MAT 21A – Lecture 13 – Derivatives of Trigonometric Functions PDF

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Professor: Bruno Nachtergaele...

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MAT 21A – Lecture 12 – Derivatives of Trigonometric Functions 

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Table of Trigonometric Functions and their Derivatives d d sin ( x ) =cos(x) tan ( x )= sec2 (x) dx dx d 2 d cot ( x )=−csc (x ) cos ( x ) =−sin(x) dx dx

In general, if f is a differentiable function, then ∀aϵ R , f a ( x )=f (x +a) differentiable and

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d sec(x)=sec ( x ) tan ( x ) dx d csc(x )=−csc ( x ) cot ( x dx is also

d f ( Ax ) = Af '( Ax) dx

Deriving 2 2 d d sin( x) cos ( x ) cos ( x ) −sin ( x )(−sin ( x ) ) cos ( x )+ sin (x) 1 = = tan ( x )= = 2 =sec2 (x ) 2 2 dx cos(x) dx cos (x) cos (x) cos (x ) (x ) −sin ¿ ¿ −cos(x )cos(x ) Deriving sin ( x ) ¿ d d cos(x ) cot ( x )= =¿ dx dx sin(x ) ( x) cos ( x ) +sin(x ) −x Example: −sin ¿=¿ −e ¿ d ( e− x cos ) =−e−x cos +e−x ¿ (x) (x ) dx Higher Order Derivatives:

( x) sin ¿ ¿ ¿ ¿ ( x) sin ¿ ¿ ¿ ¿ ( x) sin ¿ ¿ ¿ ¿

(x) cos ¿ ¿ ¿ ¿ (x) cos ¿ ¿ ¿ ¿ (x) cos ¿ ¿ ¿ ¿

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Let x ( t ) =rcos (wt ) and y ( t ) =rsin(wt ) where θ=wt . Then velocity d functions are V x ( t )= [ x ( t )] =−rwsin(wt ) and dt d V y ( t )= [ y ( t ) ] =rwcos(wt ) . Acceleration functions are dt a x( t ) =

d2 x ( ) d 2 x t = V x ( t ) =−rw cos(wt ) 2 dt dt

and

2

d y d 2 a y (t )= 2 y ( t ) = V y ( t ) =−rw sin(wt ) . dt dt

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Velocity, v ( t )=

2 d d x d x (t ) =x ' (t) and acceleration, a ( t )= v (t ) = 2 x (t ) dt dt dt...