atau 1, atau 2, atau 3, atau 4” akan bernilai benar untuk semesta pembicaraan himpunan bilangan cacah, tetapi jika semestanya himpunan bilangan asli, maka pernyataan akan bernilai salah.

___ ____ ____________ _________ ____ ____________ __ 35 MODUL LOGI KA MATEMATI KA

KUAN TOR

Kata-kata “manusia”, “x” , “p” pada pernyataan diatas disebut variabel. Sedangkan pengganti katanya yaitu “Tony”, “3”, “4”, dan “0,1,2,3,4”

disebut

konstanta. Jika semesta pembicaranya bilangan-bilangan maka variabel yang dimaksudkan adalah variabel numerik. Dalam hal ini, variabel adalah tanda-tanda, yang biasanya dipilih huruf kecil dari abjad “x”, “y” dan seterusnya.

2.3.3.

Pernyataan Terbuka. Pernyataan-pernyataan dalam contoh (2.3) di atas disebut kalimat

(pernyataan) terbuka. Jika variabel dalam kalimat terbuka sudah diganti dengan konstanta yang sesuai, maka pernyataan yang terjadi dikatakan sebagai pernyataan tertutup.

Definisi (2.2): Pernyataan terbuka adalah suatu pernyataan yang memuat variabel, dan jika variabel tersebut diganti konstanta yang sesuai dengan semestanya maka pernyataanya akan bernilai benar saja atau salah saja.

Jadi pernyataan terbuka merupakan pernyataan yang belum mempunyai nilai kebenaran, belum bernilai benar atau salah. Kita misalkan pernyataan terbuka ini dengan simbol/notasi “p(x)”. Huruf “p”, “q” , ….dan seterusnya disini hanyalah sebuah simbol/notasi dalam pengkajian suatu sifat, hanya untuk mempermudah dalam pembicaraan selanjutnya. Misalnya: “p (x)” ini merupakan kalimat terbuka, dan diucapkan sebagai “obyek x mempunyai sifat p”. Variabel yang terdapat dalam rangkaian tanda “p(x)” disebut variabel bebas. Disini “p(x)” , tidak bernilai benar atau salah. Pernyataan ini disebut pernyataan terbuka.

Agar pernyataan terbuka “p(x)” ini mempunyai nilai salah atau benar (yaitu menjadi pernyataan deklaratif), maka jika perlu semua variabel bebas di dalamnya diganti dengan suatu konstanta. Ada cara yang lazim digunakan untuk merubah

___ ________ ____ _________ ____ ____ ____________ __ 36 MODUL LOGI KA MATEMATI KA

Dra. Noeryanti, M.Si

pernyataan terbuka ini menjadi pernyataan deklaratif, yaitu dengan membubuhkan suatu kuantor. Yang dimaksud kuantor disini adalah kuantor universal atau kuantor eksistensial di depan pernyataan “p(x)”.

2.3.4.

Kuantor Universal Dan Kuantor Eksistensial.

a. Fungsi Pernyataan Suatu fungsi pernyataan adalah suatu pernyataan terbuka di dalam semesta pembicaraannya.

Fungsi pernyataan merupakan suatu kalimat terbuka

yang dinyatakan sebagai “p(x)” yang bersifat bahwa p(a) bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya untuk setiap a ∈ semesta pembicaraannya. Ingat disini p(a) suatu pernyataan.

Contoh (2.4): Misalnya: fungsi pernyataan “p(x) = 1+ x > 5 ” Disini p(x) akan merupakan fungsi pernyatan pada A = himpunan bilangan asli. Tetapi p(x) bukan merupakan fungsi pernyataan pada K = himpunan bilangan kompleks.

Contoh (2.5):

a) Jika p(x) = 1 + x > 5 didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, maka p(x) bernilai benar untuk x = 5,6,7, ... b) Jika q(x) = x + 3 < 1 didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, tidak ada x yang menyebabkan q(x) bernilai benar. c) Jika r(x) = x + 3 > 1 didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, maka

r(x) bernilai benar untuk x = 1,2,3, ...

