Tich phan khong xac dinh PDF

Preview

Summary

ădădf...

Description

Chương 6:

TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH § 1. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH 1.1 Bài toán ngược của bài toán đạo hàm Một trong các bài toán cơ bản của phép tính vi phân là tìm được đạo hàm f’(x) của một hàm số đã cho f(x). Trong thực tế có rất nhiều bài toàn đặt ra theo chiều ngược lại: tìm lại hàm số f(x) khi biết đạo hàm f’(x) của nó. Ví dụ: Tìm phương trình chuyển động s= s(t) của một động tử khi biết vận tốc v(t) (= s’(t)) của nó, tìm vận tốc v(t) khi biết gia tốc a(t) (= v’(t)) của đông tử, tìm khối lượng m(x) của một thanh vật chất khi biết tỉ khối p(x)(= m’(x)) của nó. Đó là nội dung bài toán nguyên hàm – bài toán ngược của bài toán đạo hàm. Định nghĩa các phép tính ngược. Phép trừ - phép tính ngược của phép cộng Cho a,b є R. Số c  R được gọi là hiệu của a và b (kí hiệu c = a-b) nếu c+b = a. Phép chia – tính chất ngược của phép nhân Cho a  R, b  R*. Số q  R được gọi là thương của a và b (kí hiệu là q =

a ) b

nếu q.b = a. Phép lấy căn – phép tính ngược của phép lũy thừa Cho A  R+, n  N, sao cho n  2. Số x  R+ được gọi là căn (số học) bận n của A (kí hiệu x  n A ) nếu x n  A . Logarit – phép tính ngược phép tính mũ Cho x  R+\{0}, a є R+ sao cho a  0 và a  1. Số y  R được gọi là logarit cơ số a của x (kí hiệu: y = logax ) nếu ay = x. Các phép tính ngược khác (ví dụ: các phép tính lượng giác ngược, …) đều được định nghĩa theo kiểu như trên. Ta nhận thấy: định nghĩa các phép tính ngược của một của một phép tính nào đó có cấu trúc giống nhau (dựa vào các phép tính đã cho) và không có tính kiến thiết – tức là không chỉ ra một quy trình để xác định cụ thể khái niệm được định nghĩa. Ví dụ: muốn xác định hiệu của 7 và 3, ta chỉ có thể dựa vào phép cộng để “nhẩm” ra số 4 (vì 3 + 4 = 7), chứ không định nghĩa chỉ ra quy trình để tìm ra kết quả đó. Điều này gây ra nhiều khó khăn trong tính toán. Định nghĩa nguyên hàm dưới đây mang đầy đủ các đặc trưng trên của một phép tính ngược. 1.2. Định nghĩa nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f(x) trên khoảng  . Nếu có hàm số F(x) sao cho F(x) có đạo hàm trên  và F’(x) = f(x) thì ta gọi F(x) là nguyên hàm của f(x) trên  . Đương nhiên, nếu khoảng  chứa các đầu mút thì tại các đầu mút, F(x) chỉ cần có đạo hàm một phía.

Nhận xét 1. Theo định nghĩa, nguyên hàm F(x) phải có đạo hàm trên  do đó nó phải là hàm số liên tục trên  . Nhận xét 2. Định nghĩa chưa khẳng định sự tồn tại của nguyên hàm F(x) khi đã chho hàm số f(x). trong chương trình, định lí liên hệ giữa nguyên hàm và tích phân sẽ cung cấp một điều kiện đủ để tồn tại nguyên hàm F(x): f(x) liên tục trên đoạn [a,b]. Nhận xét 3. Định nghĩa cũng không cho biết có bao nhiêu nguyên hàm của một hàm số đã cho. Vấn đề này sẽ được giải quyết qua ví dụ sau. Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số a)

b) y 

y 4 x3 ;

1

2 x

.

