MAE101 Tutorials MAE101 Tutorials MAE101 Tutorials PDF

Preview

Summary

Lời Nói ĐầuCuốn sách này được soạn thảo để giúp các bạn sinh viên trường đại học FPT – TPồ Chí Minh sẽ và đang học môn Toán (MAE101) sẽ dễ dàng làm được bài tập môn Toán hơn. Mục đích của cuốn sách này giúp các bạn hiểu rõ hơn về bản chất của môn Toán và phương pháp ứng dụng máy tính cầm tay casio v...

Description

Lời Nói Đầu Cuốn sách này được soạn thảo để giúp các bạn sinh viên trường đại học FPT – TP.Hồ Chí Minh sẽ và đang học môn Toán (MAE101) sẽ dễ dàng làm được bài tập môn Toán hơn. Mục đích của cuốn sách này giúp các bạn hiểu rõ hơn về bản chất của môn Toán và phương pháp ứng dụng máy tính cầm tay casio vào bộ môn Toán này.

Cảm ơn thầy Trần Trọng Huỳnh (HuynhTT) (giảng viên bộ môn Toán – trường đại học FPT – HCM) đã tận tâm dạy tôi để tôi có thể viết được nên quyển sách điện tử này. Cảm ơn ba mẹ đã nuôi dạy để tôi để tôi có thể học và nghiên cứu nhiều hơn về các môn học trong phạm vi trường đại học FPT nói riêng và các bộ môn ngoài khác nói chung. Cuốn sách điện tử này được viết dựa trên sách Exercise Book – MAE101 được giảng viên Tr ần Trọng Huỳnh biên soạ n và chỉnh sửa. Cuốn sách này do chính mình viết nên mọi sai sót có thể xảy ra nên mình mong muốn có thêm một vài bạn chung tay hỗ trợ mình hoàn thiện cuốn sách này hơn. Những bài toán mình đã lọc ra thường xuất hiện trong đề thi và quiz nên các bạn yên tâm. Các bạn có thể tải cuốn Exercise Book – MAE101 gốc tại đây. Quyền lưu trữ thuộc về ĐH FPT-HCM. Sau khi đọc và hiểu cuốn sách này, bạn sẽ biết cách sử dụng máy tính cầ m tay CASIO hoặc VINACAL một cách thành thạo và hiểu sâu về bộ môn Toán (MAE101) hơn. Mình không mong các bạn phụ thuộc quá nhiều vào nó, mình khuyến cáo các bạn hãy hiểu bản chất tự luận của bài toán trước khi sử dụng phương pháp giải trên máy tính cầm tay này. Nhưng mình tin chắc bạn sẽ qua môn này rất dễ dàng nếu thông thạ o theo những phương pháp bên dưới. Mình viết trên tinh thần và tâm huyết của mình mong các bạn ủng hộ bằng việc đọc – hiểu – thi tốt là được. Lộ trình mỗi chương sẽ được viết trên từng cuốn sách điện tử khác nhau, bạn đang đọc về Chương 1: Function and Limit (Hàm số và Giới hạn). Cảm ơn các bạn đã đọc đến đây. Liên hệ: Tên: Ngô Nguyên Bằng (IA_14A) E-mail: [email protected] hoặc [email protected] Ngoài ra nếu các bạn muốn ủng hộ mình thì các bạn có thể tham khảo và tải thử phần mềm của mình trên website https://bangmaple.com/ nhé! Cảm ơn rất nhiều! 18/04/2019

