Logika Matematika Aljbr Boolean PDF

Preview

Summary

Bab VI - Aljabar Boolean Dalam matematika dan ilmu komputer, Aljabar Boolean adalah struktur aljabar yang "mencakup intisari" operasi logika AND, OR, NOR, dan NAND dan juga teori himpunan untuk operasi union, interseksi dan komplemen. Penamaan Aljabar Boolean sendiri berasal dari nama seor...

Description

Bab VI - Aljabar Boolean

Dalam matematika dan ilmu komputer, Aljabar Boolean adalah struktur aljabar yang "mencakup intisari" operasi logika AND, OR, NOR, dan NAND dan juga teori himpunan untuk operasi union, interseksi dan komplemen. Penamaan Aljabar Boolean sendiri berasal dari nama seorang matematikawan asal Inggris, bernama George Boole. Dialah yang pertama kali mendefinisikan istilah itu sebagai bagian dari sistem logika pada pertengahan abad ke-19. Boolean adalah suatu tipe data yang hanya mempunyai dua nilai. Yaitu true atau false (benar atau salah). Pada beberapa bahasa pemograman nilai true bisa digantikan 1 dan nilai false digantikan 0. Beberapa contoh aplikasi aljabar boolean dalam script programming

a)

Bahasa C

Pengecekan tipe data boolean pada C bool my_variable = true; if (my_variable) { printf("True!\1"); } else { printf("False!\0"); }

1

b)

Javascript var myVar = new Boolean(true); if ( myVar ) { alert("boolean"); } else { alert("bukan boolean"); }

c)

PHP

ALJABAR BOOLEAN

Aljabar boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel biner dan operasi-operasi logik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf alfabet, dan tiga operasi dasar dengan AND, OR dan NOT (komplemen). Fungsi boolean terdiri dari variabel-variabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu tanda sama dengan, dan suatu ekspresi aljabar yang dibentuk dengan menggunakan variabel-variabel biner, konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi logik, dan tanda kurung. Suatu fungsi boolean bisa dinyatakan dalam tabel kebenaran. Suatu tabel kebenaran untuk fungsi boolean merupakan daftar semua kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabel-variabel biner dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi biner. Aljabar boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhubungan. Dalam arti luas, aljabar boolean berarti suatu jenis simbol-simbol yang ditemukan oleh George Boole

2

untuk memanipulasi nilai-nilai kebenaran logika secara aljabar. Dalam hal ini aljabar boolean cocok untuk diaplikasikan dalam komputer. Disisi lain, aljabar boolean juga merupakan suatu struktur aljabar yang operasi-operasinya memenuhi aturan tertentu.

Dasar Operasi Logika

Logika

Memberikan batasan yang pasti dari suatu keadaan, sehingga suatu keadaan tidak dapat berada dalam dua ketentuan sekaligus. Dalam logika dikenal aturan sbb :  Suatu keadaan tidak dapat dalam keduanya benar dan salah sekaligus

 Masing-masing adalah benar / salah.

 Suatu keadaan disebut benar bila tidak salah. Dalam ajabar boolean keadaan ini ditunjukkan dengan dua konstanta : LOGIKA ‘1’ dan ‘0’

Operasi-operasi dasar logika dan gerbang logika

Pengertian Gerbang (GATE)  Rangkaian satu atau lebih sinyal masukan tetapi hanya menghasilkan satu sinyal keluaran.

 Rangkaian digital (dua keadaan), karena sinyal masukan atau keluaran hanya berupa tegangan tinggi atau low ( 1 atau 0 ).

 Setiap keluarannya tergantung sepenuhnya pada sinyal yang diberikan pada masukan-masukannya.

Operasi logika NOT ( Invers ) Operasi merubah logika 1 ke 0 dan sebaliknya  x = x’

3

Operasi logika AND  Operasi antara dua variabel (A,B)

 Operasi ini akan menghasilkan logika 1, jika kedua variabel tersebut berlogika 1

Operasi logika OR

Operasi antara 2 variabel (A,B) Operasi ini akan menghasilkan logika 0, jika kedua variabel tersebut berlogika 0. Simbol

Operasi logika NOR

Operasi ini merupakan operasi OR dan NOT, keluarannya merupakan keluaran operasi OR yang di inverter. Simbol

Operasi logika NAND

Operasi logika ini merupakan gabungan operasi AND dan NOT, Keluarannya merupakan keluaran gerbang AND yang di inverter.