Từ các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản: ( x 4 ) ' 4 x 3 ;

( x)' 

1 2 x

suy ra lời giải của ví dụ trên là: a)

x4

b)

Nhận xét 4. Ta thấy x 4 1 , x 4  2, x 4   ,..., x 4  C cũng vẫn là nguyên hàm của hàm số 4x 3 vì: ( x 4  c) ' 4 x3  0 4 x 3

Tổng quát: Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trên  thì thì F(x) + C, trong đó C làm một hằng số tùy ý, cũng là một nguyên hàm của f(x). Nhận xét 5. Câu hỏi đặt ra là: Ngoài các nguyên hàm dạng F(x) + C ở trên còn có nguyên hàm nào khác không? Câu trả lời là không. Quả vậy, nếu (x) là một nguyên hàm nào đó của f(x) (tức là  '(x) f(x) ) thì: [ (x)  F(x)]'  '(x)  F'(x) f(x)  f(x) 0, Do đó (x)  F(x) C hay ( x) F ( x )  C . Kết luận: Hàm số f(x) cho trên  , nếu có một nguyên hàm F(x), thì cũng có một tập hơp vô hạn các nguyên hàm, tất cả các nguyên hàm đó đều có dạng F(x) + C, tức là chúng được xác định sai khác một hằng số tùy ý. Định nghĩa.

Biểu thức F(x) + C, trong đó F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên  và C là một hằng số tùy ý, được gọi là tích phân không xác định (thường gọi tắt là tích phân) của hàm số f(x) trên  và kí hiệu f (x) dx F(x)  C . Dấu  đọc là tích phân, f(x) gọi là hàm số dưới dấu tích phân, x gọi là biến số dưới dấu tích phân. Muốn tích tích phân không xác định của hàm số f(x) chỉ cần tính một nguyên hàm của nó. Nhận xét 6. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì: f(x)dx = F’(x)dx = dF(x). Do đó: Biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx không phải là một kí hiệu ngẫu nhiên, mà thực sự là một vi phân: vi phân của chính nguyên hàm F(x). Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số a) y = x3 1

b)

y

c)

Chứng minh rằng y = ln( x  x 1 ) là nguyên hàm của hàm số y 

x 1 x 2 1

Áp dụng công thức ( x  )’ =  x  1 cho trường hợp  = 4 và  =

1 ta dễ dàng tìm được các nguyên hàm trong ví dụ 1. 2

Cũng dùng công thức này, nhưng phải “điều chỉnh” các hệ số: '

1  1 4 3 3  x  = 4 .4 x 4 x 4  '

 1 1 1 1 ( 2 x )'   2 x 2  2. x 2  2 x  

ta mới “nhẩm” được các nguyên hàm trong ví dụ 2 là: a)

1 4 x . 4

b) 2 x .

Đến ví dụ 3, khó có cách gì “nhẩm” được nguyên hàm của nó, ở đây ta phải nghiệm lại: 2 [ln(x  x  1)]' 

 2x  1  1 .   2 2 2 x  x 1 x 1 2 x 1  1

Điều đó cho thấy sự khó khăn trong việc tìm kiếm nguyên hàm của một hàm số đã cho. Thậm chí, có những hàm số rất đơn giản, chắc chắn có nguyên hàm, nhưng ta không thể tìm các nguyên hàm đó, vì chúng không thể biểu diễn được dưới dạng các hàm số sơ cấp (tiếc rằng nhiều nguyên hàm đó lại rất quan trọng trong việc nghiên cứu toán học cũng như ứng dụng trong thực tế).

