Tích phân (tham khảo) MAE101 PRACTICE PDF

Preview

Summary

Download Tích phân (tham khảo) MAE101 PRACTICE PDF

Description

CHƯƠNG 2

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 2.1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 2.1.1. Định nghĩa và tính chất 2.1.1.1. Định nghĩa Cho hàm số f ( x) xác định trên khoảng ( a, b) . Ta gọi F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên ( a, b) nếu F '( x)  f ( x) , x  ( a, b) . Định lý 2.1 Nếu trên khoảng ( a, b) nào đó, f ( x) có một nguyên hàm F ( x) thì nó có vô số nguyên hàm khác và tất cả những nguyên hàm này chỉ sai khác nhau một hằng số cộng. Ta ký hiệu tập hợp tất cả các nguyên hàm của f ( x) là

f (x )dx

và

gọi nó là tích phân bất định của f ( x) . Hàm số f ( x) được gọi là hàm số dưới dấu tích phân. Như vậy, nguyên hàm và tích phân bất định là 2 thuật ngữ chỉ cùng một nội dung và ta có,

F '(x )  f (x ) 

f (x )dx F (x )  C

Đặc biệt, do  f ( x )  '  f '( x ) nên

f '(x )dx  f (x )  C

Ví dụ 2.1 a) vì (sin x) ' cos x nên cos xdx sin x  C b) vì ( x2 )' 2 x nên

2xdx  x

2

C

2.1.1.2. Tính chất Nếu f ( x), g  x là các hàm số có nguyên hàm trên khoảng ( a, b) thì các hàm ( f + g) ( x) , ( cf ) ( x) ( c Î ¡ ) cũng có nguyên hàm và 79

 i

 f  x  g  x   dx f  x  dx g  x  dx cf  x  dx cf  x  dx

 ii 

'

( iii)

 f ( x) dx   f ( x)  

( iv)

df ( x) f '( x) dx  f ( x)  C

2.1.2. Các công thức tính tích phân cơ bản x  1 x dx   1 C , ax x  C a dx  ln a 

   1

dx 2

x

x

2

dx

sin

e

ax

cos ax  c,  a  0

dx  a1eax  c,  a 0 

x x

dx a dx

2

a

2

2

2

  ln x 

x

dx

1 dx x a2  x 2 a arctg a  C ,  a 0 1 a

2

1  x

arcsin x  C

sin axdx 

C

2

 cot gx  C arctgx  C

f '  x f  x  dx ln f  x   C

cos axdx  a

 x  a   C ,  a  0

2 2  ln x  x  a  C ,  a  0

2

1 a

sin ax  c,  a 0

1 a x dx  ln  C ,  a 0  2  x 2a a  x

2

2

1 a2 x 2 2 2 2 a x dx x a x arcsin C ,  a  0      2 2 a 2 1 a 2 2 2 2 2 2  x  a dx  2 x x  a  2 ln x  x  a  C 1 a2 2 2 2 2 2 2  x  a dx  2 x x  a  2 ln x  x  a  C 80

x

cos xdx sin x  C

tgx  C

dx

 1 x

ln x C

e dx e

sin xdx  cos x  C cos

dx

x

Ví dụ 2.2. Tính các tích phân sau đây 1 1 2 3 a)  x3  x 2  x dx  x4  x3  x 2  C 4 3 3





b )  2cos 2x  8sin 4x dx  sin 2x  2cos 4x  C dx ex   (e x  1  e x ) d ) x dx 1  x  x  dx e 1 e 1  e 1  ex x e x 1dx x  ln  e  1  C 2.1.3. Các phương pháp tính tích phân  dx 