2

MAE101 (MATHEMATICS FOR ENGINEERING) TRUYỀN KÌ

CALCULUS Chapter 1: Function and Limit 1. Find the domain of each function: (Tìm miền (tập xác định) của hàm số) a. f ( x) =

x+2

b. f ( x) =

1 x −x 2

c. f (x ) = ln(x + 1) −

x x −1

Phương pháp (1): Đối với bài toán yêu cầu tìm miền của hàm số, ta nhập hàm số vào màn hình máy tính. Sau đó ta thực hiện nhấn nút CALC trên bàn phím máy tính. Để có thể sử dụng CALC cho hiệu quả ta cần phải thuộc “thần chú”: “Hàm chứa mẫu phải sẽ có nghĩa khi x ≠ 0”, “Hàm chứa căn có nghĩa khi x ≥ 0”, “Hàm chứa ln có nghĩa khi x > 0”. Nhìn vào hình dưới, ta thấy hàm này là hàm chứa căn, ta nhanh trí có x + 2 ≥ 0 → x ≥ -2 .Ta có thể kiểm tra bằng cách dùng nút CALC, khi máy tính hỏi ta CALC tại X bằng bao nhiêu, ta CALC tại x = -2 bằng cách nhập số -2 vào màn hình máy tính. Sau đó ta nhấn dấu = để ra kết quả.

Tại x = -2 ta được f(x) = y = 0. Ta nói x = -2 thì hàm số trên xác định, có thể thử với vô hạn số ≥ -2 thì hàm số luôn luôn xác định. Khi ta CALC tại x = 2 thì hàm số được f(x) = y = 2 (như hình bên phải dưới).

Ta sẽ thử CALC tại x = -3 xem nó ra kết quả như thế nào: Tại x = -3. Hàm số f(x) không được xác định và sẽ báo lỗi “Math ERROR” như hình trên. Vậy x  ( −; − 2) sẽ làm hàm số không được xác định. Vậy nên đáp án là: x  [− 2; + ) Phương pháp (2): Ta sử dụng chức năng cái bảng (TABLE). Chức năng TABLE là gì ? Chức năng TABLE rất mạnh mẽ để đối phó các loại bài toán liên quan đến hàm số, thay vì ta phải sử dụng chức năng CALC nhiều lần sẽ tốn n thời gian. Chức năng TABLE được sinh ra để tiết kiệm lạ i số n thời gian đó. Hãy tưởng tượng bạn muốn CALC từng số từ x = 1 đến x = 29 để dò hàm số có xác định hay không hoặc để xem kết quả, bạn phải mất khoảng trung bình 29 giây để thực hiện thao tác đó (mình chưa chắc nếu tâm trạng của bạn có tốt hay không). Chức năng TABLE sẽ khắc phục nhược điểm đó cho bạn, nói

E-mail: [email protected]

3

MAE101 (MATHEMATICS FOR ENGINEERING) TRUYỀN KÌ khái quát thì TABLE sẽ CALC từ x = 1 đến x = 29 trong vòng chưa tới 0,5 – 1,0 (giây) tuỳ vào độ phức tạp của hàm số. Bạn sẽ thu được rất nhiều kết quả khác nhau trong chớp mắt. Nhưng TABLE mặc định sẽ có nhược điểm là chỉ cho phép bạn xem được 20 giá tr ị cột x và f(x) cho nên mình sẽ làm như sau. Tại màn hình chính, các bạn nhấn nút SHIFT sau đó nhấn nút MODE sau đó chọn nút mũi tên xuống ↓ , sau đó nhấn nút số 5 và sau đó nhấn nút số 1 là xong.

- Mục đích của việc này sẽ loại bỏ bước nhập hàm thứ 2 là hàm g(x) điều đó đồng nghĩa sẽ tăng giá trị của bảng lên đến 30 thay vì 20. Điều này sẽ giúp bạn dễ dàng kiểm soát hàm f(x) hơn. Ta lập tức ví dụ thử hàm f ( x) =