Ví dụ:  x2

e dx (tích phân Poatxong (Poisson)) cos x dx  (tích phân Fresnel)  sin x dx  dx ln x (tích phân logarit) 2

2

cos x dx (tích phân cosinus) x sin x  x dx (tích phân cosinus)



Dưới đây, xuất phát từ bảng các nguyên hàm cơ bản (dựa vào bảng các đạo hàm cơ bản), ta dần dần đưa ra các phương pháp để tính nguyên hàm của các hàm số phức tạp hơn. 1.3. Bảng các nguyên hàm cơ bản Dựa vào bảng các đạo hàm cơ bản, dễ dàng lập được bảng: 1)

0dx C

2)

1dx dx  x  C

3)

 x dx 

4)

x

5)

x a dx 

1

x 1 C  1

(   1 )

dx dx  ln | x |  C x

ax C ln a

Đặc biệt:

(00 thì: 1 . x Còn nếu (a,b)  (   ,0) tức là x 0 x. Do đó F(x) là hàm số tăng trên toàn trục số. Ngoài ra: F’’(x) 2 xe x . Do đó đồ thị của hàm số lồi dưới trên khoảng 0 < x, lồi trên trên khoảng x > 0 và có điểm uốn tại x = 0. 2.2. Tính chất tuyến tính của phép tính tích phân Tính chất 3. k. f ( x) dx k f (x) dx (k là một hằng số). Tính chất 4. 2

2

[ f (x) g(x)]dx  f (x)dx g(x)dx . Hai tính chất này suy trực tiếp từ hai tính chất tương ứng của đạo hàm. Tổng hợp lại ta được:

[ kf (x) lg(x)]dx k f (x) dx  lg (x) dx (k và l là hai hằng số). Áp dụng các tính chất này có thể tính được một số tích phân đơn giản bằng cách dùng những biến đổi sơ cấp để đưa dần chúng về các tích phân cơ bản. Ví dụ 2. 2 2 a) (3 x  2 x 5) dx 3 x dx  2 xdx  5dx 2 = 3x dx  2xdx  5dx

x3 x2  2  5x  C 3 2 = x3  x2 5x  C . 4 2 (1  x) dx (1  4 x  6 x  4 x x  x ) dx

=3

b)

1

3

= dx  4 x 2 dx  6 xdx  4 x 2 dx  x 2dx      3

8 3

8 5

5

= x  x 2  3 x2  x 2  c)

(x 



x )(1  x ) x

3

x3  C. 3

x x x dx  3 dx x 7

1

= x6 dx  x6 dx 13

=

7

6 6 6 6 x  x  C. 13 7

2.3. Môt số trường hợp riêng của công thức đổi biến số dưới dấu tích phân Tính chất 5. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì: 1

f (ax  b)dx a F (ax b) C

(a 0)

Quả vậy '

1 1   a F (ax  b)  c  a .a. F '(ax  b) f(ax  b).  

Dùng thêm tính chất này ta có thể tính được các tích phân sau. Ví dụ 3. Có thể tổng quát hóa các công thức 4), 6), 7), 8), 9) trong bảng tích cơ bản: dx

4’)

x  a  ln | x  a | C

6’)

sin mxdx  m cos mx  C

7’)

cos mxdx  m sin mx  C

8’)

1

1

x

2

dx 1  2 2 a a

(m ≠ 0) (m ≠ 0)

1 x  arctg  C a a x 1   a 



dx

2

(a ≠ 0)



9’)

dx 2

x  a

2



1 a

dx

x arcsin  C a (a > 0)  x 1   a 2

Ví dụ 4. Bằng cách phân tích

1 1 1  1 1     2  x a  x  a   x  a  2a  x  a x  a  2

ta được:

x

2

1  dx dx dx     a 2 2a x  a x  a  1 x a  ln C 2a x  a

Ví dụ 5. Dùng các công thức hạ bậc của hàm số lượng giác: 1  cos 2mx sin2 mx  2

1  cos 2mx cos2 mx  , 2

ta được (với m ≠ 0): 1 1 mxdx  x  sin 2mx  C; 2 4m 1 1 2 sin mxdx 2 x  4 m sin 2mx  C.

