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Matemáticas IV . 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Lic. Eusebio Pillado Hernández Director Académico Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar Director de Administración y Finanzas Lic. Oscar Rascón Acuña Director de Planeación Dr. Jorge Ángel Gastélum Isl...

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Matemáticas IV .

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COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Lic. Eusebio Pillado Hernández Director Académico Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar Director de Administración y Finanzas Lic. Oscar Rascón Acuña Director de Planeación Dr. Jorge Ángel Gastélum Islas

Matemáticas IV Módulo de Aprendizaje. Copyright ©, 2007 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora todos los derechos reservados. Tercera edición 2010. Impreso en México. DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280 Registro ISBN, en trámite.

COMISIÓN ELABORADORA: Elaboración: Ramón Ezequiel Acosta Rey. Corrector de Estilo: María Esperanza Brau Santacruz Revisión de Contenido: María del Rosario Martínez García Supervisión Académica: Nancy Vianey Morales Luna Edición: Bernardino Huerta Valdez Coordinación Técnica: Martha Elizabeth García Pérez Coordinación General: Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de diciembre de 2009. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres de Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México La edición consta de 9,989 ejemplares.

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Ubicación Curricular COMPONENTE:

CAMPO DE CONOCIMIENTO:

FORMACIÓN BÁSICA

MATEMÁTICAS

Esta asignatura se imparte en el cuarto semestre, tiene como antecedente Matemáticas III, la asignatura consecuente es Cálculo Diferencial e Integral I y se relaciona con Cálculo Diferencial e Integral I, Cálculo Diferencial e Integral II y Probabilidad y Estadística.

HORAS SEMANALES: 5

CRÉDITOS: 10

DATOS DEL ALUMNO Nombre: ______________________________________________________ Plantel: _________________________________________________________ Grupo: __________________ Turno: _______________ Domicilio: _____________________________________________________ ____________________________________ Teléfono:_________________

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FUNCIONES Sus características y propiedades conllevan

Clasificación y operaciones Un análisis particularizado conduce al estudio de

Funciones algebraicas

Funciones trascendentes No trigonométrica

Estudiando

Bases 10 y e En especial

Limitadas a

Funciones polinomiales

Función exponencial

Funciones de grado 0 a 4 Y su inversa

Se concluye con

Funciones racionales

Función logarítmica

Utilizando

Utilizando

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

4

Índice Recomendaciones para el alumno......................................................................... 7 Presentación ........................................................................................................... 8 UNIDAD 1. RELACIONES Y FUNCIONES ..................................................... 9 1.1. Relaciones y funciones. ................................................................................... 11 1.2. Clasificación y transformación de funciones ................................................... 17 1.2.1. Tipos de funciones .................................................................................... 17 1.2.2. Funciones inversas ................................................................................... 21 1.2.3. Funciones especiales................................................................................ 24 1.2.4. Transformaciones de gráficas de funciones ............................................ 27 Sección de tareas ................................................................................................... 31 Autoevaluación ........................................................................................................ 43 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................... 45 UNIDAD 2. FUNCIONES POLINOMIALES. ................................................... 47 2.1. La función polinomial ....................................................................................... 49 2.1.1. Concepto de función polinomial .............................................................. 50 2.1.2. La función constante como caso particular de la función polinomial ............................................................................ 51 2.1.3. La función lineal como caso particular de la función polinomial ..................................................................................... 52 2.1.4. La función cuadrática como caso particular de la función polinomial ................................................................................. 54 2.1.5. Funciones polinomiales de grado 3 y 4.................................................... 61 Sección de tareas ................................................................................................... 69 Autoevaluación ........................................................................................................ 75 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................... 77 UNIDAD 3. FUNCIONES RACIONALES. ....................................................... 81 3.1. La función racional .................................................................................... 83 3.1.1. Concepto de función racional ................................................................... 83 3.1.2. Gráficas de funciones racionales ............................................................. 83 3.1.3. Variación inversa ....................................................................................... 89 Sección de tareas ................................................................................................... 91 Autoevaluación ........................................................................................................ 95 Ejercicio de reforzamiento ..................................................................................... ..97 UNIDAD 4. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA…………………….. 99 4.1. Función exponencial ................................................................................ 101 4.1.1. Concepto de función exponencial .................................................... 101 4.1.2. Variación exponencial ....................................................................... 102 4.1.3. El número e ...................................................................................... 104 4.2. Función logarítmica ................................................................................. 105 4.2.1. Concepto de función logarítmica ...................................................... 105 4.2.2. Logaritmos comunes y naturales ...................................................... 106 4.3. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas............................................... 108 Sección de tareas ................................................................................................111 Autoevaluación .....................................................................................................115 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................117 Claves de Respuestas .........................................................................................119 Glosario ................................................................................................................120 Bibliografía General .............................................................................................122 5

