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Matemáticas para Administración y Economía Matemáticas para Administración y Economía- Segunda Edición Ernest F. Haeussler, Ir./ Richard S. Paul I The Pennsylvania State University Traductor: Lic. Alfred0 Díaz Mata Facultod de Cantadurio y Administración Universidad Nacional Autónoma de México(UNAM)...

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Matemáticas para Administración y Economía

Matemáticas para Administración y EconomíaSegunda Edición

Ernest F. Haeussler, Ir./ Richard S. Paul I

The Pennsylvania State University

Traductor:

Lic. Alfred0 Díaz Mata Facultod de Cantadurio y Administración Universidad Nacional Autónoma de México(UNAM). México,D.F.

RevisoresTécnicos:

Ing. Francisco Paniagua Docanegra Universidad Nocionol Autonoma de Mexico (UNAM). México,D.F.

Ing. Andrds Rojas Lobato Universidod de lasAmericas(UDLA). Puebla.Mexico.

S.A. de C.I?

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Nebwka 199. Col. Nápoles, 03810 Mhico, D.E %l. 523 O9 94Far 543 11 73

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Versión en español de la obra lntroducrory Muthemuticul Analysis 1 x 1 1 - Ernest F. Haeusder, Jr. y Richard S. Paul. Edición original en inglés publicada por Prentice-Hall, Inc.. Copyright 0 1990, en Estados Unidos de América.

Sixth Edition

ISBN 0-13-501438-7

por Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. de C.V. Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, archivada o transmitida e11 forma alguna o mediante algún sistema, ya sea electrónico, mecanico, de fotorreproducción, de almacenamiento en memoria o cualquier otro, \ i n el previo y expreso permiso por escrito de Grupo Editorial Iberoamérica. D.R. @ I992

ISBN 968-7270.97-7

Impreso en México Edrfor: Nicolás

Grepe P.

Prohtctor: Enrique Fradera T. ('u~')iw/u Suzanne ; Behnke i ocogmfiir de cubierfu: Slide Graphics of Ne\&England lnc

Grupo Editorial Iberoamérica S.A. de C.V. Nebraska 199, Col. Nápoles, C.P. 03810 México, D.F. Tel. 523-0994 Fax. 543-1173 Apdo. 5-192, C.P. 06500 Reg. CNIEM 1382

Prólogo

Esta nueva edición deMaternúticaspara Adrninistracicin J* Economía continúa proporcionando un fundamento matemático apropiado para los estudiantes de Administración, Economía, y Ciencias Sociales y Biológicas. Comienza con los temas previos a la ciencia del Cálculo, como ecuaciones, funciones, matemáticas financieras, geometria los aspectos del Cálcuanalítica, álgebra matricialy programación lineal. Luego presenta lo en unay varias variables. Las demostracionestécnicas, condiciones, etc.,se describen en el grado suficiente, sin llegar a la sobreestimación. Se proporcionan a veces razonamientos intuitivos informales destinados a preservar la claridad. En todo el libro se tiene abundancia y variedad de aplicaciones para los cursos a los que se dirige este texto; los estudiantes perciben continuamente cómo se utilizan las mátemáticas que están aprendiendo. Tales aplicaciones son en áreas tan diversas como las ciencias económico-administrativas, las cienciasde la salud (biología, medicina,psicología), cienciade la Tierra, Ecología, Arqueología, etc.Al final dela obra figura un amplio indice de aplicaciones. Muchas de estas aplicaciones en el mundo real se han tomado y se documentan con referencias. En algunos casos de las publicaciones de esos campos se proporciona el contexto completo a fin de estimular el interés. Sin embargo, este libro es virtualmente autosuficienteen el sentido de que considera que existe no estudio previo de los conceptos sobre los cuales se basan las aplicaciones. Deseminadas en todal a extensión de laobra se presentan al lector muchas indicaciones acerca de errores que se cometen por lo general, las cualesse especifican como Advertencias. Las definiciones se enuncian y presentan con claridad. Los conceptos clave, así como las reglas y las fórmulas importantes, se destacan en recuadro para patentizar su importancia. Casi 800 ejemplos y problemas resueltos se analizan en detalle. AsÍ mis-