x + 2 .Ta nhấn nút MODE sau

đó nhấ n nút số 7 cũng chính là vào chế độ cái bảng (TABLE), nó sẽ bắt ta nhập hàm f(x) .Sau khi nhập xong, ta nhấn dấu = để tiếp tục, máy tính sẽ hỏi ta Start (bắt đầu) từ x = bao nhiêu và nếu nhấn dấu = tiếp sẽ hỏi ta End (kết thúc) đến x = bao nhiêu và khi nhấn tiếp dấu = sẽ hỏi ta bước nhảy là bao nhiêu. Trong trường hợp ta đã tắt chức năng hàm thứ 2 là g(x) thì ta sẽ nhận được 30 giá tr ị, ta sẽ dễ dàng gõ Start là x = -7 tiếp End là x = 7 sau đó Step = 0.5. Mục đích mình bôi đậ m là thần chú dành cho đa số hàm số không phức tạp. Sau đó nhấn dấu = là ta được cái bảng bao quát của hàm CALC từ giá trị x = -7 đến giá trị x = 7 với bước nhảy là x = 0.5 có nghĩa là máy tính sẽ CALC giúp ta hàm số với giá trị x lần lượt là 7, -6.5, -6, -5.5, -5, -4.5, -4, -3.5, -3, -2.5, -2, -1.5, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 5.5, 6, 6.5 và 7. Và sẽ được kết quả là cột f(x) bên phải lần lượt từng giá tr ị x bên trái.

- Ta dùng mũi tên xuống ↓ để dò giá trị xác định là những ô cột bên phải không thông báo ERROR, ta dò xuống thấy c ột f(x) không bị ERROR nữa từ giá trị x = -2 có nghĩa là hàm số bắt đầu xác định từ x = -2. Nếu ta nhanh trí chọn đáp án là: x  −2; + ) thì rất dễ “đi bụi” nếu như không dò kĩ, sẽ có khả năng hàm số không xác định trong khoảng dưới nữa. Ta sẽ tiếp tục dò đến cuối.

Sau khi đã dò đến cuối, ta thấy hàm số luôn xác định. Vậy đáp án: x  −2; + ) là đáp án đúng. Nhưng… chờ đã, nếu như đề hỏi hàm số f ( x) =

x − 8 thì cũng “đi bụi” nếu ta thụ động chọn cách

Start x = -7 và End x = 7.

E-mail: [email protected]

4

MAE101 (MATHEMATICS FOR ENGINEERING) TRUYỀN KÌ

Sau khi kéo xuống hết, ta thấy hàm số f(x) lúc nào cũng không xác định rồi suy ra hàm số không xác định khi x  ( −; + ) là sai. Vì ở đây, ta nhìn vào hàm f(x) ta thấy f ( x) = x − 8 hãy thử giải theo cách tự luận x – 8 ≥ 0 → x ≥ 8. Vậy hàm số sẽ xác định khi x  8; + ) .Vậy như trường hợp ta Start và End theo cách thụ động là sai. Đơn giản nhất thì hãy nhìn vào hàm số cho dù nó phức tạp hay đơn giản thì ta sẽ phải xét kĩ lưỡng, cụ thể là hàm số này ta sẽ Start từ x = -1 và End đến x = 13 đến Step ta có thể dễ dàng tự suy ra được x = 0.5 và ta thấy từ x = 8 thì hàm số sẽ bắt đầu xác định đến dương vô cùng. Vậy kết quả đúng nhất là: x  8; + ) . - Vậy nếu như ta nhập End đến x = 14 thì máy tính sẽ báo lỗi thiếu bộ nhớ, tại vì máy tính không đủ dàn trải hết hơn 30 giá trị ra TABLE cho bạn xem được. - Vậy cho nên cách khắc phục là bạn sẽ cần phải giảm giá trị x của End xuống 1 đơn vị số hoặc ta có cách. Ở phần Step, ta sẽ dùng công thức (End – Start)/29 để TABLE của bạn có thể trải dài đủ 29 giá trị f(x) ra cho bạn xem. Ở đây mình dùng Start x = -1, End x = 14, Step x = (14 + 1)/29 và ta sẽ tính được Step có giá trị xấp xỉ là ~0.5172 thay vì 0.5 như mặc định sẽ bị báo lỗi. Ta cũng thấy được tại x ~ 8.3103 thì hàm số sẽ bắt đầu xác định mà ở dưới đó một chút dưới 8 thì hàm số sẽ không xác định thì ta nhanh trí suy ra x  8; + ) thì hàm số sẽ trở nên xác định.