Operasi logika EXOR akan menghasilkan keluaran ‘1’ jika jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah ganjil. Operasi logika EXNOR Operasi ini akan menghasilkan keluaran ‘1’ jika jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah genap atau tidak ada sama sekali.

4

Hukum-hukum Aljabar Boolean 1.

Hukum identitas: (i) a+0=a (ii) a  1 = a 3. Hukum komplemen: a + a’ = 1 (i) (ii) aa’ = 0 5. Hukum involusi: (i) (a’)’ = a 7. Hukum komutatif: (i) a+b=b+a (ii) ab = ba 9. Hukum distributif: (i) a + (b c) = (a + b) (a + c) (ii) a (b + c) = a b + a c

5

2. Hukum idempoten: (i) a + a = a (ii) a  a = a 4. Hukum dominansi: a0 =0 (i) (ii) a + 1 = 1 6. Hukum penyerapan: (i) a + ab = a (ii) a(a + b) = a 8. Hukum asosiatif: (i) a + (b + c) = (a + b) + c (ii) a (b c) = (a b) c 10. Hukum De Morgan: (i) (a + b)’ = a’b’ (ii) (ab)’ = a’ + b’

11. Hukum 0/1 (i) 0’ = 1 (ii) 1’ = 0

Contoh. Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain: 1. 2. 3. 4. 5.

f(x) = x f(x, y) = x’y + xy’+ y’ f(x, y) = x’ y’ f(x, y) = (x + y)’ f(x, y, z) = xyz’

Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran. Jawab: x 0 0 0 0 1 1 1 1

y

z

f(x, y, z) = xy z’

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 1 0

Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka f ’(x, y, z)

= (x(y’z’ + yz))’

= x’ + (y’z’ + yz)’

= x’ + (y’z’)’ (yz)’

= x’ + (y + z) (y’ + z’)

6

Contoh. Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x’y ke dalam rangkaian logika. Jawab: (a)

Cara pertama x

xy

y

xy+x'y x'

x

x'y

y

(b)

Cara kedua x y

xy

xy+x'y x' x'y

(c)

Cara ketiga x

y xy xy+x'y x' x'y

7

Penyederhanaan Fungsi Boolean Contoh. f(x, y) = x’y + xy’ + y’

x' x' + y'

ekivalen dengan

x

(xy)'

y

y'

disederhanakan menjadi f(x, y) = x’ + y’ Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara: 1.

Menggunakan pendekatan aljabar

b)

Menggunakan Peta Karnaugh

c)

Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi)

a)

Menggunakan pendekatan aljabar

Aljabar Boolean dapat digunakan untuk menganalisa suatu rangkaian logika dan mengekspresikan operasinya secara matematik. Suatu rangkaian dapat direduksi menjadi bentuk yang lebih sederhana dengan menggunakan teorema Boolean tertentu. Ekspresi Boolean yang lebih sederhana ini dapat menggantikan ekspresi aslinya, karena nilainya yang ekivalen. Contohnya : rangkaian dengan persamaan logika

b)

Menggunakan Peta Karnaugh

Selain menggunakan teorema aljabar Boolean, agar suatu persamaan logika dengan cepat dapat diketahui sudah dalam bentuk minimum atau masih perlu diminimumkan dapat

digunakan

metode

Karnaugh

Map.

Keuntungan

yang

diperoleh

dari

penyederhanaan persamaan logika dengan menggunakan K-map ditinjau dari persamaan akhir yang dihasilkan selalu merupakan persamaan yang tersederhana.

8

c)

Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi)

Untuk menyederhanakan suatu persamaan logika empat variable, K-map memang metode yang paling efektif. Akan tetapi jika persamaan itu lebih dari empat variable metode ini akan mengalami kesulitan. Metode Quine Mc. Cluskey adalah salah satu cara yang memungkinkan untuk menyederhanakan suatu persamaan logika lebih dari empat variable.

9

Latihan Soal Bab VI

10

1.

Sederhanakan persamaan dibawah dengan teorema Aljabar Boolean

2.

Sederhanakan persamaan di bawah ini, lalu buat rangkaiannya...