V

VI

PRÓLOGO

mo, se incluye u n abundante número de ejercicios (más de 4000). En cada conjunto de ejercicios hay grupos de problemas que se dan en orden creciente de dificultad; en tales grupos los problemas se gradúan desde los de tipo básico de resolución mecánica directa, hasta los de carácter más interesante que provoca el razonamiento profundo. Se incluyen muchos problemas de tipo práctico con datos reales. Así mismo, se ha realizado un esfuerzo considerable para lograr un equilibrio adecuado entre los ejercicios de simple aplicación y los problemas que requierenla integración de los conceptos aprendidos. Cada capítulo (excepto el 1 ) contiene una sección final titulada Reposo y que está compuesta por las subsecciones “Terminologíay símbolos”, “Resumen” y “Problemas de repaso”. Las Respuestas a los problemas de número irrlpar aparecen al final del libro. Para muchos de los problemas de diferenciación de los Capítulos 1 1 y 12, las respuestas se dan en las formas no simplificaday simplificada. Esto permite quelos estudiantes verifiquen fácilmente su trabajo. En esta edición se han efectuado varios cambios. En algunas secciones el material ha sido reescrito y reorganizado para lograr una mayor claridad. Algunos conjuntos de ejerciciosse han revisado. Como temasnuevos se tienen las ecuaciones exponenciales y logaritmicas (Secc. 6.4), el teorema del valor extremo(Secc. 13.2) y el método deNewton para aproximación de la raíz (Secc. 14.2).Se presentan anticipadamente las nociones de intercepción y simetría respecto a los ejes (Cap. 4) para exponer el trazo de gráficas sin el auxilio dela derivada, Se ha ampliadoel Cap. 6 (Funciones exponencialesy logarítmicas); incluye ahora el interés compuesto, el decrecimiento radiactivo y una sección sobre ecuaciones logaritmicas y exponenciales. Se han hecho cambios extensos al Cap. 10 (Límites y continuidad). E n particular, la sección sobre continuidad refleja el papel de los límites. El capítulo sobre diferenciación se ha dividido en dos para tener más flexibilidad. Como resultado, las derivadas de las funciones logaritmicas y exponenciales, junto con la diferenciación implícita y las derivadas de orden superior, están en un capitulo por separado. Ha sido reorganizado el Cap. 13 referente al trazo de gráficas. En primer lugar se analiza la graficación de funciones que carecen de asíntotas y se concluye con la investigación de éstas. Además, los valores y puntos extremos se tratan ahora en una sección separada, En Cap. 15 (Integración), los problemas de valor inicial se introducen en una nueva sección. Una novedad en esta edición es la inclusión de una Aplicación práctica al final de cada capitulo. Cada aplicaciónes un caso interesante, y a veces novedoso, de utilización de los conceptos matemáticos expuestos en el capítulo respectivo. Muchas de las aplica’ ciones incluyen ejercicios. Como todoslos profesores establecen el plan de su curso de acuerdo con las condiciones de cada grupo y el plan de estudios establecido, no se intentará proponer esbozos de planes. Sin embargo, dependiendola preparación de delos estudiantes, algunos profesores opten por omitir el Cap. 1 (Repaso de álgebra) o el Cap. 2 (Ecuaciones). Otros podran excluir las materiasde álgebra matricial y programación lineal. Ciertamente que hay Otras secciones que puedenser omitidas a discrecióndel maestro. Como ayuda para planear un curso, quizá sean útiles algunos comentarios. La Secc.3.1 introduce algunos términos de administración como ingreso total, costo fijo, costo variable y utilidades. La Secc. 5.2 introduce la noción de las ecuaciones de oferta ( o abasto) y demanda, Y la Secc.5.6 analizael punto deequilibrio. Algunas seccionesson optativas y no causarán problemas si son omitidas. Tales son las 9.3, 9.5, 14.2, 16.1, 16.2, 17.4, 17.6, 17.9 Y 17.10. La Secc. 8.9 puede omitirse si no se trata la Secc. 8.10.