Hãy thử với bài khác xem, ví dụ câu c. f ( x) = ln( x +1) −

x x −1

. Ôi trời, nhiều bạn sẽ đọc vô thấy hàm

gì vừa có ln vừa có căn có thể bị rối, nhưng thấy số không lớn quá. Sau khi đã đọc thủ thuật trên thì bạn có thể dễ dàng dùng thần chú -7, 7, 0.5 và ra được như sau. Hàm số sẽ được xác định: x  (1; + ) . Nhưng có bạn sẽ nhìn ra x  1,5; + ) thì hàm số sẽ được xác định. Vậy ta hãy động não, cho Start và End nhỏ lại thành x = 0.5 đến x = 2 và Step thì hãy sử dụng công thức: x = (2-0.5)/29 và ta được như sau: - Bạn có phải đang tự hỏi nếu x = 1 thì hàm số có xác định không? Hãy thử nhé, lúc đó Step sẽ tròn thành x = 0.1 để TABLE có thể

E-mail: [email protected]

5

MAE101 (MATHEMATICS FOR ENGINEERING) TRUYỀN KÌ nhảy tới x = 1. Và ta-đa, tại x = 1 thì hàm số không được xác định. Vậy đáp án sẽ là: x  (1; + ) .

Hãy thử vận dụng cao:

Ở đây ta thấy số 1/5 = 0.2 là số hữu tỉ và những đuôi khoảng xác định là số nhỏ, ta nhanh trí chọn TABLE, Start x = -2.4, End x = 2.4, Step x = 0.2 và ta được bảng như sau: - Ta thấy hàm số xác định từ âm vô cùng đến khoảng 1/5 và không xác định tại x = 1/5. Ta lập tức loại đáp án B. và C. Thử kéo xuống tiếp ta thấy hàm số sẽ xác định khi x > 2. Vậy ta đáp án A. là đáp án chính xác.

Tổng kết: Sau khi đọc xong phương thức CALC và TABLE, ta sẽ thấy 2 cái đều có mục đích khác nhau tuỳ vào cách bạn sử dụng. TABLE sẽ mất lợi thế nếu như bài vận dụng trên bạn cho từ x = -2.5 đến x = 2.5 mà Step x = 0.2. Lúc đó bạn sẽ không biết tại x = 1/5 hay x = 2 có xác định hay không, thì lúc đó CALC sẽ làm phần còn lại giúp bạn. Không có phương thúc nào “phế”, chỉ tại mình “phế”. Nhiều bạn sẽ ngứa tay sau khi làm xong sẽ xoá bộ nhớ tạ m của máy tính, điều này mình không khuyến cáo. Bạn hãy thoát ra màn hình chính bằng cách nhấn MODE rồi nhấn số 1. Nếu xoá bộ nhớ tạm thì bạn sẽ phải mất công chỉnh lại TABLE 30 giá trị, khá là phiền phức. 2. Find the range of each function: (Tìm miền giá trị của từng hàm số) a. f ( x) =

x −1

2

b. f ( x ) = x − 2 x

c. f ( x) = sin x

Ở phần tìm miền giá trị này ngược lại cho với tìm miền của hàm số, ở đây ta tìm giá trị bắt đầu của hàm số sau khi hàm số đó bắt đầu xác định. Ta sẽ TABLE với hàm số f ( x) =

x −1 . Thần chú -7, 7, 0.5 và

ta được một cái bảng và sau đó kéo xuống, ta thấy sau khi bắt đầu được xác định, giá trị bắt đầu của nó là y = 0. Cứ kéo xuống hết, ta thấy nó cứ xác định vậy suy ra đáp án là: f ( x ) = y = 0; + ) . Rất dễ phải không nào.