Dari contoh di atas terlihat bahwa fungsi pernyataan p(x) yang didefinisikan pada suatu himpunan tertentu akan bernilai benar untuk semua anggota semesta

___ ____ ____________ _________ ____ ____________ __ 37 MODUL LOGI KA MATEMATI KA

KUAN TOR

pembicaraan, beberapa anggota semesta pembicaraan, atau tidak ada anggota semesta pembicaraan yang memenuhi.

b. Kuantor Umum (Universal) Simbol ∀ yang dibaca “untuk semua” atau “untuk setiap”disebut kuantor umum (universal). Jika p(x) adalah fungsi proposional pada suatu himpunan A (himpunan A adalah semesta pembicaraanya) maka (∀x ∈ A) p(x) atau ∀x, p(x) atau ∀x p(x) adalah suatu pernyataan yang dapat dibaca sebagai “Untuk setiap x elemen dalam himpunan A, p(x) merupakan pernyataan yang benar”. atau “Untuk semua x, berlaku p(x)”. Beberapa macam ucapan-ucapan yang mempunyai arti sama diantaranya:

(∀x ∈ A) p(x) dibaca :

• Untuk setiap x ∈ A berlakulah x mempunyai sifat p • Semua x, berlaku p(x) • Tiap-tiap x, x memenuhi sifat p(x).

Contoh (2.6): Misalnya pernyataan p(x) = x tidak kekal p(manusia) = Manusia tidak kekal maka ∀x p(x) atau ∀x, p(x) atau ∀x x∈{manusia}, p(x) = semua manusia tidak kekal (Benar). Perhatikan: Bahwa p(x) merupakan kalimat terbuka (tidak mempunyai nilai kebenaran). Tetapi ∀x p(x) merupakan pernyataan (mempunyai nilai benar atau salah tetapi tidak kedua-duanya).

Contoh (2.7): ∀x r(x) = ∀x (x+3>1) pada A = {bilangan asli} bernilai benar.

Contoh (2.8): ∀x q(x) = ∀x (x+3 1) pada A = {bilangan asli} maka pernyataan itu bernilai salah.

___ ____ ____________ _________ ____ ____________ __ 39 MODUL LOGI KA MATEMATI KA

KUAN TOR

Contoh(2.12): Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut dengan mengambil semesta pembicaraannya adalah himpunan semua bilangan riil.

(1)

∀x, x = x

(4). ∃x ; x + 2 = x

(2)

∃x, x2 = x

(5). ∃x x = 0

(3)

∀x ; x + 1 > x

Jawab : (1) Bernilai salah, sebab jika x0 = -3, maka |x0| ≠ x0 (2) Bernilai benar, sebab ada x0 = 1, sedemikian sehingga berlaku x02 =x0 (3) Benar, sebab tiap-tiap bilangan riil selalu memenuhi pertidaksamaan x+1 > x (4) Salah, sebab tidak ada pemecahan untuk x + 2 = x (5) Bernilai benar, sebab ada x0 = 0, sehingga |x0| = 0

2.3.5.

Negasi Suatu Pernyataan yang Memuat Kuantor.

Negasi dari “Semua manusia tidak kekal”

adalah “tidak benar bahwa

semua manusia tidak kekal ” atau “Beberapa manusia tidak kekal”

Jika p(x) adalah manusia (=x) tidak kekal, maka “Semua manusia adalah tidak kekal” atau ∀x p( x ) bernilai benar dan “beberapa manusia tidak kekal” atau

∃x p( x ) bernilai salah.

Jadi ingkaran dari kuantor universal (∀x) p(x) dinyatakan dengan simbol logika : [∀x p(x)] ≡ ∃x : p(x) atau (∀x) p(x) ≡ (∀x) p(x)

≡ (∃x) p(x)

Jadi negasi dari suatu pernyataan yang memuat kuantor universal adalah ekivalen dengan pernyataan

yang memuat kuantifikasi eksistensial (fungsi

pernyataan yang dinegasikan)

___ ________ ____ _________ ____ ____ ____________ __ 40 MODUL LOGI KA MATEMATI KA

Dra. Noeryanti, M.Si

Dan sebaliknya

Ingkaran dari kuantor eksistensial (∃x) p(x) dinyatakan dengan (∃x) p(x) dinyatakan

dengan

(∃x) p(x) ≡ ( ∃x) p(x)

simbol

logika

: [ ∃x p(x)] ≡ ∀x : p(x)

atau

≡ (∀x) p(x)

Jadi negasi dari suatu pernyataan yang memuat kuantor eksistensial adalah ekivalen dengan pernyataan yang memuat kuantifikasi universal (fungsi pernyataan yang dinegasikan)