PROLOGO

VI I

Los interesados pueden conseguir dela casa editorialel extenso Manualdel Profesor, que contiene las respuestas a todoslos problemas, y la resolución detallada de un gran número de ellos. Como otras ayudas didácticas también están disponibles un Banco de Exámenes Computadorizado, un Manual de Soluciones para el Estudiante, y la Edición Anotada para Profesores, de este libro de Matemáticas para Administración y Economía. Los problemas para resolver con ayuda de la calculadora electrónica

se indican

Expresamos nuestro agradecimientoa los siguientes colegas que aportaron comenta(Pennsylvarios y sugerencias degran valor para laevolución deeste libro: R. M. Alliston nia State University), R. A. Alo (University of Houston), M. N. de Arce (University of Puerto Rico), G. R. Bates (Western Illinois University), D. E. Bennett (Murray State University), C. Bernett (Harper College), A. Bishop (Western Illinois University), S. A. Book (California State University), A. Brink ((St.Cloud State University),R. Brown (York University),R. W . Brown (University ofAlaska), S. D. Bulman-Fleming (Wilfrid Laurier University),D.Calvetti (National College),K. S. Chung (Kapiolani Community College), D. N. Clark (University of Georgia), E. L. Cohen (University of Ottawa), J. Dawson(Pennsylvania State University), A. Dollings (Pennsylvania State University), G . A. Earles (St. Cloud State University), B. H. Edwards (University of Florida), J. R . Elliott ( WiIJrid Laurier University),J. Fitzpatrick (University of Texasat El Paso), M. J. Flynn (Rhode Island Junior College), G . J. Fuentes (University of Maine), G. Goff (Oklahoma State University), J. Goldman (DePaul University), L. Griff (Pennsylvania State University),F. H. Hall(PennsylvaniaState University),V. E. Hanks ( Western Kentucky University), J. N. Henry (California State University), W. U. Hodgson ( West ChesterState College), B. C. Horne, Jr.(Virginia Polytechnic Institute and State University),J. Hradnanski (PennsylvaniaState University),C. Hurd(Pennsylvania State University), J. A. Jimenez (Pennsylvania State University), W. C. Jones (Western Kentucky University), R. M. King (Gettysburg College), M. M. Kostreva (University of Maine), G . A. Kraus(Cannon University),M. R. Latina (Rhode Island Junior College), J. F. Longman (Villanova University),I. Marshak (Loyola University of Chicago), F. B. Mayer (Mt. San Antonio College),P. McDougle (University of Miami), F. Miles (CaliforniaState University),E. Mohnike(Mt. San Antonio College),C. Monk(Universityof Richmond),J. G. Morris(University of Wisconsin-Madison), J.C. Moss (Paducah CommunityCollege), D.Mulling (Pennsylvania State University), E. Nelson (Pennsylvania State University),S. A. Nett (Western Illinois University),R. H. Oehmke (University oflowa), Y.Y. Oh (Pennsylvania State University), N. B. Patterson (Pennsylvania State University),E. Pemberton ( Wirfrd Laurier University),M. Perkel (Wright State University),D. B. Priest (Harding College),J . R. Provencio (Universityof Texas), L. R. Pulsinelli (Western Kentucky University),M. Racine (University of Ottawa), N. M . Rice (Queen's University),A. Santiago (University of Puerto Rico), W. H . Seibold, Jr. (West Chester State College), J . R. Schaefer (University of Wisconsin-Milwaukee), S. Sehgal (Ohio State University), S. Singh (Pennsylvania State University), E. Smet (Huron Colcege),M. Stoll (University of South Carolina),B. Toole (University of Maine), J. W. Toole (University of Maine), D. H. Trahan (Naval Postgraduate School), J. P. Tul1 (OhioState University),L. O. Vauhan, Jr.(UniversityofAlabamain BirmingM. Vuilleumier (Ohio State Univerham), L. A. Vercoe (Pennsylvania State University), sity), B. K. Waits (Ohio State University), A. Walton (Virginia Polytechnic Institute and State University),H. Walum (Ohio State University),A. J. Weidner (Pennsylvania