Bây giờ ta hãy thử với hàm số f ( x) = sin x nhé. Ta thấy, hàm số này là hàm lượng giác. Nếu ta cứ TABLE theo cách thông thường thì kết quả của TABLE sẽ bị sai. Do đó, ta phải chuyển chế độ số sang

E-mail: [email protected]

6

MAE101 (MATHEMATICS FOR ENGINEERING) TRUYỀN KÌ chế độ Radian bằ ng cách: Ở màn hình chính (nếu không vào được thì hãy thử nhấn nút MODE rồi nhấn nút số 1), sau đó nhấn nút MODE sau đó nhấn số 4 để vào chế độ Radian. Một số bạn sẽ thắc mắc nếu việc giữ nguyên chế độ Radian có gây ảnh hưởng gì đến việc tính toán số không chứa lượng giác thì mình cho là Không. Nếu bạn giữ nguyên “phong thái” SHIFT MODE 5 1 và SHIFT MODE 4 thì rất tiện lợi cho việc tính toán sau này. Bạn sẽ để ý có biểu tượng chữ D sẽ được chuyển sang biểu tượng chữ R dành cho việc tính toán lượng giác một cách chính xác. Quay lại vấn đề f ( x) = sin x . Lúc này, thần chú cũng sẽ trở nên khác hẳ n, không còn là -7, 7, 0.5 mà thay bằng x = -2  đến x = 2  và Step x =  /6. Nhìn chung Start, End, Step của phần lượng giác nếu ghi vậy thì bạn tự hỏi tại sao lại như vậy thì bạn hãy tưởng tượng rằng: Một vòng tròn của mình là 2  nên mình sẽ quét từ -2  đến 2  để có thể lấy tất cả giá trị trong vòng tròn đó và bước nhảy là  /6 sẽ trở nên hợp lí nhất để có thể trải dài đến 30 giá trị. Và ta được bảng như sau:

- Ở phần lượng giác, giá tr ị của nó sẽ quay xung quanh 1 vòng tròn, không phải theo tuần tự nhưng vẫ n tuân thủ giá trị từ bé đến lớn. Cho nên tập giá trị của hàm số f ( x) = sin x sẽ quét theo vòng tròn từ f ( x ) = y =  − 1;1 . Vậy đó cũng chính là đáp án của bài. Hãy thử vận dụng cao:

Ta cứ nhập vào TABLE như trên mình đã có giải thích. Thần chú -2  , 2  ,  /6 và thử ví dụ một bài

y = 3cos( x +



3

) + 2 và được bảng như sau:

Ta thấy quét một vòng tròn được miền giá trị cũng là đáp án là: f ( x ) = y =  − 1;5 . Thay vì theo một cách thụ động như -2  , 2  ,  /6 thì bạn cũng có thể thử với -  ,  ,  /12 ,… Hãy tự nghiên cứu nhé! Tổng kết: Tìm miền giá tr ị cũng khá giống với tìm miền xác định, nhưng tìm miền xác định là tìm giá tr ị của x để thoả hàm số f(x) = y còn tìm miền giá trị thì ngược lại. Cách sử dụng phương pháp lượng giác cũng giống y hệt. Đừng thụ động với giá trị Start, End, Step của TABLE nhé! 4. Explain how the following graphs are obtained from the graph of f(x): (Giải thích những đồ thị sau có được từ đồ thị chính f(x) như thế nào ? )

E-mail: [email protected]

7

MAE101 (MATHEMATICS FOR ENGINEERING) TRUYỀN KÌ a. f ( x − 4)