Contoh(2.13):

Tentukan ingkaran-ingkaran dari setiap pernyataan soal contoh (2.12) diatas Penyelesaian: (1) ∀x, x = x ≡ ∃x, x = x ≡ ∃x, x ≠ x (2) ∃x, x 2 = x ≡ ∀x, x 2 = x ≡ ∀x, x 2 ≠ x (3) ∀x, x + 1 > x ≡ ∃x, x + 1 > x ≡ ∃x, x + 1 >/ x ≡ ∃x, x + 1 ≤ x (4) ∃x, x + 2 = x ≡ ∀x, x + 2 = x ≡ ∀x, x + 2 ≠ x (5) ∃x,

2.3.6.

x = 0 ≡ ∀x, x = 0 ≡ ∀x, x ≠ 0

Fungsi Pernyataan yang memuat lebih dari satu variabel

Didefinisikan himpunan A1, A 2 , A 3 , ... ,A n . Suatu fungsi pernyataan yang memuat variabel pada himpunan A1 × A 2 × A 3 × ... × A n merupakan kalimat tebuka p(x1, x2, x3, ... , xn) yang mempunyai sifat p(a 1, a2, a 3, ... , an) ernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk (a1, a2, a3, ... , an) anggota semesta pembicaraan

A1 × A 2 × A 3 × ... × A n .

___ ____ ____________ _________ ____ ____________ __ 41 MODUL LOGI KA MATEMATI KA

KUAN TOR

Contoh (2.14):

Diketahui P = {pria}, W = {wanita}. “x menikah dengan y” ≡ M(x,y) adalah fungsi pernyataan pada P x W.

Contoh (2.15):

Diketahui A = {bilangan asli}. “2x – y + 5z < 10” ≡ K(x,y,z) adalah fungsi pernyataan pada A x A x A.

Suatu fungsi pernyataan yang bagian depannya dibubuhi dengan suatu kuantor untuk setiap variabel seperti berikut ini:

∀x ∃x p(x,y)

atau

∃x ∃y ∀z p(x,y,z)

merupakan suatu pernyataan dan mempunyai nilai kebenaran. Contoh (2.16): Misalnya: P = {Nyoman, Agus, Darman} dan W = {Rita, Farida}, serta p(x,y)

= x adalah kakak y. Maka

∀x ∈ P, ∃y ∈ W, p(x,y) dibaca “Untuk setiap x di P dan y di W sedemikian hingga x adalah kakak y” berarti bahwa setiap anggota P adalah kakak dari Rita atau Farida. Jika pernyataan itu ditulis sebagai ∃y ∈ W ∀x ∈ P p(x,y) dibaca “Ada y di W untuk setiap x di P sedemikian hingga x adalah kakak y” berarti

___ ________ ____ _________ ____ ____ ____________ __ 42 MODUL LOGI KA MATEMATI KA

Dra. Noeryanti, M.Si

bahwa ada (paling sedikit satu) wanita di W mempunyai kakak semua anggota P. Misalnya negasi dari pernyataan yang memuat kuantor dapat ditentukan sebagai berikut ini: ~[∃x {∀y p(x,y)} ] ≡ ∀x ~ [∀y p(x,y)] ≡ ∀x ∃y ~ p(x,y) atau ∃x { ∀y p(x,y)} ≡ ∃x ∀y p(x,y) ≡ ∃x ∀y p(x,y) ≡ ∀x ∃y p(x,y)

Contoh (2.17): Diketahui P = {Nyoman, Agus, Darman} dan W = {Rita, Farida} serta p(x,y) = x adalah kakak y. Tuliskan negasi dari pernyataan: ∀x ∈ P, ∃y ∈ W, p(x,y) Jawab: Negasi dari pernyataan ∀x ∈ P, ∃y ∈ W, p(x,y) adalah: ~[∀x ∈ P {∃y ∈ W, p(x,y)} ] ≡ ∃x ∈ P, ~[∃y ∈ W, p(x,y)] ≡ ∃x ∈ P, ∀y ∈ W, ~p(x,y) atau ∀x ∈ P {∃y ∈ W , p( x, y )} ≡ (∀x ∈ P ) {∃y ∈ W , p( x, y )}

___ ____ ____________ _________ ____ ____________ __ 43 MODUL LOGI KA MATEMATI KA

KUAN TOR

≡ ∃x ∈ P (∃y ∈ W ) p( x, y )

≡ ∃x ∈ P (∀y ∈ W ) p( x, y )

Jika kita baca pernyataan semula adalah: “Setiap anggota P adalah kakak dari paling sedikit satu anggota W” Negasi dari pernyataan itu adalah “Tidak benar bahwa setiap anggota P adalah kakak dari paling sedikit satu anggota W” yang ekivalen dengan “Ada anggota P yang bukan kakak dari semua anggota W”.