RIEMS Introducción El Colegio de Bachilleres del estado de Sonora, en atención a los programas de estudio emitidos por la Dirección General de Bachillerato (DGB), ha venido realizando la elaboración del material didáctico de apoyo para nuestros estudiantes, con el fin de establecer en ellos los contenidos académicos a desarrollar día a día en aula, así como el enfoque educativo de nuestra Institución. Es por ello, que actualmente, se cuenta con los módulos y guías de aprendizaje para todos los semestres, basados en los contenidos establecidos en la Reforma Curricular 2005. Sin embargo, de acuerdo a la reciente Reforma Integral de Educación Media Superior, la cual establece un enfoque educativo basado en competencias, es necesario conocer los fines de esta reforma, la cual se dirige a la totalidad del sistema educativo, pero orienta sus esfuerzos a los perfiles del alumno y profesor, siendo entonces el camino a seguir el desarrollo de las competencias listadas a continuación y aunque éstas deberán promoverse en todos los semestres, de manera más precisa entrará a partir de Agosto 2009, en el primer semestre.

Competencias Genéricas CATEGORIAS I. Se autodetermina y cuida de sí.

II. Se expresa y comunica

III. Piensa crítica y reflexivamente IV. Aprende de forma autónoma V. Trabaja en forma colaborativa VI. Participa con responsabilidad en la sociedad

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COMPETENCIAS GENÉRICA 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

Competencias Disciplinares Básicas Matemáticas 1.

2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Competencias docentes: 1. 2. 3.

4. 5. 6. 7. 8.

Organiza su formación continua a lo largo de su trayectoria profesional. Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje significativo. Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias, y los ubica en contextos disciplinares, curriculares y sociales amplios. Lleva a la práctica procesos de enseñanza y de aprendizaje de manera efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo. Contribuye a la generación de un ambiente que facilite el desarrollo sano e integral de los estudiantes. Participa en los proyectos de mejora continua de su escuela y apoya la gestión institucional.

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Recomendaciones para el alumno El presente Módulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti, en él se manejan los contenidos mínimos de la asignatura Matemáticas IV. No debes perder de vista que el Modelo Académico del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora propone un aprendizaje activo, mediante la investigación, el análisis y la discusión, así como el aprovechamiento de materiales de lectura complementarios; de ahí la importancia de atender las siguientes recomendaciones: ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

Maneja el Módulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidos temáticos a revisar en clase. Utiliza el Módulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesión de clase. Al término de cada unidad, resuelve la autoevaluación, consulta la escala de medición del aprendizaje y realiza las actividades que en ésta se indican. Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o reafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados. Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas desarrollados en cada unidad. Para comprender algunos términos o conceptos nuevos, consulta el glosario que aparece al final del módulo. Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinión sobre los módulos de aprendizaje. Si quieres hacer llegar tus comentarios, utiliza el portal del colegio: www.cobachsonora.edu.mx.

Presentación El presente módulo de aprendizaje corresponde a la asignatura de Matemáticas IV, fue desarrollado con un lenguaje sencillo, pensando en que es un material para uso de los alumnos especialmente, esperando con ello un aporte con claridad de los contenidos que se abordan. Los contenidos están organizados en cuatro unidades que comprenden los temas de: relaciones y funciones, funciones polinomiales, funciones racionales y funciones exponencial y logarítmica. En todas las unidades el estudiante desarrollará habilidades de comunicación al transitar por distintas formas de representación de las funciones. Es de suma importancia conocer todo lo relativo a las funciones dado que en nuestras actividades cotidianas nos encontramos ante situaciones que guardan cierta relación de correspondencia entre ellas, y aunque sean o no numéricas, nos conducen al concepto de función, con la cual es posible modelar esa dependencia para planteamientos que nos lleven a solucionar un problema.