 cos

2

§3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN Muốn tính các tích phân, về nguyên tắc, ta phải tìm cách đưa chúng về các tích phân cơ bản. Trong mục trên, bằng cách áp dụng các tính chất cơ bản, ta đã thực hiện được điều đó cho một số trường hợp đơn giản. Dưới đây, ta đưa thêm hai phương pháp (đổi biến số và tích phân từng phần) có hiệu lực mạnh mẽ hơn nhiều. 3.1. Phương pháp đổi biến số Phương pháp này dựa trên cơ sở của công thức đạo hàm hàm số hợp. Giả sừ F(x) là nguyên hàm của hàm số liên tục f(x). Nếu ta thay x =  (t ) với giả thiết  (t ) là hàm số có đạo hàm  '(t ) liên tục thì d d dx F '( x). '(t )  f ( (t )). '(t ) F    t    F ( x) dt dx dt tức là F(  (t ) ) là nguyên hàm của hàm số f(  (t ) ). '(t ) .

Do đó, ta có Công thức đổi biến số dưới dấu tích phân f ( x)dx f    t  . '  t  dt . Theo đó, việc tính tích phân f ( x )dx được thay bằng một tích phân khác. Vấn đề chọn hàm số x =  (t ) như thế nào để tích phân sau dễ tính hơn. (Theo trên, trước hết (t ) phải có đạo hàm liên tục. Trong các ví dụ dưới đây, các hàm số  (t ) được chọn đều thỏa mãn giả thuyết đó. Đế tránh rườm rà ta không nhắc lại điều đó). 3.2 Áp dụng công thức theo chiều thuận Qua một vài ví dụ dưới dây bạn đọc hãy nhận định cách chọn x= (t ) khéo léo như thế nào để cho tích phân sau dễ tính hơn.

Ví dụ 1. tính  a 2  x 2 dx (a>0) Hàm số dưới dấu tích phân chỉ có nghĩa khi trong đó t

x

 a. Do đó có thể đặt x= asint

    2 , 2  . Khi đấy cost 0 và

a2  x2 =a 1  sin 2 t = a

cos2 t

=acost

dx= acostdt ta được:



a2  x2

2

dx = a =

2 cos tdt

1

2

dt = a

2 (1 cos 2t)dt

a2 (t + sintcost) + C 2

Để quay về biến số x, ta dựa vào các công thức đã biến đổi ở trên. Vì x= asint trên đoạn đang xét có hàm số ngược, ta có: t =arcsin

x x , sint = và cost = a a

Do đó 

a2  x2

dx =

a2  x2 a 2 2 x a2 ( arcsin + x a  x a 2 a

)+C

2 Ví dụ 2. Tính I =  x  4 dx

x

Hàm số dưới dấu tích phân có nghĩa khi

x

 2. Ta hãy tìm nguyên hàm trong

2   khoảng x>2. Khi đó có thể đặt x= với t   0, 2  . Giới hạn của t bảo đảm x nằm cos t   trong khoảng đang xét và tgt 0

Do đó x2  4

dx = và

1  1 =2 cos 2 t

=2

tg 2t

= 2tgt

2 sin t dt cos 2 t

cos t 2sin t sin 2 t 1  dt . 2 ( 2  1)dt 2(tgt  t )  C 2 2 dt  2   2 cos t cos t cos t 2 x2  4 Để quay về biến số cũ ta thay t arccos và tgt  x 2  x2  4  2  a rcc o s  C. I =2  2 x   dx

I = 2tgt.

Ví dụ 3. Tính I =

x

2

, ta được

x2  5

Hàm số dưới dấu tích phân được xác định trong R*, do đó ta có thể đặt: x=

5

   tg với    ,  \{0}  2 2

Khi đó cos >0 và: x2  5 =

dx =

5

5 tg 2   1 = 5.

d cos 2 

1 5 = cos 2 t cos 

Thay vào tích phân ta được: 1

I= 5tg 2 . =

5d 1 cos cos  .   2 d 2 cos 5 sin   5

1  1 1 . sin  2  (sin  )  +C  5 sin  5

Để quay về biến số cũ ta phải tính theo sin  theo x. Căn cứ vào các công thức biến đổi đã có ở trên: x

tg = 5 , cos



5 2

x 5 x

ta có sin  =tg .cos = vậy I= 

x

dx 2

2

x 5

5

5

.