Vlll

PRÓLOGO

Srute University),1.. Weiss (Pennsylvania State UniversitJj),N. A. Weigmann (CaliforR. B. Wright (University of Oregon), C . W u (University of Wisconsin-Milwaukee). Además, agradecemosen especiala los colegas mencionados a continuación, sus útiles comentarios y sugerencias para el mejoramiento de esta edición: JohnT. Gresser ( B o w ling Green Stnte University),Raymond C. Heitmann (The University of Texasat Austin), Don Mason (Elmhurst College),Robert A. Moreland (Texus Tech University), Gordon Shilling (The University of Texas at Arlington), Laurence Small (Los Angeles Pierce College), Edward T. H . Wang ( Wilfrid Laurier Universiry),y Gloria Woods (Ohio Strrte University).

niu State University), C .

Por último, vaya nuestro sincero reconocimiento a John Morgan, nuestro supervisor editorial, por su paciencia, ayuda experta y entusiasta colaboración. Ernest F. Haeussler, Jr. Richard S. Paul

1

m

Contenido

Prólogo

CAPíTULO

v

1 Repaso de Ólgebta 1.1 Propósito 1 1.2 Conjuntos y números reales 1 1.3 Algunaspropiedadesde los números reales

1.4 Operaciones con números 1.5 Exponentes y radicales

reales 11

1.6 Operaciones con expresiones algebraicas 1.7 Factorización 23 1.8 Fracciones 26

CAPíTuLo

3

7 17

2 Ecuaciones

33

2.1 Ecuaciones lineales 33 2.2 Ecuacionesqueconducenaecuaciones 2.3 Ecuaciones cuadraticas 43 2.4 Complemento 49 2.5 Repaso 50

Aplicaciónpráctica:

lineales

40

Crecimiento real de una inversión

52

IX

X

CONTENIDO

3 Aplicaciones de las ecuaciones y desigualdades

CAP~TULO

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

CAPíTULO

01

Funciones 81 Funciones especiales 88 Combinaciones de funciones 92 Gráficas en coordenadas rectangulares 97 Simetría 107 Repaso 1 13 Aplicación práctica: ¡Una experiencia en el pago de impuesto! 1 17

121

5 Rectas,parábolas y sistemas 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

CAPíTULO

Aplicaciones de las ecuaciones 55 Desigualdades lineales 62 Aplicaciones de las desigualdades 68 Valor absoluto 71 Repaso 76 Aplicación práctica: Grabación de calidad en videograbadoras 78

4 Funciones y gráficas 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

CAP~TULO

55

Rectas 121 Aplicaciones y funciones lineales 127 Funciones cuaráticas 135 Sistemas de ecuaciones lineales 141 Sistemas no lineales 151 Aplicaciónde los sistemasdeecuaciones Repaso 163 Aplicaciónpráctica: ¿Un juegode tenis?

153 167

6 Funcisnesexponenciales y logasítmica 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Funciones exponenciales 172 Funciones logarítmicas 18 1 Propiedades de los logarítmos 188 Ecuaciones logaritmicas y exponenciales 195 Repaso 201 Aplicación práctica: Dosificación demedicamentos

172

205

XI

CONTENIDO

CAPíTULO

7 Matemáticas financieras Interés compuesto 208 Valor actual ( o presente) 212 Anualidades 21 7 Amortización de créditos 227 7.5 Repaso 232 Aplicaciónpráctica: La regla delos 78

208

7.1 7.2 7.3 7.4

235

240

matrices 8 de Algebra

cnPiTuLo

8.1 Matrices 240 8.2 Adicióndematrices y multiplicaciónpor 8.3 Multiplicación de matrices 254

un escalar

247

8.4 Método de reducción 264 8.5 Método de reducción (continuación) 273 8.6 Inversas 279 8.7 Determinantes 287 8.9 Inversas utilizando la adjunta 299 8.10 Análisis de insumo-producción ( o insumo-producto) 304 8.11 Repaso 309 Aplicación practica: Los requisitos de administración de insulina 312 comoun proceso lineal

CAP~TULO

9 Programación lineal 9.1 Desigualdadeslinealescon dos variables 9.2 Programación lineal 321 9.3 Soluciones óptimas múltiples 330 9.4 El método simplex 332