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Unidad 1 y= f (x)

Relaciones y funciones.

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6

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Objetivos:

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El alumno:

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Resolverá problemas sobre relaciones y funciones, teóricos o prácticos, mediante el manejo de la relación funcional entre dos variables, la realización de operaciones entre funciones, el uso de funciones inversas, funciones especiales, y las transformaciones de gráficas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión y razonamiento abstracto, lógico, analógico y el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el cual se desenvuelve.

Temario: ¾ Relaciones y funciones. ¾ Clasificación y transformación de funciones. La modelación de la relación de dependencia entre dos magnitudes se da, sin duda, a través de la función. A la función se le encuentra por todas partes, pues los procesos no se localizan en estado aislado, sino interrelacionados. Así, el concepto de función ocupa el punto central de todo el pensamiento matemático moderno.

Matemáticas IV

FUNCIONES

Constante

Idéntica

Especiales

ALGEBRAICAS

TRASCENDENTES

Valor Absoluto Según la estructura regla de correspondencia.

Según gráfica

Escalonada Según la relación entre el dominio y rango

Continuas y discontinuas

Crecientes y decrecientes

Compuestas

Uno a uno

Sobreyectiva

Biyectiva

10

Inversas

Relaciones y funciones

1.1.

RELACIONES Y FUNCIONES.

Noción de relación y noción de función. Existen situaciones en las que se puede observar que dos magnitudes guardan una correspondencia tal que el valor de una de ellas dependa de la otra, como se puede apreciar en los siguientes casos: 1. Si un objeto se mueve con una velocidad constante de 3 metros por segundo, desde una posición que dista 2 metros del punto de partida, las posiciones sucesivas pueden ser expresadas por la siguiente representación numérica: Tiempo

0

1

2

3

Posición

2

2+3(1)=5

2+3(2)=8

2+3(3)=11

4 2+3(4)=14

f -1 0 1 2 3 4 5 6

-1 1 3 5 7 9 11 13

X

Y

Los valores de la posición dependen de los valores del tiempo. ( A = π r ). 3. El costo del recibo de luz dependerá de los kilowatts/hora consumidos en un mes.

2. La superficie que encierra una circunferencia dependerá de la medida del radio 2

La dependencia que se observa entre dos magnitudes, puede ser expresada como ya se ha mostrado, por medio de una tabla de valores, o de una ecuación. Otra forma de expresar la relación de dependencia entre dos magnitudes es por medio de un conjunto de pares ordenados. En el curso de Matemáticas III, se definieron los lugares geométricos como un conjunto de puntos o pares ordenados que cumplen una cierta propiedad geométrica que se expresa mediante una regla

en forma de ecuación, por ejemplo: Una parábola cuya ecuación es y = 4 x , puede ser expresada mediante un conjunto de pares ordenados o mediante una gráfica: 2

Pares ordenados:

{(0,0), (1,2), (1,-2), (2, 2.82),(2,-2.82),(3,3.4),(3.-3.4)} y

Gráfica: 3

2

1

x -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

5

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Matemáticas IV

Podemos definir a una relación como un conjunto de pares ordenados.

La palabra clave de las matemáticas es la función, su nombre proviene del latín functio, que significa ejecución. Llegar al concepto actual de función fue un proceso de varios siglos, hasta que se obtuvo su definición moderna, la cual fue dada por el matemático alemán Peter Dirichlet en 1837.

Así, {(0,0), (1,2), (1,-2), (2, 2.82),(2,-2.82),(3,3.4),(3.-3.4)}, representan una relación. Dentro de las relaciones hay una clase especial llamada función. Una función es una relación en la que al primer componente del par ordenado, solamente le corresponde uno y solamente un valor como segundo componente del par.

Ejemplo: {(0,0),(1,2),(2,8),(3,4)} representa una función, dado que el primer elemento se corresponde sólo con un valor, mientras que en la relación dada anteriormente, podemos observar que el primer elemento del par se repite, correspondiéndose con dos diferentes segundos elementos. Toda función es una ...