2.1.3.1. Phương pháp đổi biến số Định lý 2.2 Nếu f (x )dx F (x )  C thì f   (t )  '(t )dt F   (t )  C , với  (t ) là hàm số có đạo hàm liên tục. Phương pháp đổi biến số được sử dụng ở 2 dạng sau đây: a) Giả sử ta đã biết nguyên hàm của f ( x) (2.1) f (x )dx F (x )  C và ta cần tính g ( x)dx . Giả sử tích phân này có thể biểu diễn dưới dạng

g (x )dx  f  (x )  '(x )dx

(2.2)

khi đó, theo định lý 2 ta được

g (x )dx F  (x )   C Một cách hình thức thì khi có (2.2) ta đặt u  ( x) , suy ra du  '( x) dx . Do đó, theo (2.1) ta có

g (x )dx  f (u )du F (u )  C Thay u  ( x) ta được kết quả cần tìm g (x )dx F  ( x )   C 81

b) Khi đặt x  (t ) (suy ra dx  '(t ) dt ) với  (t ) là hàm số có đạo hàm liên tục và có hàm ngược t  ( x) , ta có thể biểu diễn tích phân dưới dạng f (x )dx f  (t )  '(t )dt Nếu nguyên hàm của f  (t )  '(t ) là G(t ) thì

f (x )dx G (t ) C G  (x )  C Ví dụ 2.3

sin 3 x cos xdx a) Tính I   Vì d  sin x  cos xdx nên ta đặt u sin x  du cos xdx khi đó I  u 3du  b) Tính K  Đặt x t 6 thì

u4 sin4 x C  C 4 4 dx



x 1 3 x



x t 3 , 3 x t 2 và dx 6t5 dt

khi đó

dt  6t 2  K   2 dt 6  dt   2  6(t  arctgt )  C 6 1 t 1 t  



6



x  arctg 6 x  C

∫ x3 cos(x4 + 2) dx = 1/4sin(x4 + 2) + C 2.1.3.2. Phương pháp tích phân từng phần Định lý 2.3 Cho u( x), v( x) là hai hàm số có đạo hàm u '( x) , v '( x) liên tục trên khoảng ( a, b) và u '( x).v( x) có nguyên hàm. Khi đó, u ( x).v '( x) cũng có nguyên hàm và

u (x ).v '(x )dx u (x ).v (x )  u '(x ).v (x )dx

(2.3)

Vì du u '( x) dx , dv v'( x) dx nên (2.3) thường được viết dưới dạng

udv uv  vdu 82

(2.4)

Công thức (2.4) được gọi là công thức tích phân từng phần. Nó được sử dụng khi tích phân ở vế trái của (2.4) khó lấy tích phân nhưng ở vế phải dễ lấy tích phân. Ví dụ 2.4 a) Tính I  arctgxdx dx Đặt u  arctgx  du  1 x2 , dv dx  v x x 1 2 suy ra I xarctgx  1  x2 dx xarctgx  2 ln  1  x   C

b) Tính I  x cos xdx Đặt u x  du dx , dv cos xdx  v sin x

suy ra I  x sin x 

sin xdx  x sin x  cos x  C

c) Tính I  x ln xdx dx    u ln x du Đặt x , 1 dv xdx  v  x2 2 x 1 2 1 2 1 2 suy ra I 2 x ln x  2 dx  2 x ln x  4 x  C

∫exsinxdx Nhận xét

k k k k ax Các tích phân dạng x ln xdx , x sin axdx , x cos axdx , x e dx có thể tính được nhờ tích phân từng phần nhiều lần, do đó các tích ax phân dạng P (x )ln xdx , P (x )sin axdx , P (x )cos axdx , P (x )e dx ,… trong đó P( x) là đa thức, có thể tính được nhờ tích phân từng phần.