2

x 5



x 2

x 5

2



 x 5 C 5x

Qua ba ví dụ trên ta có thể đưa ra 3.3 Bảng chỉ dẫn dùng các phép biến đổi lượng giác để tính các tích phân chứa các biểu thức a 2  x 2 , a 2  x 2 , x 2  a 2 (a>0) Thông thường tích phân sẽ dễ tính hơn sau khi khử căn thức. Sử dụng các công thức lượng giác : cos 2   sin 2 1 1 1+ tg 2  2 cos 

ta có thể khử căn thức của các biểu thức trên bằng một phép biến đổi tương ứng trong bảng sau Biểu thức Phép biến đổi Biểu thức dx= sau biến đổi acos d  x= asin , acos a2  x 2  )  d ) (asin (-asin       ,  (hoặc x= 2

 2

2

a x

2

acos  ,    0,   ) x= atg ,     (

2

.

2

)

*với x>a 2

x  a

2

a cos

atg

a    x= ,   0, 2  cos  

*với x=2)

Ta biến đổi: In=

)

=-

+(n-1)

=-

+(n-1)

Do đó In=

-(n-1)

+(n-1)

In= -

+

Đã biết:

I0=

=x (+C)

I1= Vậy:

=-cosx (+C)

I2=

=-

I3=

Jn=

(n>=1) 1

x

2

 a2

ta được du= 



dx=dx

n

2nxdx

x

x (+C)

x] (+C)

Ví dụ 10.

Đặt u=

-(n-1) In

2

 a2



n1

v=x

x

+2n  x 2  a 2

Do đó Jn=



=

+2n

=

+2n

Từ đó Đã biết

2

= =



n1

dx

+ (+C)

Áp dụng công thức trên, ta được: =

(+C)

J3=

(+C) §5.TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ HỮU TỈ

5.1. Tích phân các phân thức tối giản Tích phân dạng Ta đã biết:

Ví dụ1.

trong đó A, a

.

Tích phân dạng

trong đó M, N, p, q

mẫu số có nghiệm ảo (tức là

và tam thức ở

).

Ví dụ 2.

. Ví dụ 3.

=

=

+(

)

Tích phân thứ nhất có tử số là đạo hàm của mẫu số, tích phân thứ hai chính là ví dụ 2. Vậy I=

Ví dụ 4. I= Biến đổi tương tự như ví dụ 3, ta được: I=

.

Tích phân thứ nhất tính được như sau: (bằng phép biến đổi u=

):

Bằng phép biến đổi u=x+1 tích phân thứ 2 được đưa về dạng tích phân 10 ở mục trên: =

5.2 Bảng chỉ dẫn quy trình tính tích phân

trong ví dụ

M, N, p, q

,

-q

1. Dùng các biến đổi sơ cấp để biến đổi tử số, tách làm hai tích phân, trong đó tích phân thứ nhất có tử số đạo hàm của biểu thức =

+

2. Tính tích phân thứ nhất

=

3. Để tính tích phân thứ hai, ta biến đổi

thành

+

bằng cách:

=(x+ )2 +q-

(Theo giả thiết q-

>0 do đó có thể đặt

= q-

rồi áp dụng cách tính Jn trong ví

dụ 10 ở mục trước. 5.3. T ích phân phân thức hữu tỉ Phân thức hữu tỉ là biểu thức có dạng

trong đó

và

là các đa thức.

Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng Q(x), ta thực hiện phép chia đa thức. Ví dụ: =

-3+

Ta sẽ phân tích được phân thức thành một đa thức và một phân thức có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số - mà ta gọi là phân thức thật sự. Tích phân một đa thức thì dễ dàng. Vậy vấn đề còn lại là tích phân phân thức thật sự

p (x ) (trong đó bậc của p(x) nhỏ bậc q (x )

của q(x)). Ta giả sử bậc cao nhất của q(x) có hệ số bằng 1 và theo định lý cơ bản của đại số học, luôn luôn có thể phân tích thành: q(x)=... trong đó a i, pj, qj

... ;

.......... kj, nj

,

ai là các nghiệm thực của đa thức.

là những đa thức không có nghiệm thực.

(nếu ki =1 hoặc n i=1 ta gọi các thừa số tương ứng là thừa số đơn, còn nếu k i hoặc ni >= 2, ta gọi các thừa số tương ứng là thừa số bội). Ta tìm cách tính tích phân phân thức thực sự thông qua các trường hợp sau. Trường hợp 1: q(x) chỉ có các thừa số đơn bậc nhất Ví dụ 5. Tính Mẫu thức có thể phân tích thành : = x(x+1)(x-3) Phân thức sẽ được khai triển thành: =

=

trong đó A, B, C là các hằng số.

Để tìm A, B, C ta có hai cách: Cách 1: Quy đồng mẫu thức và ước lược: 5x+3=A(x+1)(x-3)+Bx(x-3)+Cx(x+1) Lần lượt thay x=0, x=-1, x=3 (là các nghiệm của đa thức ở mẫu số) ta được: 3=-3A -2=4B 18=12C Từ đó: A=-1, B=- , C=

Khi đó =

-

+

=-ln|x|- ln|x+1|+ ln|x-3|+C Cách 2: Quy đồng mẫu số, ước lược rồi nhóm số hạng theo lũy thừa của x: 5x+3=(A+B+C)x2+(-2A-3B+C)-3A.

Hằng đẳng hai vế ta được hệ:

Giải hệ này ta cũng được: A=-1, B=- , C= Chú ý: Cách 2 quy về giải hệ thống phương trình bậc nhất, rất quen thuộc trong đại số, nên trong các ví dụ dưới đây ta quan tâm tới cách 1 nhiều hơn. Trường hợp 2: q(x) có thừa số bội bậc nhất

Ví dụ 6. Tính I= Khi đó phân thức được khai triển thành: = Quy đồng mẫu số và ước lược: =A

+B(x+3)(x-1)+C(x+3)

Lần lượt cho x=1, x=-3 (nghiệm của đa thức ở mẫu số), ta được:

suy ra

C=2, A=4 Khi đó ta được: =4

+B(x+3)(x-1)+2(x+3)

Tiếp tục cho x=0 (có thể cho x một giá trị bất kì, khác với các nghiệm của đa thức ở mẫu số, tất nhiên nên lấy thế nào cho thuận lợi cho việc tính toán) ta được 13=4-3B+6, hay B=-1. Khi đó 3 x2  8 x  13 4 dx  dx   I  ( x  3)( x  1) 2 ( x  3)

2 dx

dx

x  1  (x  1)

Trường hợp 3.

q(x) có thừa số đơn bậc 2

Ví dụ 7.

Tính I  

2

4 ln x 3  ln x  1  2

6 x2  3 x 1 dx. (4x  1)( x2  1)

Khi đó phân thức được phân tích thành: 6 x 2  3x 1 A Bx  C   2 2 (4x  1)(x  1) 4 x 1 ( x  1)

Quy đồng mẫu số rồi ước lược: 6 x 2  3 x  1  A( x 2  1)  ( Bx  C )( 4 x  1) 1 Cho x  (nghiệm của thừa số 4

(1) 4x + 1 ) ta được:

Cho x i (nghiệm phức của thừa số x2 + 1) ta được:

 3i  5 (...