315 31 5

9.5 Degeneración, soluciones no acotadas, soluciones ópima\ múltiples 345 9.6 Variables artificiales 35 1 9.7 Minimización 363 9.8 El dual 368 9.9 Repaso 376 Aplicaciónpráctica: Terapias con fármacos y radiación 379

CAPiTULO

10 límites y continuidad 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6

Límites 1 381 Límites(continuación)/ 388 Interéscompuestoenformacontinua 398 Continuidad 401 Aplicaciónde la continuidadalasdesigualdades .408 Repaso 413 Aplicacicin práctica: Déficit de presupuesto 417

381

XI I

CONTENIDO

CAPíTULO

11Diferenciación 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7

CAPíTULO

CAPíTULO

468

Derivadasdefunciones logarítmicas’468 Derivadas de funcionesexponenciales ,-” 473 Diferenciación implícita 378 Diferenciación logaritmlcd ’ 483 Derivadasdeordensuperior ( o sucesivas) 486 Repaso 490

493

CUCVOS

Extremos relativos o locales Valores extremos 504 Concavidad 505 Pruebade la segundaderivada Asintotas 515 Repaso 525

493

5 13

14 Aplicaciones de la diferenciación 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5

Aplicación demáximos El método de Newton Diferenciales 545 Elasticidad de demanda Repaso 555

y mínimos 540

529

529

550

558

15 Integración Laintegralindefinida /’ 553 Integraciónconcondiciones iniciales’ M& fórmulas de integración 563 Técnicasdeintegracion 578 15.5 Sumatoria 583 ,’ 15.6 La integral definida,/ 586

15.1 15.2 15.3 15.4

420

’

13 Trazo de 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6

CAPíTULO

(o derivación)

12 Temasadicionalessobre diferenciación 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6

CnpíTuLo

’

Laderivada 420 Reglaspara la diferenciacicín 427 La derivadacomotasa de variación 435 Diferenciación y continuidad 445 Reglas del producto y el cociente147 La regla de la cadena y de la potencia . 455 Repaso 463

I ’

565

Xlll

CONTENIDO

15.7 15.8 15.9 15.10 15.1 1

CAPíTULO

El Teoremafundamental del CálculoIntegral 595 Área 604 Área entre curvas 610 Excedentesdeconsumidores y fabricantes 617 Repaso 621 Aplicaciónpráctica: Preciodeunarticuloentregado

626

16 Mbtodos y a@CaCiOneSde la integración

629

16.1 Integraciónporpartes”

629 16.2 Integración por fracciones parciales 633 16.3 Integración por mediodetablas 640 16.4 Valor promedio deunafunción 647 16.5 Integración aproximada 649 16.6 Ecuaciones diferenciales 654 16.7 Más aplicacionesdelasecuacionesdiferenciables663 16.8 Integrales impropias 671 16.9 Repaso 675 Aplicaciónpráctica: El régimen dietario 680

CAPÍTULO

17 Cálculo en varias variables 17.4 Funciones de varias

variables

682

682

17.2 Derivadas parciales 689 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 17.10 17. I 1 17.12

APÉNDICE

A

Potencias, raíces y recíprocos Valores de ex

APÉNDICE

APÉNDICE

Aplicacionesdelasderivadas parciales 696 Diferenciación parcial implícita 702 Derivadasparcialesdeordensuperior 705 Regia de la cadena 708 Máximos y minimospaafuncionesde dos variables 713 Multiplicadores de Lagrange 722 Líneas de regresión 729 U n comentariosobre lasfuncioneshomogéneas 737 Integrales múltiples 738 Repaso 743 Aplicación práctica: Análisis de datos puru modelar el en.friarniento 748

c

y e-x

logarítmos naturales

751

754 156

XIV

CONTENIDO

D

Interés compuesto

759

APÉNDICE

E

Integrales seleccionadas

774

APÉNDICE

F

Áreas bajo la curva normal estándar

778

Respuestas a problemas de número impar

780

lndice

820

lndice de aplicaciones

830

APÉNDICE

Matemáticas para Administración y Economía