b. f ( x) + 3

c. f ( x − 2) − 3

d. f ( x + 5) − 4

Ở bài toán này, bạn không cần phải tính. Bạn cũng có thể dùng TABLE nhưng mất rất nhiều thời gian, hãy thuộc thần chú này: (với f(x) là hàm số giả định, a là một hằng số giả định) f(x)+a: Ta thấy hàm số đi lên a đơn vị. (up) f(x)-a: Ta thấy hàm số đi xuống a đơn vị. (down) f(x+a): Ta thấy hàm số dịch qua trái a đơn vị. (left) f(x-a): Ta thấy hàm số dịch qua phải a đơn vị. (right) -f(x): Ta thấy hàm số đối xứng qua trục tung (y). (y-axis) f(-x): Ta thấy hàm số đối xứng qua trục hoành (x). (x-axis) Nếu bạn thuộc được, bạn sẽ làm được rất nhiều bài toán dạng này. Hãy thử với câu a. f ( x − 4) . Nhìn lên thầ n chú ở trên, bạn sẽ dễ dàng biết được hàm số sẽ dịch qua bên phải 4 đơn vị. b. f ( x) + 3 .Bạn sẽ biết được hàm số sẽ đi lên 3 đơn vị. c. f ( x − 2) − 3 .Nhìn khá rối nhưng vẫn nhận biết được bình thường là hàm số sẽ dịch qua phải 2 đơn vị và đi xuống 3 đơn vị hoặc bạn không phải là tuýp người ưa khuôn khổ thì bạn có thể đọc hàm số sẽ dịch xuống 3 đơn vị và đi qua phải 2 đơn vị cũng đúng luôn. d. f ( x + 5) − 4 .Hàm số sẽ dịch qua trái 5 đơn vị và đi xuống 4 đơn vị.

Hãy thử vận dụng cao:

(Giả sử có đồ thị f ( x ) = f(x) như thế nào.)

x . Hãy giải thích đồ thị của hàm số y = x −1 + 2 có được từ đồ thị chính là

Đọc đến đây sẽ có bạn tự hỏi. Nhưng mình sẽ biết bạn hỏi gì, ở trong căn với trong ngoặc thì đơn vị dịch chuyển cũng giống nhau, cách thức dịch chuyển cũng giống nhau, nên bạn cứ thoải mái làm bình thường. Ta có đồ thị sẽ dịch chuyển qua phải 1 đơn vị và đi lên trên 2 đơn vị. Mình có thể mô phỏng cho các bạn thấy.

E-mail: [email protected]

8

MAE101 (MATHEMATICS FOR ENGINEERING) TRUYỀN KÌ

Tổng kết: Các bài toán dạng này khá dễ, chỉ cần bạn thuộc thần chú là làm được nhanh gọn.

6. Let f ( x) =

x and g ( x) = 2 − x . Find each function:

( Ta có hàm số f ( x) = a. f o g

b. go f

x và g ( x) = 2 − x . Hãy tìm từng hàm số dưới đây: ) c. g o g

d. f o f

Dạng bài này đề bài hỏi mình cách hợp hàm, ta có: f o g = f ( g ( x)) , go f = g ( f ( x )) , go g = g ( g ( x )) ,

fo f = f ( f ( x)) . Có nghĩa ta dùng phương pháp Cắt – Dán. Ví dụ: Câu a. fo g = f ( g ( x)) = f ( 2 − x ) =

2 − x . Ta nhanh trí cắt g(x) rồi dán vào trong f(x) ta được

f ( 2 − x ) xong ta cũng nhanh trí dán f(x) vào trong x ta được kết quả cuối cùng cũng là đáp án là: fo g =

2 − x . Nếu bạn không phải là người hướng “nội” thì hãy thử làm người hướng “ngoại” bằng cách:

fo g = f ( g ( x)) =

x 2−1 . Có nghĩa là thay f(x) hoặc g(x) tương ứng vào x. x →1 x − 1

g ( x ) = lim

E-mail: [email protected]

9

MAE101 (MATHEMATICS FOR ENGINEERING) TRUYỀN KÌ

Hãy thử vận dụng cao:

Ta có fo g ( x) = f ( g ( x)) = sin( g ( x )) = f ( x 2 + 6) = sin(x 2 + 6) . Tổng kết: Hiểu được việc hợp hàm, ta sẽ dễ dàng hiểu được những dạng bài toán liên quan ở các bài sau. Hợp hàm ban đầu đối với những bạn mới bắt đầu cũng có thể khó hiểu, hãy làm thử nhiều lần là sẽ quen.

7. Let f ( x) =

x2 + x +1 . Find: x

1 x

b. f (2x − 1)

a. f ( x + )

Tổng kết: Không khác gì bài trên.