83

2.1.4. Tích phân một số hàm sơ cấp

P( x) 2.1.4.1. Tích phân hàm hữu tỉ Q (x )

P( x) P( x), Q( x) Mọi phân thức hữu tỉ Q (x ) (với là các đa thức với hệ số P (x ) P (x )  H ( x)  1 thực) đều có thể biểu diễn dưới dạng Q (x ) Q (x ) trong đó H ( x), P1 ( x) lần lượt là đa thức thương, đa thức dư trong phép chia P( x) cho Q ( x) , bậc của P1 ( x) nhỏ hơn bậc của Q( x) . P1 ( x) Phân thức hữu tỉ Q( x) mà bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu được gọi là phân thức hữu tỉ thực sự. Giả sử Q( x) có thể phân tích dưới dạng

Q( x) C  x  a1  ...  x  a r  k1

 



kr

x

2

 p1 x  q1  ...  x 2  p sx  q s  h1

hs

trong đó các số a i i 1, r là các nghiệm thực của đa thức, x2  p j x  q j j 1, s là những tam thức bậc hai không có nghiệm thực. P1 ( x) Mệnh đề. Phân thức hữu tỉ thực sự Q (x ) khai triển được thành Bx  C A m tổng các phân thức đơn giản loại 1 k và loại 2 2  x  a  x  px  q 



với m, k Î ¥ * Ak Ak P( x) P ( x) A1 H (x )  1 H (x )  ...   ...  k  k  ...  Q( x) Q ( x)  x  ai   x  ai   x  a i  i 1

i

i 1

i



Bh x  C h

x

84

j

2

j

 p jx  q j 

hj



Bh x  C h

x

j 1

2

j 1

 p jx  q j 

h j 1

 ... 

B1x  C1  ...  x  p jx q j  2

P (x )

Vì vậy, muốn tính tích phân

Q( x) dx

ta chỉ cần tính tích phân đa dx thức H ( x) và tính tích phân các phân thức đơn giản loại 1  k  x  a

 và loại 2  ax

Mx  N 2

 bx  c 

m

dx

Ta tính các tích phân đơn giản loại 1 và loại 2. ln x  a  C , k 1  dx   1 1  x  a k   k  1 . x  a k  1 , k  1     2 2 ax  b  .arctg C ,   0     dx 2  2   C ,  0 ax  bx  c  2ax  b  1 2ax  b   C ,   0  .ln     ax b 2  dx

I m 

 ax

2

 bx  c 

m



  b

2

 4ac 

  1  2ax  b    . (4 6). . m a I m  1 (m  1) (m  1).   ax2  bx  c  m 1   

Công thức này đúng cho trường hợp   0 và   0 .  2 2m  1.am  1  1  C I Khi  0 thì m  . 2m  1  2 m  1   2 ax  b ln ax 2 bx  c C , m 1 2ax  b   Jm  2 m dx  1 m 1 . ax2  bx  c , m1   ax  bx  c 1  m

 J 

 ax

Mx  N 2

 bx  c 

m

M Mb (2ax  b )  N  2a dx dx 2a m 2  ax  bx  c  85



M Mb  dx 2ax  b  dx   N  . 2 . 2  m 2 a  ax  bx  c  2 a   ax  bx  c  m 



M Mb   . Jm   N  . Im 2a 2 a  

Ví dụ 2.5

x

1  dx a) Tính I   3 2 x  3x  4x  12 2

Ta phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành tổng các phân thức đơn giản x2 1 A B C    3 2 x 3 x  4 x  12 x  3 x  2 x  2 A( x  2)( x  2)  B ( x  2)( x  3)  C( x  3)( x  2)  ( x  3)( x  2)( x  2) Þ x2 +1 = A( x +2)( x - 2) + B( x - 2)( x +3) +C( x +3)( x +2) , "x Î ¡

Cho x = - 3: 5A = 10 Þ A =

1 2

x = - 2: - 4B = 5 Þ B = -

5 4

1 4 2 1 1 5 1 x     Vậy 3 2 x 3 x  4 x  12 2( x 3) 4( x 2) 4( x  2) 1 5 1 dx   dx   dx Suy ra I   2( x 3) 4( x  2) 4( x  2) 1 5 1  ln x  3  ln x  2  ln x  2  C 2 4 4 2  x  2  dx b) Tính J   2 x  x  1 x = 2: 20C = 5 Þ C =

 x  2   A  B  C  A  x  1   Bx( x  1)  Cx 2 2 2 x x  1  x  1 x  x  1 x  x  1 2

Ta có 86

2

2

2

Þ ( x + 2) = A( x - 1) + Bx ( x - 1) + Cx , " x Î ¡ Cân bằng hệ số 2 vế ta được hệ phương trình  A  B 1 A  4    2 A  B  C 4  B  3  A 4 C 9  

 x  2  4  3  9 Vậy 2 x x  1  x  1 2 x  x  1  x  2  2 dx  4 dx  3 dx  9 dx Suy ra  2 x x  1  x  12 x  x  1 2