Rangkuman 1.

Keseluruhan obyek-obyek yang dibicarakan disebut “semesta pembicara”

2.

Variabel adalah suatu simbol atau tanda yang digunakan untuk menunjuk pada anggota sembarang dari semesta pembicaranya.

3.

Konstanta adalah suatu simbol atau tanda yang diucapkan atau ditulis untuk menunjukkan tentang anggota tertentu dari semestanya.

4.

Pernyataan terbuka adalah suatu pernyataan yang belum mempunyai nilai kebenaran, belum bernilai benar atau salah ditulis p(x).

5.

Kuantor universal yang dinyatakan sebagai (∀x) dan kuantor eksistensial dinyatakan sebagai (∃x).

6.

Pernyataan (∀x) p(x) dibaca : (1). Semua x mempunyai sifat p. (2). Untuk setiap x berlakulah x mempunyai sifat p. (3).Tiap-tiap x, x mempunyai sifat p.

___ ________ ____ _________ ____ ____ ____________ __ 44 MODUL LOGI KA MATEMATI KA

Dra. Noeryanti, M.Si

Pernyataan (∃x) p(x) dibaca : (1). Terdapat x, x mempunyai sifat p. (2). Ada x sedemikian hingga x mempunyai sifat p. (3). Sekurang-kurangnya satu x mempunyai sifat p. (4). Beberapa x, x mempunyai sifat p 7.

Ingkaran dari pernyataan (∀x) p(x) ditulis (∀x) p(x) ≡ (∀x) p(x) ≡ (∃x) p(x)

8.

Ingkaran dari pernyataan(∃x) p(x ditulis (∃x)P(x) ≡ ( ∃x)P(x)

9.

negasi dari pernyataan ∃x ∈ W, ∀y ∈ P, p(x,y) adalah

≡ (∀x) p(x)

~[∃x {∀y p(x,y)} ] ≡ ∀x ~ [∀y p(x,y)] ≡ ∀x ∃y ~ p(x,y) atau ∃x { ∀y p(x,y)} ≡ ∃x ∀y p(x,y) ≡ ∃x ∀y p(x,y) ≡ ∀x ∃y p(x,y) 10. Negasi dari pernyataan ∀x ∈ P, ∃y ∈ W, p(x,y) adalah: ~[∀x ∈ P {∃y ∈ W, p(x,y)} ] ≡ ∃x ∈ P, ~[∃y ∈ W, p(x,y)] ≡ ∃x ∈ P, ∀y ∈ W, ~p(x,y) atau ∀x ∈ P {∃y ∈ W , p( x, y )} ≡ (∀x ∈ P ) {∃y ∈ W , p( x, y )} ≡ ∃x ∈ P (∃y ∈ W ) p( x, y ) ≡ ∃x ∈ P (∀y ∈ W ) p( x, y )

___ ____ ____________ _________ ____ ____________ __ 45 MODUL LOGI KA MATEMATI KA

KUAN TOR

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Manakah yang merupakan kalimat terbuka (a) Jika saya lapar maka saya tidak bisa belajar (b) Mahasiswa Jurusan matematika rajin-rajin (c) Segitiga sama sisi adalah segi tiga yang ketiga sisinya sama panjang. (d). x – 5 < 7 (e). Agus kuliah di UGM (f). Diagonal bujur sangkar saling berpotongan dan tegak lurus 2. Misalkan A = { 1, 2, 3, 4, 5 } merupakan himpunan semesta, tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut, kemudian carilah negasinya (a). (∃x ∈ A), x + 3 = 10

(e). (∃x ∈ A), x + 3 < 5

(b). (∀x ∈ A), x + 3 < 10

(f). (∀x∈ A), x + 3 ≤ 7

(c). ∀x ( 4 + x < 10)

(g). ∃x (4 + x > 8)

(d). ∃x (4 + x = 7 )

(h). ∀x (4 + x ≤...