8. Use the table to evaluate each expression: (Sử dụng bảng dưới để tính các biểu thức) x

1

2

3

4

5

6

f(x)

3 6

1 3

4 2

2 1

2 2

5 3

g(x) a. f ( g (1))

b. g ( f (1))

c. f ( f (1))

d. g ( g (1))

e. g o f (3)

f. go f (6)

Cách thức làm bài dạng này cũng giống như 2 bài trên nhưng ở đây là có thêm hằng số. Hãy thử xem nhé!

f ( g (1)) . Nhìn lên bảng và nhìn vào hàm số, ta sẽ thử làm từ trong ra ngoài, ta có g(1) = 6 là ta được f(6) tại gì g(1) = 6. Nhìn tiếp lên bảng ta thấy tại f(6) = 5. Vậy f ( g (1)) = 5

Tổng kết: Game là dễ.

E-mail: [email protected]

10

MAE101 (MATHEMATICS FOR ENGINEERING) TRUYỀN KÌ 9. Evaluate the following limits: (Tính các giới hạn) 2

6

x + x − 12 x →3 x−3

b. lim

a. lim

x →1

x 2 + x − 12 x→+ x 3 −3

t 2 +9 −3 t2

e. lim t →0

x −1 10 x −1

f. lim

tan(3x) x→ 0 tan(5x)

c. lim

1

g. lim−   x→ 0

x

−

1  x 

(3 + h) 2 −9 h →0 h

d. lim

x 2 −1 x →1 x − 1

h. lim

Ở các bài toán dạng này, đề bài yêu cầu mình tính giới hạn. Có nhiều cách tính giới hạn: - Nếu đề bài chỉ hỏi lim (với a là hằng số) thì ta sử dụng chức năng CALC tại x=a+0,000001 và x=ax →a

0,000001 để kiểm tra giới hạn 2 bên đầu mút của một điểm x như đề bài cho. Nếu một điểm bất kì báo MATH ERROR là giới hạn đó không tồn tại. Phải thoả lim+ (lim phải) và lim− (lim trái) thì giới hạn của x→ a

x→ a

một hàm số mới có nghĩa. - Nếu đề bài chỉ hỏi lim hoặc lim thì ta sử dụng chức năng CALC tại x= 106 hoặc nếu đề bài hỏi lim x→

x→+

x→−

thì ta CALC tại x= -106 đối với những hàm phức tạp thì ta nên giả m bớt số mũ lại để hàm số không bị lỗi thành số 0 hoặc bị báo lỗi. - Nếu đề bài hỏi lim+ (lim phải) thì ta chỉ sử dụng chức năng CALC tại x=a+0,000001 để tìm kết quả x→ a

hoặc lim− (lim trái) thì ta chỉ sử dụng chức năng CALC tại x=a-0,000001 để tìm kết quả. x→ a

2 x + x − 12 . Ta nhập hàm vào máy tính cầ m tay: x→ 3 x−3

Ví dụ lim

Sau đó sử dụng chức năng CALC tại x = 3+0,000001 và x = 3-0,000001.

Sau khi CALC cả lim trái và lim phải, ta đều được kết quả f(x) = y = 7. Vậy đó là đáp án.

1

Hãy thử thêm một bài nữa r ồi chúng ta qua phần vận dụng cao hơn. Ví dụ lim−   x→ 0

 x

−

1  x 

Ta vẫn nhập bình thường là CALC tại x = 0-0,000001 và ra kết quả f(x) = y = xấp xỉ âm vô cùng.

E-mail: [email protected]

11

MAE101 (MATHEMATICS FOR ENGINEERING) TRUYỀN KÌ

Nếu con số này chưa đủ làm bạn thoả mãn thì hãy con số thập phân 0 tiếp.

Ta được con số rất lớn dần về âm vô cùng, nếu bạn muốn âm lớn hơn thì cứ tăng số 0 sau dấu phẩy là được. Ta nhanh trí khoanh đáp án lim f ( x ) . x→ 4

Hãy thử vận dụng cao:

Nhiều bạn sẽ hoảng hốt khi đọc đề là không biết a l...