 4ln x  3ln x  1 

1 C x 1

2.1.4.2. Tích phân hàm lượng giác R  sin x ,cos x  dx Để tính R  sin x ,cos x  dx , ta đặt t  tg

x ,    x  2

Ta có, 2t 1  t2 2 dt sin x  , cos , x  2arctgt , dx   x 2 2 1 t 1 t 1  t2

Khi đó,  2 t 1  t 2  2 dt R  sin x,cos x dx R  1 t 2 , 1 t 2  1 t 2 Rõ ràng, biểu thức dưới dấu tích phân ở vế phải là hữu tỉ đối với t. Ví dụ 2.6 dx Tính I   1  sin x

Đặt t tg

x 2t 2 dt , dx  , ta có sin x  2 1 t 1  t2 2

Khi đó, 87

1 2 dt 2 dt 2 2 I     C  C . 2 2 t x 2 1t 1t 1 t    1 1 tg 1 t2 2

Lưu ý. Trong một vài trường hợp riêng, ta có thể đổi biến số khác để tính toán đơn giản hơn. Chẳng hạn: i) Nếu hàm dưới dấu tích phân lẻ đối với sin x , tức là R  sin x,cos x  R sin x,cos x thì ta đặt t cos x ii) Nếu hàm dưới dấu tích phân lẻ đối với cos x , tức là R sin x,  cos x  R sin x,cos x thì ta đặt t sin x iii) Nếu hàm dưới dấu tích phân chẵn đối với sin x và cos x , tức là R   sin x,  cos x R  sin x,cos x thì ta đặt t tgx Ví dụ 2.7 sin2 x a) Tính I   6 dx cos x

Hàm dưới dấu tích phân chẵn đối với sin x và cos x . Đặt t tgx  dt 

dx cos 2 x

Khi đó, dx t3 t 5 tg 3 x tg 5 x sin 2 x 1  C I  2 . 2 . 2 t 2  1  t 2  dt    C  cos x cos x cos x 3 5 3 5 sin 3 x dx b) Tính I   2  cos x

Hàm dưới dấu tích phân lẻ đối với sin x . Đặt t cos x  dt  sin xdx Khi đó,

 1  t  dt   t  2  3  dt t  2t  3ln t  2 C I    t  2  2 t 2 2

88

2



cos 2 x  2cos x  3ln  cos x  2   C 2

cos 3 x  I c) Tính sin x dx

Hàm dưới dấu tích phân lẻ đối với cos x . Đặt t sin x  dt cos xdx Khi đó,

cos2 x 1 t2 1  I  dt    t dt .cos xdx   sin x t t  ln t 

t2 sin2 x  C  ln sin x  C 2 2

2.1.4.3. Tích phân một số hàm vô tỉ Để tính tích phân các hàm số vô tỉ, người ta tìm một biến số mới t   ( x) sao cho biểu thức dưới dấu tích phân trở thành hữu tỉ đối với biến t. Bây giờ ta xét một số lớp các hàm có thể “hữu tỉ hóa” bằng cách đó.  ax  b  * R  x, n  dx  cx d  

,

trong đó R là ký hiệu hàm hữu tỉ; n 2,3,...; a, b, c, d cho trước. Đặt t n

ax  b , ta sẽ được tích phân hàm hữu tỉ theo t. cx  d

Ví dụ 2.8 Tính I  

x 1 . dx 2 x x

2t 2 4t x x 2 , dx       t t x 2 dt Đặt 2 2 2 x 2 x 1 t 1  t   Ta có 89

I  t .

2 dt x 1 t 4t C dt 2  2 2arctgt  C 2arctg . 2 2 2 t 1  t2  1 t 2 x





2 * R x, ax  bx  c dx

i) Nếu a  0 , đặt

ax2  bx  c t  x a (hoặc

ax2  bx  c t  x a )

ii) Nếu c  0 , đặt

ax2  bx  c xt  c (hoặc

ax2  bx  c xt 

c)

iii) Nếu ax2  bx  c có 2 nghiệm thực phân biệt  ,  thì ax2  bx  c a( x   ).( x   )

Khi đó, đặt ax 2  bx  c t.( x   ) Ví dụ 2.9

dx a) Tính I   2 x x  2x Đặt

x  2 x t  x thì x  2

và x2  2x t 

t2 t 2  2t dt , dx  2(t  1) 2(t  1) 2

t2 t 2  2t  2(t  1) 2(t  1)

2 2 2 C Khi đó, I   2 dt   C  2 t t 2 x x  x dx b) Tính J   x  x2  x  1 Đặt và 90

2t  1 2(t 2  t 1) ,   dt 2 x  x 1 tx  1 thì x t 2  1 dx  t2  1 2

x2  x  1 

t 2  t 1 t , x  x2  x  1  2 t 1 t 1

Khi đó,  2t 2  2t  2 2 1 3 3    J  dt    dt 2 2 t(t(  1)( t 1)  t 2(t  1) 2( t 1) ( t 1)  3 1 3   2ln t  ln t  1  ln t  1  C t 1 2 2 thay t  J 

x 2  x  1 1 và rút gọn, ta được x 3x

x2  x  1  1  x

 2ln





x 2  x 1  1 

1 ln x 2  x  1  1  x 2

y B

A

O 

x 3 ln 2

x 2  x 1 1  x  C

2.2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2.2.1. Khái niệm tích phân xác định 2.2.1.1. Bài toán diện tích hình thang cong Để minh họa cho khái niệm tích phân xác định, trước hết ta xét một bài toán hình học: Tính diện tích hình phẳng giới hạn phía trên bởi đường cong liên tục y  f ( x ) , phía dưới là trục Ox và 2 bên là 2 đường thẳng x a , x b . Ta gọi hình phẳng loại này là hình thang cong. 91

y

f ( k )

O

x Hình 2.1a

Để tính diện tích hình thang cong aABb , ta chia đoạn [ a, b] một cách tùy ý thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia a  x0  x1  x2  ....  xk  xk 1  ....  xn  b

(2.5)

Qua các điểm chia đó ta kẻ các đoạn thẳng song song với Oy. Như vậy, ta đã chia hình thang cong aABb thành n hình thang cong nhỏ với đáy là  xk , xk1  (hình 2.1a). Hình 2.1b Vì hàm số f ( x) liên tục trên [ a, b] nên giá trị của f ( x) trên từng đoạn nhỏ  xk , xk1  khác nhau rất ít khi độ dài của đoạn thẳng này là xk xk 1  xk đủ bé. Do đó, ta có thể coi giá trị của f ( x) trên

x ,x  x ,x  k

k1

bằng giá trị của f ( x) tại một điểm  k nào đó thuộc

k

k1

với sai số càng bé khi x k càng nhỏ. Về mặt hình học, điều

này có nghĩa là ta thay hình thang cong nhỏ bởi hình chữ nhật có đáy  xk , xk1  và chiều cao f  k  (hình 2.1b). Khi đó, diện tích hình thang cong nhỏ gần bằng f   k  . xk 1  xk   f   k  . xk

92

n 1

Diện tích cả hình thang cong aABb : S  f   k  .x k

(2.6)

k 0

Sai số của (2.6) tiến về 0 khi tất cả các độ dài xk  0 .

 xk  thì diện tích của hình thang cong aABb được Nếu đặt d 0max k n 1  định nghĩa là: n 1

S lim  f  k  .xk d 0

(2.7)

k 0

Trong toán học, giới hạn (2.7) được gọi là tích phân xác định của hàm số f ( x) trên đoạn [ a, b] . 2.2.1.2. Định nghĩa tích phân xác định Bài toán diện tích hình thang cong là một trong các bài toán cơ bản dẫn đến khái niệm tích phân xác định. Trong bài toán diện tích hình thang cong, f ( x) là hàm số liên tục và không âm trên [ a, b] . Bây giờ, ta sẽ đề cập đến khái niệm tích phân xác định của hàm số f ( x) bất kỳ, xác định trên [ a, b] . Cho hàm số f ( x) xác định trên [ a, b] . Chia [ a, b] một cách tùy ý

 xk  , với thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia (2.5). Đặt d 0max k n  1 xk xk 1  xk

 k 0,1,...., n  1

Trên mỗi đoạn nhỏ  xk , xk1  , lấy điểm tùy ý x  k và lập tổng n 1

  f  k  .xk . k0

n 1

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn I  lim  lim  f  k  .x k d 0

d 0

(2.8)

k 0

và giới hạn đó không phụ thuộc vào cách chia đoạn [ a, b] và cách chọn điểm k thì hàm số f ( x) được gọi là hàm khả tích trên [ a, b] và

93

số I được gọi là tích phân xác định của hàm số f ( x) trên [ a, b] , ký b

hiệu I  f (x )dx . a

Các số a , b tương ứng là cận dưới, cận trên của tích phân. Tổng  được gọi là tổng tích phân của hàm số f ( x) . b

Ví dụ 2.10. Tính f (x )dx với f ( x) c (với c là hằng số) a

Với mọi cách chia đoạn [ a, b] và mọi cách chọn các điểm k   xk , xk 1  , ta có: n 1

n 1

k 0

k 0

  f  k  .xk  c.k c.( b  a) theo định nghĩa tích phân, ta có

 d  max   x   0 kn 1

lim   limc .(b  a ) c .(b  a ) 0 0 d

d

k

b

b

a

a

Vậy f ( x )dx  cdx c.(b  a ) Lưu ý 1) Tích phân xác định của hàm số f ( x) khả tích trên [ a, b] là một số xác định (trong khi tích phân bất định của f ( x) là hàm số của biến b

số x. Do đó, tích phân xác định

f (x )dx

chỉ phụ thuộc các cận a , b

a

và hàm số lấy tích phân f ( x) mà không phụ thuộc biến số tích phân, tức là

b

b

b

a

a

a

f (x )dx  f (t )dt  f (u )du  ....

2) Khi định nghĩa tích phân xác định, ta xét hàm số f ( x) trên [ a, b] , tức là ta đã giả thiết a  b . Trường hợp a  b và a b , khái niệm tích phân được hiểu theo quy ước sau đây: 94

a

f (x )dx 0 a b

a

a

b

f (x )dx  f (x )dx

(a  b )

2.2.1.3. Điều kiện khả tích Định lý 2.4 Nếu hàm số f ( x) khả tích trên [ a, b] thì nó bị chặn trên đoạn đó. Định lý 2.5 Hàm số f ( x) xác định trên [ a, b] , f ( x) khả tích trên [ a, b] nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện dưới đây:  f ( x) liên tục trên [ a, b] ;  f ( x) đơn điệu và bị chặn trên [ a, b] ;  f ( x) bị chặn và chỉ có hữu hạn điểm gián đoạn trên [ a, b] . Chú ý. Khi hàm số f ( x) đã khả tích trên [ a, b] thì giới hạn (2.8) không phụ thuộc cách chia đoạn [ a, b] và cách chọn điểm  k . Ta có thể chia đều đoạn [ a, b] và chọn k là đầu mút trái, đầu mút phải hoặc là trung điểm của đoạn  xk , xk1  . 1

Ví dụ 2.11. Tính xdx 0

Vì f ( x) x liên tục trên [0,1] nên f ( x) khả tích trên [0,1] . 1